¡Problema de matemáticas!
Los 23 problemas de Hilbert y sus soluciones
En 1900, Hilbert fue invitado a asistir al Congreso Internacional de Matemáticos en París y pronunció un importante discurso titulado "Problemas matemáticos" en el discurso de la reunión. . En este discurso histórico, presentó por primera vez muchas ideas importantes:
Así como todo esfuerzo humano persigue un objetivo definido, la investigación matemática también necesita sus propios problemas. Es a través de la resolución de estos problemas que los investigadores pueden ejercer su voluntad de hierro, descubrir nuevas perspectivas y alcanzar un ámbito más amplio de libertad.
Hilbert destacó especialmente el papel de los grandes problemas en el desarrollo de las matemáticas y señaló: "Si queremos tener una idea del posible desarrollo del conocimiento matemático en un futuro próximo, debemos mirar. Volviendo a los problemas actuales del progreso científico que esperamos resolver en el futuro". Al mismo tiempo, señaló: "La profunda importancia de ciertos tipos de problemas para el proceso matemático general y el importante papel que desempeñan en el trabajo de Los investigadores individuales son innegables mientras exista una sola rama de la ciencia. Si se pueden plantear un gran número de preguntas, ésta estará llena de vitalidad, mientras que la falta de preguntas indicará el declive o la suspensión del desarrollo independiente". p>
Explicó las características de las preguntas principales. Las buenas preguntas deben tener las siguientes tres características:
Claridad y facilidad de comprensión
Difíciles pero esperanzadoras. /p>
Importancia de gran alcance.
Al mismo tiempo, analizó las dificultades que suelen encontrarse a la hora de estudiar problemas matemáticos y algunos métodos para superarlas. Fue en esta reunión donde propuso 23 problemas que los matemáticos deberían esforzarse por resolver en el nuevo siglo, los famosos "23 problemas de Hilbert".
El problema de la numeración promueve la solución del campo del desarrollo
1 Teoría axiomática de conjuntos de la hipótesis del continuo En 1963, Paul J.Cohen demostró que el primer problema es irresoluble en el siguiente sentido de . Es decir, la verdad o falsedad de la hipótesis del continuo no se puede determinar dentro del sistema de axiomas de Zermelo_Fraenkel.
2 El fundamento matemático de la compatibilidad de los axiomas aritméticos La idea de Hilbert de demostrar la compatibilidad de los axiomas aritméticos se desarrolló más tarde en el plan sistemático de Hilbert ("metamatemática" o "teoría de la prueba"), pero en 1931 Gödel El "teorema incompleto" señaló la imposibilidad de utilizar la "metamatemática" para demostrar la compatibilidad de los axiomas aritméticos. El problema de la compatibilidad matemática sigue sin resolverse.
3 La igualdad de los volúmenes de tetraedros de dos alturas iguales y bases iguales. Este problema recibió rápidamente (1900) una respuesta positiva por parte del alumno de Hilbert, M. Dehn.
4 El problema de la línea recta como distancia más corta entre dos puntos. Fundamento de la geometría. Esta cuestión es demasiado general. Después de Hilbert, muchos matemáticos se dedicaron a construir y explorar varias geometrías métricas especiales y lograron grandes avances en el estudio del cuarto problema, pero el problema no se resolvió por completo.
5 No definir el concepto de grupo de Lie del supuesto de diferenciabilidad de la función del grupo Después de un largo período de esfuerzos en la teoría de grupos topológicos, este problema fue finalmente resuelto por Gleason, Montqomery, Zipping y otros. en 1952. La respuesta es sí.
6 Tratamiento matemático de los axiomas físicos En la física matemática, en los campos de la mecánica cuántica, la termodinámica y otros campos, los métodos axiomáticos han logrado un gran éxito, pero en términos generales, aún es necesario discutir qué significa la física axiomática. pregunta. La axiomatización de la teoría de la probabilidad ha sido establecida por AH Konmoropob et al.
7 La irracionalidad y la trascendencia de ciertos números Teoría de números trascendental En 1934, A.O Temohm y Schneieder resolvieron de forma independiente la segunda mitad de este problema.
8 Problema de los números primos Teoría de números La conjetura de Riemann en general sigue siendo una conjetura hoy en día. El problema de Goldbach incluido en el octavo problema aún no ha sido resuelto. Los matemáticos chinos han realizado una serie de trabajos destacados en esta área.
9 La prueba de la ley de reciprocidad más general en cualquier campo numérico ha sido resuelta por Takagi Sadaharu (1921) y E. Artin (1927).
10 Ecuación de Diofantius Discriminante. Análisis de solubilidad En 1970, matemáticos soviéticos y estadounidenses demostraron que el algoritmo general esperado por Hilbert no existe.
11 Forma cuadrática cuyos coeficientes son números algebraicos arbitrarios Teoría de la forma cuadrática H. Hasse (1929) y C. L. Siegel (1936, 1951) obtuvieron importantes resultados sobre esta cuestión.
12 El teorema de Kroneker sobre los campos de Abel se extiende a cualquier campo racional algebraico. La teoría de la multiplicación compleja aún no está resuelta.
13 Es imposible resolver una ecuación general de séptimo grado con una función de sólo dos variables. Teoría de ecuaciones y teoría de funciones reales La situación de las funciones continuas fue resuelta negativamente por los matemáticos soviéticos en 1957. Si se requiere una función analítica, el problema queda sin resolver.
14 Demostrar la finitud de un determinado tipo de sistema funcional completo Teoría algebraica invariante En 1958, Masaki Nagata dio una solución negativa.
