La historia del desarrollo digital
Entre las cuatro civilizaciones principales del mundo antiguo, las matemáticas chinas han seguido floreciendo durante más tiempo. Desde el siglo XIV a. C., las matemáticas clásicas chinas han experimentado tres clímax de desarrollo, a saber, la dinastía Han, las dinastías Wei, Jin, del Sur y del Norte, y las dinastías Song y Yuan, y alcanzaron su apogeo en las dinastías Song y Yuan.
A diferencia de las matemáticas clásicas griegas, que se centraban en demostrar teoremas, las antiguas matemáticas chinas se centraban en la creación de algoritmos, especialmente varios algoritmos para resolver ecuaciones. Desde ecuaciones lineales hasta ecuaciones polinómicas de orden superior e incluso ecuaciones indefinidas, los antiguos matemáticos chinos crearon una serie de algoritmos avanzados (lo que los matemáticos chinos llaman "técnicas") que utilizaron para resolver los tipos correspondientes de ecuaciones algebraicas, resolviendo así diversos problemas científicos y prácticos. conducir a estas ecuaciones. En particular, los problemas geométricos también se reducen a ecuaciones algebraicas y luego se resuelven mediante algoritmos estilizados. Por lo tanto, las matemáticas chinas antiguas tienen características algorítmicas y mecanizadas obvias. A continuación se ofrecen algunos ejemplos para ilustrar esta característica del desarrollo de las matemáticas en la antigua China.
1.1 Ecuaciones lineales y "técnicas de ecuaciones"
La "técnica de ecuaciones" del octavo volumen de "Nueve capítulos de aritmética", el clásico matemático chino antiguo más importante, es un método para resolver algoritmo de grupo de ecuaciones lineales. Tomando como ejemplo la pregunta 1 de este volumen, expresada en notación moderna, este problema equivale a resolver un sistema de ecuaciones lineales de tres variables:
3x 2y z=39
2x 3y z=34
x 2y 3z=26
"Nueve capítulos" no tiene un símbolo que indique lo desconocido, pero utiliza el cálculo para calcular X? ¿y? Los coeficientes y términos constantes de z están ordenados en una matriz cuadrada (larga):
1 2 3
2 3 2
3 1 1
26 34 39
Los algoritmos clave de la "técnica de ecuaciones" se denominan "multiplicación y división directa". En este ejemplo, el proceso de cálculo es el siguiente: multiplica los números de esta fila y de la fila izquierda por el coeficiente (x) de la fila derecha, y luego "divide" el resultado de la fila derecha por separado, es decir, resta sucesivamente los números correspondientes de la fila derecha, y luego Los coeficientes para esta fila y la fila izquierda se convertirán en 0. Esta ecuación se puede resolver realizando repetidamente este algoritmo de "multiplicación y división". Es obvio que el algoritmo de "multiplicación y división directa" de la técnica de ecuaciones de "Nueve capítulos de aritmética" es esencialmente el método de eliminación que utilizamos hoy para resolver ecuaciones lineales. En el pasado, en la literatura occidental se le llamaba "método de eliminación gaussiano", pero en los últimos años ha comenzado a cambiar de nombre. Por ejemplo, el profesor P. Gabriel, académico de la Academia de Ciencias de Francia y ex jefe del Departamento de Matemáticas de la Universidad de Zurich, llama al método de eliminación para resolver ecuaciones lineales "método Zhang Cang" en su libro de texto [4]. .
1.2 Ecuaciones polinómicas de orden superior y "raíces cuadradas positivas y negativas"
El volumen 4 de "Nueve capítulos sobre aritmética" tiene "cuadrado" y "cuadrado". Estos algoritmos en "Nueve capítulos sobre aritmética" se expandieron gradualmente al caso de potencias superiores y se desarrollaron en soluciones numéricas para ecuaciones polinómicas generales de orden superior durante las dinastías Song y Yuan. Qin es un maestro en esto. En su libro "Nueve capítulos de matemáticas" (1247), dio un algoritmo completo para la solución numérica de ecuaciones polinómicas de orden superior, al que llamó "extracción de cuadrados positivos y negativos".
