¿Qué es la teoría de números?
La teoría de números es una rama de las matemáticas que estudia principalmente las propiedades y estructura de los números enteros.
La teoría de números cubre una serie de profundos teoremas y conjeturas sobre los números enteros, así como una gran cantidad de problemas altamente técnicos. La teoría de números surge de la exploración de problemas básicos en aritmética y matemáticas. Sus orígenes se remontan a la investigación de los antiguos matemáticos sobre las propiedades de los números enteros.
El contenido de investigación de la teoría de números es muy amplio, incluyendo pero no limitado a los siguientes aspectos: números primos y su distribución, factorización y ecuaciones de congruencia, último teorema de Fermat, fracciones continuas y ecuaciones diofánticas, teoría algebraica de números. , análisis Teoría de números, álgebra aritmética, etc. La teoría de números tiene amplias aplicaciones en matemáticas, física, informática y otros campos, como la criptografía, las estructuras de datos y el diseño de algoritmos en informática.
La razón por la que la teoría de números se considera una rama relativamente independiente es la naturaleza única de los problemas y técnicas que involucra. Los problemas de la teoría de números a menudo requieren pruebas y cálculos muy técnicos y, a menudo, implican algunos conceptos y métodos matemáticos muy especiales. Esto hace que la teoría de números sea una rama de las matemáticas desafiante y atractiva.
Aplicación de la teoría de números en criptografía:
1. Los números primos y su distribución: Los números primos son un concepto básico en la teoría de números, se refieren a números positivos que sólo se pueden dividir por. 1 y él mismo. En criptografía, los números primos se utilizan ampliamente en el diseño de algoritmos de cifrado y esquemas de firma digital. Por ejemplo, tanto el algoritmo RSA como el esquema de firma digital DSA utilizan números primos como elementos básicos. La ley de distribución de números primos también tiene aplicaciones importantes en criptografía, como en la generación de números aleatorios y el descifrado de contraseñas.
2. Ecuación de congruencia: La ecuación de congruencia es una herramienta básica en la teoría de números. Significa que después de que un número entero o un conjunto de números enteros es módulo un módulo dado, el resto resultante satisface una determinada relación de fórmula. . En criptografía, las ecuaciones de congruencia se utilizan ampliamente en el diseño de algoritmos de cifrado y descifrado. Por ejemplo, tanto el algoritmo RSA como el algoritmo de cifrado AES utilizan ecuaciones de congruencia. Las ecuaciones de congruencia también se utilizan en el diseño de esquemas de firma digital, como el esquema de firma digital RSA y el esquema de firma digital DSA.
3. Problema de logaritmo discreto: El problema de logaritmo discreto es un problema clásico en teoría de números. Significa que dado un número primo p y un número entero a, encontrar el número entero x tal que ax≡x (mod p. ). En criptografía, el problema del logaritmo discreto se usa ampliamente en el diseño de esquemas de firma digital y cifrado de clave pública. Por ejemplo, el algoritmo de cifrado ElGamal y el esquema de firma digital Schnorr utilizan el problema del logaritmo discreto. El problema del logaritmo discreto también se utiliza en el diseño de funciones hash, como la función hash SHA-256.