Factorización y expansión de dominios del álgebra abstracta
La descomposición por suma directa de anillos descompone anillos grandes en anillos pequeños, simplificando la estructura. Inspirándonos en el teorema fundamental de la aritmética de enteros, también podemos estudiar los anillos desde la perspectiva de la multiplicación y la factorización. Para sacar conclusiones útiles de este estudio direccional, debemos imponer algunas restricciones a los anillos. Como nos ocupamos de factores, el orden de multiplicación es redundante y en el camino, por lo que se requiere que el anillo sea conmutativo. Además, la discusión sobre factores cero no tiene sentido, por lo que se estipula que todos los elementos distintos de cero son elementos regulares. Entonces sólo necesitamos discutir la descomposición multiplicativa de los elementos en el anillo completo. Para simplificar la descripción, a continuación se ignorará la discusión sobre los elementos cero.
Por ejemplo, en teoría elemental de números, si b es divisible por a, o b es factor de a, entonces se registra como; de lo contrario, se registra como. Generalmente, la discusión sobre la divisibilidad es relativamente simple, por lo que no entraré en detalles aquí. Analizamos varias posibilidades de descomposición y finalmente intentamos llegar a una conclusión similar al Teorema Fundamental de la Aritmética. Durante el proceso de descomposición, siempre pueden aparecer o eliminarse elementos reversibles en todas partes. Esto es como 1 en el anillo de números enteros y no afecta la naturaleza de la descomposición. Por eso a los elementos reversibles también se les llama unidades. Si decimos que A y B están asociados, entonces los elementos asociados pueden ser equivalentes en descomposición, existe una definición de equivalencia de asociación: si, al mismo tiempo, se dice que A y B están asociados. Dado que se deben considerar elementos reversibles, se debe requerir la existencia de elementos identidad en la multiplicación, por lo que la siguiente discusión solo se centra en anillos integrales con elementos identidad.
Para cualquier elemento, todos sus elementos y unidades asociados son factores triviales de A, y los demás son factores verdaderos. Los elementos que tienen factores verdaderos se llaman elementos reducibles; de lo contrario, se llaman elementos irreducibles. Obviamente, los elementos irreducibles del anillo de enteros son números primos. Con las definiciones de factores y elementos irreducibles podemos intentar imitar el teorema fundamental de la aritmética. De la discusión aquí, comprenderá que el Teorema Fundamental de la Aritmética no es obvio pero requiere ciertas condiciones. En primer lugar, cada elemento debe tener una descomposición finita y, en segundo lugar, si la descomposición es única en el sentido de elementos acompañantes, entonces el elemento que satisface estas dos condiciones se denomina único anillo descomponible, y el anillo en el que todos los elementos satisfacen las condiciones es llamado el único anillo descomponible. Como los elementos de un anillo no tienen concepto de tamaño, son posibles infinitas descomposiciones y es fácil dar muchos ejemplos de descomposiciones.
? Las unidades comentadas y la descomposición de 9 de ellas.
Ahora nuestra pregunta es, naturalmente, ¿qué tipo de anillo es el único anillo de descomposición? Veamos primero las propiedades del anillo de descomposición único. Si existe un elemento irreducible P, es fácil demostrarlo mediante descomposición única, y al menos uno de ellos es verdadero. Ahora, para extraer el concepto, los elementos que satisfacen las condiciones anteriores se denominan elementos primos del anillo. Los elementos primos deben ser elementos irreducibles, y el único elemento irreducible en un anillo descompuesto es un elemento primo. Para los anillos generales, cuando los elementos primos y los elementos irreducibles se superponen, se puede saber por contradicción que el elemento que solo se puede descomponer de forma limitada es único. Por tanto, las condiciones necesarias y suficientes para la descomposición única de un anillo son que los elementos del anillo sean finitamente descomponibles y los elementos primos sean equivalentes a los elementos irreducibles.
Tras obtener el anillo de descomposición único, se pueden definir los divisores comunes como en la teoría elemental de números. Si c y ** son el mismo factor, se les llama factores comunes. Los elementos de un anillo no tienen concepto de tamaño, por lo que no es fácil definir directamente el máximo común divisor. Revise varias definiciones equivalentes del máximo común divisor y encuentre una que solo use números enteros. Si D es un factor común de y cualquier factor común es un factor de D, entonces D se llama máximo común divisor y los elementos cuyas unidades son los máximos divisores comunes se llaman coprimos. El máximo común divisor no existe necesariamente, pero es fácil obtener la existencia del máximo común divisor para el anillo de descomposición único.