Expresada en notación moderna, la idea de "raíces cuadradas positivas y negativas" de Qin Jiushao es la siguiente: para cualquier ecuación dada,
f(x) = a0xn a 1xn-1.. .an- 2 x2 an-1x an = 0 (1)
Donde a0≠0, an
f (c h) = A0 (c h) n a1 (c h) n- 1 ... an-1(c h) an = 0
La ecuación para h se puede obtener combinando términos similares en términos de potencias de h:
f(h) = a0hn a1hn-1 … an-1h an = 0(2)
El número más alto que satisfaga las raíces de la nueva ecuación (2) se puede estimar nuevamente. Si esto continúa, si el término constante de una nueva ecuación es 0, la raíz es un número racional, en caso contrario se puede continuar con el proceso anterior y obtener una aproximación de la raíz según la precisión requerida.
Si los coeficientes A0, a6 0,... el α de la ecuación original (1) y el α estimado se utilizan para encontrar los coeficientes a0, a1,... uno de la nueva ecuación ( 2) debe repetirse Utilice este algoritmo. Qin dio un plan estandarizado, que podemos llamar "Plan Qin". Escribe en el capítulo 9 de su libro de matemáticas. El número máximo de ecuaciones involucradas es 10. Los algoritmos de Qin para resolver estos problemas están unificados y son claros, y son un modelo de matemáticas algorítmicas y matemáticas mecanizadas en la antigua China.
1.3 Ecuaciones multivariadas de orden superior y "tecnología cuaternaria"
No todos los problemas se pueden simplificar a ecuaciones lineales o ecuaciones polinómicas de cantidades desconocidas. De hecho, se puede argumentar que si se pudiera resolver un mayor número de problemas prácticos utilizando ecuaciones algebraicas, entonces surgirían ecuaciones de orden superior con múltiples incógnitas.
Incluso hoy en día, resolver ecuaciones multivariadas de orden superior no es fácil. Zhu Shijie, un matemático chino de la dinastía Yuan, fue el primer matemático de la historia en abordar sistemáticamente ecuaciones multivariadas de orden superior. Las ecuaciones de orden superior involucradas en Las cuatro espadas Yujuan (1303) de Zhu Shijie tienen cuatro incógnitas. Zhu Shijie resolvió estas ecuaciones utilizando "cuatro elementos". La "tecnología cuaternaria" utiliza primero "cielo", "tierra", "personas" y "objetos" para representar diferentes incógnitas, y al mismo tiempo establece un sistema de ecuaciones, y luego utiliza el método general de eliminación secuencial para resolver el sistema. de ecuaciones. Zhu Shijie se reunió en Siyuan y creó varios procedimientos de eliminación.
A través de los ejemplos específicos de "Four Yuan Jade Mirror", podemos comprender claramente las características de la "Técnica de los Cuatro Yuan" de Zhu Shijie. Vale la pena señalar que un número considerable de estos ejemplos se derivan de problemas geométricos. Ejemplos de este tipo de conversión de problemas geométricos en ecuaciones algebraicas y uso de algoritmos unificados para resolverlos abundan en las obras matemáticas de las dinastías Song y Yuan, lo que refleja plenamente la tendencia algebraica y mecanizada de la antigua geometría china.
1.4 Ecuaciones de congruencia lineal y el "teorema del resto chino"
Por la necesidad de calcular el calendario, los antiguos matemáticos chinos comenzaron a estudiar la forma del calendario:
x ≡Ri(mod ai)I = 1, 2,...,n(1)
(donde ai es un par de números enteros relativamente primos). En el siglo IV d.C., existía un famoso "problema de Sun Tzu", que equivale a resolver el siguiente grupo de congruencia:
X≡2 (módulo 3)≡3 (módulo 5)≡2 (módulo 7)
La solución dada por el autor de "Sun Zi Suan Jing" guió el algoritmo general de la solución de Qin para grupos congruentes en la dinastía Song: "Gran Método de Extensión". Este algoritmo general a menudo se denomina "teorema chino del resto" en la literatura moderna.
1.5 Interpolación y "diferencia de llamada"
El algoritmo de interpolación juega un papel importante en el proceso de incubación del cálculo. En China, ya en la dinastía Han del Este, los eruditos utilizaban métodos de interpolación para calcular los movimientos del sol, la luna y las cinco estrellas. Al principio, este era un método de interpolación simple y único, y durante las dinastías Sui y Tang, apareció un segundo método de interpolación (por ejemplo, una línea de Da Liyan, 727). La interpolación cuadrática todavía no es lo suficientemente precisa debido a la aceleración desigual del movimiento celeste. Con el avance de los calendarios, en las dinastías Song y Yuan, aparecieron tres métodos de interpolación ("Calendario cronométrico" de Guo Shoujing, 1280). Sobre esta base, el matemático Zhu Shijie incluso creó una fórmula universal de interpolación de alto orden, a la que llamó un "truco". ¿La fórmula de Zhu Shijie es equivalente a
f (n) = n△ n (n? 1) △2 n (n? 1)? 2)△3
n (n? 1)? 2) (n?3)△4…
Este es un logro muy sobresaliente.
