Clasificación y métodos principales de varios puntos (como centro de gravedad, centro vertical, etc.) en imágenes matemáticas
Teorema del centro de gravedad del triángulo
\x05 Las líneas medias de los tres lados de un triángulo se cruzan en un punto. Este punto se llama centro de gravedad del triángulo.
La intersección de tres líneas medias se puede demostrar mediante el teorema de la cola de golondrina, que es muy sencillo. (El centro de gravedad es originalmente un concepto físico. Para cortes triangulares con el mismo grosor y masa uniforme, el centro de gravedad es exactamente la intersección de las tres líneas medias del triángulo, de ahí el nombre).
Las propiedades del centro de gravedad:
1. La relación entre la distancia desde el centro de gravedad al vértice y la distancia desde el centro de gravedad al punto medio del lado opuesto es 2: 1.
2. El área de los tres triángulos compuestos por el centro de gravedad y los tres vértices del triángulo es igual, es decir, la distancia del centro de gravedad a los tres lados es inversamente proporcional. al crecimiento de los tres bandos.
3. La suma de los cuadrados de las distancias desde el centro de gravedad a los tres vértices del triángulo es la más pequeña.
4. En el sistema de coordenadas cartesiano plano, las coordenadas del centro de gravedad son la media aritmética de las coordenadas de los vértices, es decir, las coordenadas del centro de gravedad son ((x1 x2 x3). )/3, (y1 y2 y3)/3.
\x05 II. Teorema de la excentricidad del triángulo
\x05 El centro del círculo circunscrito de un triángulo se llama centro exterior de el triángulo.
La esencia del mundo exterior:
1 Las perpendiculares de los tres lados del triángulo se cruzan en un punto, que es el centro exterior del triángulo. /p>
2. Si O es el centro exterior de △ABC, entonces ∠BOC=2∠A(. ∠A es un ángulo agudo o un ángulo recto) o ∠ BOC = 360-2 ∠ A (∠ A es un ángulo obtuso)
3. Cuando el triángulo es un triángulo de ángulo agudo, el centro del círculo exterior está dentro del triángulo cuando el triángulo es un triángulo de ángulo obtuso; triángulo rectángulo, el centro exterior está sobre la hipotenusa y coincide con el punto medio de la hipotenusa
4. Para calcular las coordenadas del epicentro, primero debes calcular las siguientes variables temporales: D1, D2 y. D3 son los productos escalares de los vectores que conectan los tres vértices de un triángulo y los otros dos vértices respectivamente C1 = D2D3, C2 = D1D3, C3 = d 1 D2; 2c, (C1 C3)/2c, (C1 C2)/2c).
5. Las distancias desde el centro exterior a los tres vértices son iguales
\x05 3. Teorema del vértice de un triángulo
\x05 Las tres alturas de un triángulo se cruzan en un punto, que se llama centro vertical del triángulo
La esencia del corazón:
p>
1. Un triángulo con tres vértices y tres catetos verticales puede obtener seis círculos de cuatro puntos
2. Los tres puntos del circuncentro O, centro de gravedad G y centro vertical. H*. *Línea, OG:GH=1:2 (Esta línea se llama línea de Euler del triángulo).
3. La distancia desde el centro vertical al vértice del triángulo es la distancia. desde el centro exterior del triángulo hasta el lado opuesto al vértice
4 El producto de las dos partes de cada línea de altitud es igual
Demostración del teorema
.Se sabe que en δABC, AD y BE son dos alturas, se cruzan en el punto o, conectan CO y prolongan la intersección de AB en el punto f. Verificación: CF⊥AB.
Demostración. :
Conecta de≈ADB =∠aeb = 90 Grados ∴A, b, d y E * * * Círculo ∴∠ADE = ∠ABE.
∠∠eao = ∠DAC ∠AEO = ∠ADC ∴δaeo∽δadc
∴ ae/ao=ad/ac ∴δead∽δoac ∴∠acf=∠ade=∠abe
∠∠Abe ∠BAC = 90 grados ∴∠ACF ∠BAC=90 grados ∴∴ CF ⊥ AB.
¡Entonces, el teorema del centro vertical se cumple!
\x05 Cuatro. Teorema interior de un triángulo
El centro de la circunferencia inscrita de un triángulo se llama centro del triángulo.
Esencia intrínseca:
1. Las tres bisectrices de un triángulo se cortan en un punto, que es el centro del triángulo.
2. La distancia del centro al lado de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los dos ángulos rectos menos la diferencia entre la hipotenusa.
3.p es cualquier punto del plano δABC, y la condición necesaria y suficiente para que el punto I sea el centro de δABC es: vector PI=(a×vector PA b×vector PB c×vector PC)/(a b c ).
4.o es el centro del triángulo, y A, B y C son los tres vértices del triángulo. Si el lado de la intersección AO BC se extiende hasta N, entonces AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB AC):BC.
\x05 5. El teorema pericéntrico de un triángulo
El centro del círculo tangente de un triángulo (un círculo tangente a un lado del triángulo y la extensión de los otros dos lados) se llama triángulo sincero.
Propiedades del centro del lado:
1. La bisectriz de un ángulo interior de un triángulo y la bisectriz de un ángulo exterior de los otros dos vértices se cortan en un punto. el centro lateral del triángulo.
2. Todo triángulo tiene tres lados.
3. La distancia desde el centro lateral a los tres lados es igual.
Como se muestra en la figura, el punto M es un punto pseudocentro de △ABC. La intersección de las bisectrices exteriores de dos ángulos cualesquiera de un triángulo y la bisectriz interior del tercer ángulo. Un triángulo tiene tres centros y deben estar fuera del triángulo.
Adjunto: El centro de un triángulo: Sólo un triángulo equilátero tiene centro. En este momento, el centro de gravedad, el centro interior, el centro exterior, el centro colgante y los cuatro centros están integrados en uno.
\x05 Un poema sobre los cinco corazones de un triángulo; la canción de los cinco corazones de un triángulo (énfasis en el exterior y el interior)
Hay cinco corazones en el triángulo, y los cinco corazones son muy importantes.
Chongxin
Las tres líneas medias deben cruzarse, y la ubicación de la intersección es realmente extraña. El punto de intersección se denomina "centro de gravedad" y la naturaleza del centro de gravedad debe quedar clara.
En la segmentación del centro de gravedad, puedes escuchar la proporción de un segmento de línea a varios segmentos; la proporción de longitud es de dos a uno, por lo que debes usarlo con flexibilidad y dominarlo bien.
Corazón Externo
El triángulo tiene seis elementos y tres ángulos interiores de tres lados. Supongamos que los tres lados son perpendiculares entre sí y las tres líneas se cruzan en un punto.
Este punto se define como el circuncentro y se puede utilizar como un círculo circunscrito.
Centro suspendido
Si un triángulo tiene tres puntos altos, entonces los tres puntos altos deben cruzarse en el centro vertical. La línea alta se divide en triángulos con tres pares de ángulos rectos.
Hay doce triángulos rectángulos, que forman seis pares de formas similares que se encuentran en el diagrama de cuatro puntos. Un análisis cuidadoso los revela claramente.
Corazón interior
Un triángulo corresponde a tres vértices, cada esquina tiene una bisectriz, y las tres rectas se cruzan en un punto determinado, que se llama "corazón interior" y tiene raíces. ;
Los puntos de los tres lados son todos equidistantes y pueden inscribirse en un triángulo. El centro de este círculo se llama "corazón interior", por lo que, naturalmente, es necesario definirlo.