La definición de elemento es en cierta medida la descomposición única en sí misma. Esta condición de juicio no nos aporta más información útil. Juzgar y construir anillos de descomposición únicos todavía no es una tarea fácil. Después de la introducción de la división con resto en el anillo de enteros, se pueden obtener más propiedades del máximo común divisor, y estas propiedades también pueden conducir al teorema fundamental de la aritmética. Sin embargo, dado que no existe un concepto de tamaño en los anillos generales, es posible que estas propiedades no se mantengan, pero nos inspira cómo construir anillos de descomposición únicos más generales. Aquí hay dos anillos de descomposición únicos importantes, los cuales tienen la sombra del máximo común divisor de anillos enteros.
Cualquier ideal del anillo entero tiene un número mínimo. Este número mínimo es el máximo común divisor del ideal, y todos sus múltiplos están en el ideal, es decir, el ideal es el ideal principal generado por. su máximo común divisor. Un anillo en el que cualquier ideal es un ideal principal se llama anillo ideal principal. El anillo ideal principal primero garantiza la finitud de la descomposición, porque el ideal generador de la secuencia de descomposición infinita es también el ideal principal, y el generador del ideal principal es el final de la secuencia de descomposición. Además, es fácil demostrar que los elementos irreducibles en el anillo ideal principal R deben ser ideales máximos. Por lo tanto, el anillo cociente es un dominio de definición, por lo tanto, debe haber o, es decir, o. Esto demuestra que el anillo ideal principal es el único anillo descomponible.
? Demuestre que el anillo entero gaussiano es un anillo ideal principal. (Sugerencia: marque el elemento con el valor absoluto más pequeño)
Una forma más directa de estudiar la descomposición única de un anillo es, por supuesto, definir la división con resto en el anillo r, para lo cual se requiere un mapeo de no -cero elementos a enteros positivos se define φ, que existe para cualquier elemento del anillo, donde o. Si existe tal mapeo, R se llama anillo euclidiano. Si la suma es la más pequeña en n, entonces es fácil demostrar que cualquier elemento en n toma a como factor, de modo que n es el ideal principal y luego r es el único anillo de descomposición.
? ¿Demuestra que el anillo entero gaussiano es un anillo euclidiano (pista: acercándose)?
? Demuestre que los anillos polinomiales sobre el campo son anillos euclidianos. (Pista: considere el orden)
El anillo de enteros gaussiano es una extensión del anillo de enteros y todos sus elementos están en forma de números complejos. Llamada norma de z, es fácil demostrar que esta norma tiene las siguientes propiedades. El ejercicio anterior ha demostrado que el anillo entero gaussiano es el único anillo descompuesto. Tomando esto como ejemplo, analizamos brevemente la descomposición de este anillo. En primer lugar, es más fácil llegar a que el conjunto unitario de g sea. A continuación, estudie los elementos. En aras de la distinción, los números primos del anillo entero se denominan primero números primos racionales.
El anillo entero gaussiano es un subanillo del anillo entero, por lo que cada entero gaussiano puede descomponerse primero en el producto de números primos racionales según el teorema fundamental de la aritmética. Desde la perspectiva de la unicidad de la descomposición, el elemento primo debe ser un factor de un elemento primo de número racional, por lo que solo necesitamos estudiar la descomposición del elemento primo de número racional p. La norma de p es 0, por lo que su factor no puede. excede 2, es decir, p O es un elemento primo en sí mismo o tiene dos * * * elementos primos de yugo, y. En realidad, ir un paso más allá es estudiar si la ecuación indefinida tiene solución.
Primero hay un número primo par único, por lo que 2 no es un elemento primo, tiene factores primos. Para el escenario donde p es un número impar, se puede concluir que la condición necesaria para el establecimiento de la ecuación es el conocimiento de la teoría elemental de números. Entonces, cuando p en sí es un número primo. Y cuando hay una solución, entonces, pero, entonces p no es un número primo (tenga en cuenta que no es necesariamente un número primo).
Antes de finalizar la discusión sobre los anillos, tomemos primero un anillo polinómico como ejemplo para observar la aplicación de la teoría de anillos. En álgebra superior discutimos polinomios sobre campos. Aquí comenzamos con anillos generales y luego trabajamos con anillos especiales y obtendrá una perspectiva más amplia de los polinomios. Hemos dado la definición de anillos polinomiales antes, aquí estudiamos más a fondo las raíces y la factorización de polinomios.