Es imposible enumerar todos los algoritmos de los antiguos matemáticos chinos, pero no es difícil ver en la introducción anterior que muchos algoritmos creados por los antiguos matemáticos chinos y medievales han alcanzado un nivel muy alto incluso por los modernos. estándares. Algunas de las verdades matemáticas expresadas por estos algoritmos no fueron redescubiertas en Europa con la ayuda de herramientas matemáticas modernas después del siglo XVIII d.C. (por ejemplo, el programa Qin mencionado anteriormente para soluciones numéricas de ecuaciones algebraicas de orden superior y la rederivación de Horner en 1819 por el matemático británico W Horner. El algoritmo es básicamente el mismo; el estudio sistemático de ecuaciones multivariadas de orden superior no apareció hasta finales del siglo XVIII en los trabajos de E. Bezhu y otros, respectivamente. el teorema del residuo para resolver grupos de congruencia lineal.
En cuanto a la fórmula de interpolación de alto orden de Zhu Shijie, es esencialmente consistente con la fórmula de Newton-Gregory ahora comúnmente utilizada). La estructura y complejidad de estos algoritmos también es sorprendente. Por ejemplo, el análisis de la "Técnica de gran difracción" y el "Método de raíz positiva y negativa" de Qin muestra que los programas de cálculo de estos algoritmos contienen los elementos y estructuras básicos para construir algoritmos no triviales utilizando lenguajes informáticos modernos. Este complejo algoritmo difícilmente puede considerarse una simple regla general, sino el producto de una capacidad de pensamiento altamente generalizada. Es completamente diferente del estilo de pensamiento deductivo de la geometría euclidiana, pero desempeña un papel completamente comparable en el desarrollo de las matemáticas. . De hecho, la prosperidad de los algoritmos chinos en la antigüedad también dio origen a una serie de conceptos extremadamente importantes, que muestran la importancia creativa y el papel activo del pensamiento algorítmico en la evolución de las matemáticas. A continuación se muestran algunos ejemplos.
1.6 Introducción a los Números Negativos
En el programa de eliminación de "Técnicas de Ecuaciones" en "Nueve Capítulos de Aritmética", al restar el coeficiente de la ecuación, se reducirá un número pequeño por un gran número. Fue aquí donde los autores de "Nueve capítulos sobre aritmética" introdujeron los números negativos y dieron el algoritmo para sumar y restar números positivos y negativos, es decir, "suma y resta".
Comprender los números negativos es un paso importante en la expansión del sistema numérico humano. En el siglo VII d. C., los matemáticos indios comenzaron a utilizar números negativos, pero Europa tardó en comprender los números negativos. Incluso en el siglo XVI, los escritos védicos evitaban el uso de números negativos.
1.7 El descubrimiento de los números irracionales
Los antiguos matemáticos chinos entraron en contacto con los números irracionales en la operación de raíz cuadrada. En "Nueve capítulos de prescripciones aritméticas", se señala que hay infinitas situaciones: "Si hay infinitas prescripciones, no se pueden prescribir". El autor de "Nueve capítulos de prescripciones aritméticas" le dio a este número interminable un término especial: "fideos". "Cara" es un número irracional. En comparación con los antiguos pitagóricos griegos que descubrieron que las diagonales de un cuadrado no son números racionales, los antiguos matemáticos chinos aceptaron esos números irracionales "infinitos" con relativa naturalidad, lo que puede atribuirse a su uso prolongado del sistema decimal, lo que les permitió. calcular eficientemente aproximaciones de "raíces infinitas". Liu Hui, un matemático del período de los Tres Reinos, hizo una anotación para "Nueve capítulos de aritmética" y propuso claramente un método para utilizar decimales para aproximar arbitrariamente innumerables raíces. Lo llamó "método diferencial" y señaló que en el proceso. de hacer un cuadrado, "Un paso atrás diez pasos, luego cien pasos atrás, y otros cien pasos atrás, todos los puntos son perfectos, así que... aunque hay algunos números abandonados,
La notación decimal El sistema es una contribución indeleble a la civilización humana. El gran matemático francés Laplace elogió una vez la invención del sistema decimal, diciendo que "hace que nuestro sistema aritmético sea de primer nivel entre todos los inventos útiles". Los antiguos matemáticos chinos establecieron el sistema basándose en una estricta adherencia. al sistema decimal El edificio de matemáticas orientales con características algorítmicas
1.8 Triángulo Jia Xian o Triángulo Yang Hui
Se puede ver en la introducción del algoritmo de solución numérica para orden superior. ecuaciones (Programa Qin) que son los cuadrados en la antigua mi país. El método se basa en la expansión binomial de c h n, lo que llevó al descubrimiento de la tabla de coeficientes binomiales. El matemático de la dinastía Song del Sur, Yang Hui, escribió "Nueve capítulos de algoritmos" (1261). ), que tiene el llamado "diagrama de raíz cuadrada", es en realidad una tabla de coeficientes binomiales. Este diagrama está tomado de un trabajo del matemático de la dinastía Song del Norte, Jia Xian, alrededor del año 1050 d.C. Triángulo" o "Triángulo Yang Hui". ¿La tabla de coeficientes binomiales se llama triángulo de Pascal en Occidente? 1654.
1.9 Álgebra de símbolos de tendencia
La actividad matemática de resolver ecuaciones inevitablemente causará La gente pensó en la forma de expresión de la ecuación. En este sentido, los antiguos matemáticos chinos que eran buenos resolviendo ecuaciones naturalmente tomaron la iniciativa en los trabajos matemáticos de las dinastías Song y Yuan, hubo intentos sistemáticos de utilizar caracteres chinos específicos como. símbolos para números desconocidos y luego establecer ecuaciones. Esto fue representado por Ye Li. El llamado "Tiangong" y las "Cuatro Grandes Técnicas" representadas por Zhu Shijie, en primer lugar, son "Establecer Tianyuan como tal y tal". , que es equivalente a "Establecer Tianyuan como tal" y "Establecer Tianyuan como uno". Significa que el "cuerpo celestial" está dispuesto en el ábaco, es decir, la ecuación unidimensional. Para muchas situaciones desconocidas, es decir, el "método de los cuatro elementos" de Zhu Shijie mencionado anteriormente, la forma en que se utilizan el método del cuerpo celeste y la ecuación de cuatro dimensiones es similar a la forma en que se clasifican las ecuaciones por el método de los elementos. ordenados en álgebra moderna.
Por lo tanto, tenemos todas las razones para decir que en la gran marea que va desde el Renacimiento hasta el surgimiento de las matemáticas modernas en el siglo XVII, el ritmo de las matemáticas orientales, especialmente las matemáticas chinas, hizo eco. Todos los siglos XVII y XVIII deben considerarse como una era heroica de búsqueda de algoritmos infinitesimales, aunque los algoritmos infinitesimales de este período dieron un salto cualitativo en comparación con los algoritmos de la Edad Media. Sin embargo, a partir del siglo XIX, y especialmente desde la década de 1970 hasta mediados del siglo XX, la tendencia deductiva volvió a ser dominante a un nivel mucho más alto que la geometría griega. Por lo tanto, el desarrollo de las matemáticas muestra el proceso de dos corrientes principales que florecen y giran alternativamente: la creación de algoritmos y la prueba deductiva;
Actividad de demostración de teoremas de tradición deductiva
Actividades de creación de algoritmos de tradición algorítmica
Los antiguos matemáticos chinos hicieron grandes contribuciones a la formación y desarrollo de la tradición algorítmica.
Hacemos hincapié en la tradición algorítmica de las matemáticas chinas antiguas, lo que no significa que las matemáticas chinas antiguas no tengan tendencias deductivas. De hecho, en los trabajos de algunos matemáticos durante las dinastías Wei, Jin, del Sur y del Norte, ya existían argumentos bastante profundos. Por ejemplo, ¿la prueba de Zhao Shuang del teorema de Pitágoras y el "Yang Ma" de Liu Hui? La prueba del volumen de un cono rectangular, la derivación de la fórmula para el volumen de una esfera por parte de Zu Chongzhi y su hijo, etc. , se puede comparar con el trabajo correspondiente de los antiguos matemáticos griegos. El prototipo del diagrama de prueba del teorema de Pitágoras "diagrama de cuerdas" de Zhao Shuang ha sido adoptado como emblema del Congreso Internacional de Matemáticos de 2002. Lo que resulta desconcertante es que con el fin de las dinastías del Norte y del Sur, se puede decir que esta tendencia controvertida llegó a un final abrupto. Debido a limitaciones de espacio y al enfoque de este artículo, no podemos dar más detalles sobre este aspecto aquí. ¿Los lectores interesados pueden consultar las referencias? 3?.