Para un polinomio, considere ponerlo en una expresión. El resultado se llama valor de at y la satisfacción se llama raíz o punto cero del polinomio. Cabe señalar aquí que el polinomio debe expandirse por completo. Para un anillo R no conmutativo, si, obviamente, esto es innecesario. Por supuesto, esta ecuación es válida para los anillos conmutativos. Para facilitar la discusión, los tiempos se registran como, obviamente, existe la siguiente relación. Cuando el coeficiente del primer ministro no es cero, todavía hay uno.
Con estos conceptos básicos en mente, luego analizamos la relación entre raíces y descomposición polinomial. Para los polinomios en el campo, la siguiente fórmula (3) se puede obtener usando división en álgebra avanzada. Esta fórmula es única. Mirando hacia atrás en el proceso de cálculo, de hecho, para polinomios en el anillo unitario, solo se requiere que el primer coeficiente sea la unidad. Entonces esta conclusión también es válida para los anillos generales, simplemente elige el correcto. Especialmente, para cualquiera, si lo tomas allí. Expanda el lado derecho y sustituya ambos lados, y obtenga (e intercambie) después de ordenar. Este es el teorema del resto (fórmula (4)). Tenga en cuenta que A no se puede sustituir directamente en esta prueba porque R no es necesariamente un anillo conmutativo.
De acuerdo con la discusión anterior, cuando a es la raíz de , podemos obtener. Por otro lado, si lo hay, la fórmula es 0 en un anillo conmutativo (no necesariamente cierta en un anillo no conmutativo). De esta forma, concluimos que existe una relación de equivalencia de fórmula (5) en el anillo conmutativo. Suponiendo que el punto atípico de un polinomio con un anillo unitario es 0, primero que nada, lo hay. Si es un anillo conmutativo, sí, si también es un anillo libre de factor cero, entonces, entonces.
Por analogía, es fácil saber que el número de raíces de un polinomio no es mayor que el grado n, y los polinomios con el mismo valor en diferentes puntos son únicos. En resumen, un polinomio en un anillo integral contiene como máximo una raíz. Esta conclusión puede parecer obvia, pero todas las condiciones son esenciales. Por ejemplo, en el anillo de división de cuaterniones H, obviamente hay más de una raíz.
? Prueba: en el anillo de números enteros, es irreducible. (Pista: refutación)
El teorema anterior proporciona el método de factorización de polinomios en el anillo unitario, pero todavía quedan dos problemas que deben resolverse. Una es cómo encontrar la causa raíz. Actualmente no existe un enfoque universal. Sólo hay una forma de encontrar la raíz del dominio empresarial. Suponga que es el dominio del cociente de todo el anillo, examine la solución, introdúzcala en la ecuación y expándala. Si asumimos (requiriendo que todo el anillo sea el único anillo descomponible), entonces existen y. Se puede utilizar como método de selección para soluciones de ecuaciones, como comprender la solución de ecuaciones de coeficientes integrales.
? Encuentra las raíces racionales de un polinomio.
Otra cuestión es, si existe n, cómo determinar o incluso determinar el valor de n. Cuando n se llama multiplicidad de la raíz A, especialmente cuando A se llama multiplicidad de la raíz; de lo contrario, se llama raíz simple. En cálculo, las derivadas de polinomios se utilizan para determinar raíces múltiples. Este método todavía se puede establecer en anillos. Lo llamamos un negocio normal de WeChat y es fácil verificar que la naturaleza general del negocio de WeChat sigue siendo válida en Youhuan. Al igual que en el cálculo, la condición necesaria y suficiente para que A sea una raíz múltiple es que aún puedas obtener varios números si sigues usando esta conclusión. Además, debido a que el anillo polinomial en el campo se puede descomponer de forma única, si no hay una * * * misma raíz, no hay una raíz múltiple.
La factorización de polinomios generalmente no es fácil, pero existen algunos resultados útiles en campos numéricos comunes. Por ejemplo, según el teorema básico del álgebra (introducido en Funciones de variables complejas), un polinomio en el campo complejo se puede descomponer en varios factores lineales. Además, es fácil demostrar que los * * * yugos de las raíces de polinomios de coeficientes reales también son raíces (* * * propiedad de la operación yugo), por lo que el polinomio en el campo de números reales se puede descomponer en varios lineales y cuadráticos. factores. Discusión de polinomios sobre el campo de números racionales que pueden transformarse en polinomios de anillo entero. En la siguiente sección, daremos un método para encontrar raíces racionales y una condición suficiente para determinar la irreducibilidad de polinomios, lo que será útil para la descomposición de polinomios en el campo de los números racionales.
Ahora pasemos a factorizar polinomios. Si desea examinar su factorización única, primero debe exigir que el anillo de coeficientes R sea un anillo de factorización único. En la descomposición, siempre puedes extraer primero los factores comunes de los coeficientes. Un polinomio con un solo factor común del coeficiente se llama polinomio primitivo, lo que puede simplificar la discusión. Naturalmente tenemos un pequeño problema. Por supuesto, el factorial de un polinomio primitivo debe ser un polinomio primitivo. ¿Qué pasa al revés? ¿Sigue siendo primitivo el producto de polinomios primitivos? La conclusión es que sí. Observe la forma de cada término en el producto de polinomios (consulte la figura siguiente). Si P es un factor común de la expansión del producto, como se muestra en la figura, entonces el término menor es una contradicción. Esto demuestra que el producto de polinomios primitivos también es un polinomio primitivo. Esta conclusión también se llama lema de Gauss.
Los polinomios se pueden descomponer en, donde está el polinomio primitivo. Para una descomponibilidad única de un certificado, solo se requiere una descomponibilidad única del certificado. Como el orden de es finito y su factorial es primitivo, la descomposición en el dominio primero debe ser finita. Ahora sólo tenemos que hablar de unicidad. En el ejercicio anterior hemos obtenido que los anillos polinómicos sobre el dominio son los únicos anillos descompuestos, y que todo anillo integral tiene su dominio cociente. Para estudiar la descomposición única de anillos polinómicos en el anillo de descomposición único r, podemos utilizar la descomposición única de anillos polinómicos en el campo cociente.
Para el polinomio primitivo irreducible en , discutimos su descomposición en , por supuesto solo prestamos atención a factores con órdenes mayores que. Siempre puedes agregar algunos coeficientes para que la ecuación (6) se cumpla si hay algunos coeficientes en , donde está el polinomio primitivo en . Según el lema de Gauss, también es un polinomio primitivo y es fácil demostrar el compañerismo. Si eres eliminado, quédate conmigo. Esto contradice la irreductibilidad, por lo que ahora es irreductible. Por lo tanto, si los polinomios primitivos tienen diferentes métodos de descomposición, entonces también son descomposiciones diferentes en , lo que contradice la propiedad única de descomposición de . Nuestra conclusión se llama teorema de Gauss.
No existe un método universal para descomponer polinomios primitivos. Incluso si un polinomio primitivo es reducible, aquí solo introducimos una condición suficiente irreducible: Eisenstein. Si hay un elemento primo P, puedes consultar el método de prueba del teorema de Gauss para determinar que el polinomio primitivo es irreducible. Primero puedes asumirlo, porque siempre puedes encontrarlo. Es fácil de probar mediante inspección y contradice la condición, por lo que f(x) es irreducible.
El criterio de Eisenstein no es una condición necesaria para polinomios irreducibles, pero es muy útil para juzgar polinomios primitivos irreducibles. Por ejemplo, se puede determinar que cualquier polinomio primitivo tiene un polinomio irreducible. Vale la pena mencionar que es fácil verificar que la reducibilidad de es la misma que la reducibilidad de y, en ocasiones, esta deformación se puede usar de manera flexible para construir la estructura del discriminante.
? Prueba: Irreductible en el único anillo de descomposición;
? Verificación: El cuerpo de los números racionales es irreducible;
? Demuestre: El cuerpo de los números racionales es irreducible.
El anillo polinómico multivariante tiene un subanillo especial σ, en el que cada elemento es muy "simétrico". Precisamente, un polinomio que permanece sin cambios para cualquier permutación en un par se llama polinomio simétrico. Entre estos polinomios, varios son los más básicos (fórmula (7)) y se denominan polinomios simétricos básicos. Puede que estas fórmulas te resulten familiares. Este es el teorema de Vietta de una ecuación polinómica de n grados en un campo cerrado, que da la relación entre las raíces y los coeficientes de la ecuación (Ecuación (8)).
Has estado expuesto a los polinomios simétricos en la escuela secundaria. Aquí presentamos una hermosa conclusión sobre ellos. Es concebible que si colocas estos N elementos en cualquier polinomio de N elementos, aún obtendrás un polinomio simétrico. Nuestra conclusión es su proposición inversa: cualquier polinomio puede expresarse mediante un polinomio de n elementos, es decir, se establece la fórmula (9). El siguiente proceso de prueba es en realidad el proceso de construcción de polinomios. En primer lugar, un polinomio simétrico se puede dividir en la suma de varios polinomios según el grado de los términos. Es fácil demostrar que también es un polinomio simétrico. polinomio simétrico homogéneo El polinomio básico es un ejemplo típico. Si podemos demostrar que esta conclusión es válida para polinomios homogéneos, también es válida para polinomios generales.