3 Aplicando el pasado al presente, desarrollo innovador
En el siglo XX, al menos desde mediados del siglo XX, la aparición de los ordenadores electrónicos tuvo un profundo impacto en la desarrollo de las matemáticas y produjo una serie de logros notables como la teoría del solitón, la dinámica del caos y la demostración del teorema de los cuatro colores. Con la ayuda de computadoras y algoritmos efectivos, podemos adivinar y descubrir nuevos hechos, generalizar y probar nuevos teoremas e incluso realizar razonamientos automáticos más generales... Se puede decir que todo esto ha revelado la grandeza de una nueva era de algoritmos. Preludio de la prosperidad en la historia de las matemáticas. Personas sensibles de la comunidad científica ya han previsto esta tendencia en el desarrollo de las matemáticas. En China, ya en la década de 1950, el profesor Hua dirigió personalmente el establecimiento de un grupo de investigación en informática, sentando las bases para el desarrollo de la informática y las matemáticas en China. A partir de mediados de la década de 1970, el profesor Wu Wenjun pasó resueltamente del campo inicial de la topología al estudio de la demostración mecánica de teoremas, creando un nuevo campo de las matemáticas modernas: la mecanización matemática. El método de mecanización matemática, conocido internacionalmente como "Método Wu", ha colocado a China en una posición de liderazgo en el campo de la mecanización matemática. Como dijo el propio profesor Wu Wenjun: "Las respuestas a los problemas mecanizados demostrados mediante teoremas geométricos se pueden encontrar desde el pensamiento hasta los métodos, al menos en las dinastías Song y Yuan. Su trabajo se inspiró "principalmente en las antiguas matemáticas chinas". El "Método Wu" es el desarrollo de la esencia de la algoritmización y mecanización de las matemáticas chinas antiguas.
Bajo la influencia de las computadoras, la tendencia de desarrollo de los algoritmos ha despertado naturalmente el interés de algunos académicos extranjeros en la tradición algorítmica de las matemáticas chinas antiguas. Ya a principios de la década de 1970, el famoso informático D.E. Knuth llamó la atención sobre los antiguos algoritmos chinos e indios. 5?. A lo largo de los años se han logrado algunos avances en esta área, pero en general todavía es necesario mejorar. Como todos sabemos, la antigua cultura china, incluidas las matemáticas, se extendió hacia Occidente a través de la famosa Ruta de la Seda, y la región árabe fue un importante punto de tránsito para la difusión de esta cultura. Algunas obras árabes existentes sobre matemáticas y astronomía contienen algunos conocimientos de matemáticas y astronomía chinas. Por ejemplo, hay bastantes problemas matemáticos en el famoso libro de Al Kesey "La clave de la aritmética" que provienen directa o indirectamente de China. Según la descripción de Al Qasi, en el observatorio donde trabajaba había muchos eruditos de China.
Sin embargo, durante mucho tiempo, debido a la influencia del "centrismo occidental", especialmente el "centrismo griego", así como las barreras del idioma y la escritura, los materiales relevantes no se han explorado en profundidad.
Para revelar completamente la relación entre las matemáticas orientales y el Renacimiento matemático europeo, el profesor Wu Wenjun asignó especialmente fondos especiales del más alto premio científico nacional que recibió para establecer el "Fondo de la Ruta de la Seda de Wu Wenjun para Matemáticas y Astronomía" para alentar y apoyar a los jóvenes. Los académicos pueden llevar a cabo investigaciones en profundidad en este campo.
Uno de los significados importantes de estudiar la historia de la ciencia es aprender del desarrollo histórico y promover la investigación científica realista. En términos simples, "el pasado sirve al presente". Wu Wenjun tiene una discusión incisiva sobre esto. Dijo: “Si comprendes el desarrollo histórico de las matemáticas, el surgimiento y desarrollo de un campo, el ascenso y declive de una teoría, los orígenes de un concepto, el surgimiento y la influencia de una idea importante y muchos otros factores históricos, Creo que saber más sobre matemáticas conducirá a una comprensión más clara y profunda de la situación actual de las matemáticas, que también puede desempeñar un papel rector en el futuro de las matemáticas. Es decir, el establecimiento de la teoría de la mecanización matemática es el resultado de la. gran renacimiento de la ciencia y la tecnología chinas. Logros más innovadores con fuertes características chinas y un sabor distintivo de la época.