Para facilitar la discusión, ordenaremos los términos de polinomios homogéneos de grado m en un diccionario. Considerando que el término máximo de la expansión es la fórmula (10), podemos construir n a la inversa de modo que su término máximo sea igual al término máximo m. El término máximo después de restar las dos fórmulas debe ser menor que el término máximo anterior. Este proceso puede terminar después de un paso finito. Los n construidos son todos términos del polinomio generador, lo que demuestra el teorema básico de los polinomios simétricos. Esta conclusión es válida para cualquier anillo R. A partir del proceso de prueba, también podemos saber que cuando R es un anillo integral, el polinomio generador es único.
Revisando el proceso de construcción, encontramos que el ítem máximo seleccionado cada vez es m, por lo que se cumple la condición (11). Según esta conclusión, podemos utilizar el método del coeficiente indeterminado para obtener un polinomio generador específico más rápidamente. Por ejemplo, el polinomio generador se puede obtener resolviendo la ecuación si toma valores diferentes.
Finalmente, analizamos un polinomio simétrico de uso común, que es la suma idempotente de los elementos. Necesitamos saber cómo se relacionan con los polinomios de simetría básicos. Para llegar a una conclusión, aprovechamos al máximo las características formales del teorema de Vietta y construimos un polinomio de grado menor que n, y podemos obtener la fórmula (12). Comparando los n términos en ambos lados de la ecuación, se obtiene la famosa fórmula de Newton (fórmula (13) (14)), que se puede convertir entre y.
Un dominio es una estructura relativamente "completa" y tiene muchas restricciones, por lo que, naturalmente, no hay muchas estructuras. Ahora echemos un vistazo preliminar a la estructura de un dominio. Por supuesto, el método de investigación se amplía desde campos pequeños a campos grandes. Si F es un subdominio de E, entonces E también se llama extensión o extensión de F. Por supuesto, la extensión debe comenzar desde el dominio más simple. ¿Cuáles son algunas áreas simples con las que estamos familiarizados? El campo infinito más simple es el campo de números racionales, que es el campo numérico más pequeño. Cualquier campo numérico contiene el campo finito más simple es el campo de clase restante de números primos p. ya no tienen subcampos apropiados, por lo que llamamos al campo sin subcampos apropiados el campo de los números primos, generalmente escrito como .
Entonces, además de estos dos campos de números primos bien conocidos, ¿existen otros campos de números primos? Cada dominio contiene elementos de identidad, los dominios generados son todos dominios primos y son el dominio cociente del anillo generador, por lo que se puede analizar desde el anillo generador. Cuando es isomorfo con el anillo entero z, entonces sus dominios cocientes son isomorfos, es decir. Como se mencionó anteriormente, dicho anillo es isomorfo a un anillo congruente, y entonces tenemos. Los campos primos bajo este isomorfismo son solo Q y cada campo contiene uno y solo un campo primo.
Con el dominio de definición más simple, comenzamos a expandir el dominio de definición. Necesitamos estudiar las propiedades de los elementos recién agregados y las características estructurales del dominio de definición extendido.
Tome un subconjunto S del dominio de expansión E de F y registre el dominio de expansión generado después de agregar S a F. Cabe señalar que esta definición siempre se basa en la existencia del dominio de expansión E. Analicemos este dominio de expansión. La naturaleza de la acumulación. Por definición, sabemos que es un dominio inclusivo, no un dominio mínimo, así que lo hay. También se puede derivar para obtener la fórmula (1).
La conclusión anterior muestra que el campo de expansión es equivalente a la expansión local de pasos finitos, y el orden de expansión no afecta los resultados. El estudio de la expansión local es útil para todo el dominio de expansión, especialmente el dominio de expansión en el que podemos centrarnos primero, que se denomina dominio de expansión simple. A partir de la definición del dominio y las propiedades de las fracciones, es fácil saber que todos los elementos en F tienen un formato, donde F es un polinomio. Todas las partituras forman un dominio de extensión simple, pero diferentes partituras pueden referirse al mismo elemento. Comencemos aquí observando la estructura de un dominio extendido simple.
El polinomio es la estructura básica en el campo de extensión, y su discusión puede ayudarnos a analizar la estructura del campo. Si se reemplazan todos los polinomios en F, los valores pueden ser diferentes o repetidos. Cuando hay repetición, el polinomio se restará, y α con tal polinomio se llama elemento algebraico de F, de lo contrario se llama elemento trascendental. Existe una diferencia esencial entre elementos algebraicos y elementos trascendentales. Es necesario discutir la estructura de campos extendidos únicos desde esta perspectiva. Para la expansión del campo de números racionales en el campo de números reales, los números algebraicos son elementos algebraicos y los números trascendentales son elementos trascendentales. De hecho, este artículo analiza sus extensiones.
Para muchos polinomios satisfactorios, siempre podemos encontrar el primer polinomio más bajo. Es fácil demostrar que este polinomio existe y es único para el elemento algebraico α, que se llama polinomio mínimo de α en f. El grado del polinomio mínimo también se llama grado del elemento algebraico. Obviamente, el grado de los elementos en F es 1. Los polinomios mínimos tienen algunas propiedades simples. Primero, es irreducible en F; de lo contrario, debe haber un factor que lo satisfaga, lo que contradice la definición de polinomio mínimo. En segundo lugar, para cualquier polinomio satisfactorio, debe haber un polinomio satisfactorio; de lo contrario, se puede utilizar la división con resto para construir un polinomio más pequeño que satisfaga.
La estructura de los campos de extensión simples es más obvia en torno a tipos de elementos o polinomios mínimos. Aunque tu intuición ya te ha dicho la respuesta final, aún necesitas utilizar un razonamiento riguroso para verificar tu suposición. Por supuesto, el método de razonamiento consiste en comenzar definiendo un mapeo homomórfico adecuado, primero verificar el isomorfismo del anillo generador y luego deducir el isomorfismo del dominio empresarial. Por favor verifíquelo usted mismo. Cuando α es un elemento trascendental, el anillo generador es claramente isomorfo y, por tanto, isomorfo a su anillo cociente. Cuando α es un elemento algebraico, se puede demostrar que el anillo generador es isomorfo y, como es irreducible, la expresión es un dominio, por lo que lo hay. Por tanto, un campo de extensión simple de elementos algebraicos es un anillo polinómico (fórmula (2)). Esta conclusión muestra la estructura concisa de los campos de extensión algebraicos simples y también muestra la importancia de estudiar los campos de extensión algebraicos.
Los resultados anteriores también muestran que si el grado de α es n, entonces cualquier elemento de α es el valor de un polinomio de grado menor que n. En otras palabras, cada elemento es una combinación lineal de f. , que es muy fácil de demostrar que la representación es única. En el lenguaje del álgebra lineal, el dominio de expansión del álgebra simple es el espacio n-dimensional en f, cuya base es. También es útil analizar los campos extendidos del álgebra simple desde esta perspectiva.
Después de descubrir la estructura de los campos de extensión algebraicos simples, nos gustaría estudiar más a fondo los campos de extensión generados por más elementos algebraicos, o campos de extensión en los que todos los elementos son elementos algebraicos. La primera pregunta natural es: ¿son iguales estas dos extensiones? Para facilitar la discusión, definimos este último como un campo de expansión algebraico, y un campo de expansión con elementos trascendentes se llama campo de expansión trascendente. Dado que los campos de expansión algebraicos siempre son generados por elementos algebraicos, la pregunta que surge ahora es: ¿Es el campo de expansión generado por el conjunto de elementos algebraicos S necesariamente un campo de expansión algebraico? La intuición nos dice que esta conclusión es válida, pero si la analizamos más de cerca no es tan obvia. Ahora, demostremos esta conjetura en dos pasos. Primero considere el escenario donde S es un conjunto finito y luego generalice a conjuntos infinitos.
La estructura espacial lineal de campos de extensión algebraicos simples nos impulsa a estudiar las dimensiones de campos de extensión más generales. Si el dominio de extensión es un espacio lineal en f, la dimensión de este espacio se llama grado de e en f, denotado como . Cuando es finito, e se llama campo de expansión finito de f; de lo contrario, se llama campo de expansión infinita. Mediante una simple derivación del álgebra lineal, se puede obtener la acumulación de tiempos (fórmula (3)). Tomando un campo de extensión finito como ejemplo, si la base de e en k es y la base de k en f es, entonces es fácil demostrar que es la base de e en f (representación lineal, la prueba es irrelevante) .