15 Los fundamentos estrictos de la geometría algebraica del cálculo de Schubert Gracias a los esfuerzos de muchos matemáticos, es posible tratar la base del cálculo de Schubert de forma puramente algebraica, pero la racionalidad del cálculo de Schubert aún debe resolverse. En cuanto a los fundamentos de la geometría algebraica, han sido establecidos por B.L. Vander Waerden (1938-40) y A. Weil (1950).
16 Topología de curvas y superficies algebraicas Topología de curvas y superficies, teoría cualitativa de ecuaciones diferenciales ordinarias En la primera mitad del problema, se han producido continuamente resultados importantes en los últimos años.
17 La teoría de campos (campo real) de expresiones cuadradas en forma definida positiva fue resuelta por Artin en 1926.
18 El espacio construido por poliedros congruentes se resuelve parcialmente mediante la teoría de grupos cristalinos.
19 ¿La solución del problema de variación canónica debe ser analítica? La teoría de ecuaciones diferenciales parciales elípticas ha sido resuelta en cierto sentido.
20 Problemas generales de valores en la frontera Teoría de ecuaciones diferenciales parciales elípticas La investigación sobre problemas de valores en la frontera de ecuaciones diferenciales parciales está en auge.
21 La existencia de ecuaciones diferenciales parciales lineales con un grupo de valores único dado La teoría a gran escala de las ecuaciones diferenciales ordinarias lineales ha sido resuelta por el propio Hilbert (1905) y H.Rohrl (Alemania, 1957). .
22 Unificación de relaciones analíticas Superficie de Riemann sólida El caso de una variable ha sido resuelto por P.Koebe (Alemania, 1907).
23 Mayor desarrollo del cálculo de variaciones El propio Hilbert y muchos matemáticos hicieron importantes contribuciones al desarrollo del cálculo de variaciones.
El Congreso de Matemáticos Hace Cien Años y el Problema de Hilbert
Xiong Weimin
Próximamente se celebrará en Beijing el primer Congreso Internacional de Matemáticos del siglo XXI ¿Qué aportará al desarrollo de las matemáticas en este siglo? ¿Puede influir en la dirección del desarrollo de las matemáticas como el primer Congreso Internacional de Matemáticos del siglo XX? La razón por la que la conferencia de matemáticos de hace un siglo será recordada para siempre en la historia se debe exclusivamente a una persona y uno de sus informes: David Hilbert y sus "Problemas matemáticos".
En 1900, Hilbert propuso sus famosos 23 problemas matemáticos en el Segundo Congreso Internacional de Matemáticos en París. Durante el siguiente medio siglo, muchas de las principales mentes matemáticas del mundo giraron en torno a ellos. La situación es tal como dijo otro matemático muy famoso, H. Weyl: "Hilbert tocó su flauta mágica y un enjambre de ratas lo siguió y saltó al río. No es de extrañar, los problemas que planteó son tan claros". y fáciles de entender, y algunos de ellos son tan interesantes que muchos profanos están ansiosos por probarlos. Si resuelve alguno de ellos o logra un avance importante en cualquier problema, inmediatamente se hará famoso en todo el mundo: nuestro país. Chen Jingrun ha atraído la atención del mundo debido a su importante contribución a la resolución del octavo problema de Hilbert (es decir, el problema de los números primos, incluida la conjetura de Riemann, la conjetura de Goldbach, etc.). Cuando la gente resume el desarrollo de las matemáticas en el siglo XX, especialmente el desarrollo de las matemáticas en la primera mitad del siglo XX, normalmente utiliza las preguntas planteadas por Hilbert como marcas de navegación.
De hecho, la mayoría de estos problemas ya existen, y Hilbert no fue el primero en plantearlos. Pero se situó en un nivel superior, volvió a plantear estos problemas de una manera más clara y sencilla y señaló la dirección a seguir para resolver muchos de ellos.
Hay muchos problemas en el campo de las matemáticas. ¿Cuáles son más importantes y básicos? Tomar esa decisión requiere una visión profunda. ¿Por qué Hilbert tiene los ojos tan brillantes? Sr. Yuan Xiangdong (cotraducido con el Sr. Li Wenlin), historiador de las matemáticas, investigador del Instituto de Matemáticas y Ciencias de Sistemas de la Academia de Ciencias de China y traductor del libro "Hilbert - Alexander in the Kingdom de Matemáticas", cree que esto se debe a que Hilbert es Alejandro en el Reino de las Matemáticas. Los matemáticos se pueden dividir en dos categorías, uno es bueno para resolver problemas difíciles en matemáticas y el otro es bueno para hacer resúmenes teóricos de situaciones existentes. Ambas categorías se pueden subdividir en primera, segunda y tercera categoría. Hilbert era bueno en ambos. Viajó a casi todas las fronteras de las matemáticas modernas. Dejó su ilustre nombre en muchas ramas muy diferentes de las matemáticas. Conocía bien los antecedentes del desarrollo de las matemáticas y estaba familiarizado con los temas mencionados. Ha realizado investigaciones en profundidad sobre muchos problemas y es el "rey" en el campo de las matemáticas.
¿Por qué Hilbert resumió los problemas básicos de las matemáticas en la conferencia en lugar de anunciar uno de sus resultados como la gente corriente? Yuan Xiangdong dijo a los periodistas que esto está relacionado con otro gigante de las matemáticas, Henri Poincaré, que presentó un informe sobre matemáticas aplicadas en el Primer Congreso Internacional de Matemáticos celebrado en 1897. Los dos eran Géminis en la comunidad matemática internacional en ese momento. Ambos eran líderes. Por supuesto, también había un cierto grado de competencia, ya que Poincaré hablaba de sus puntos de vista generales sobre la relación entre la física y las matemáticas. hacer alguna defensa de las matemáticas puras.
Poincaré es francés y Hilbert es alemán. Francia y Alemania tienen una disputa, por lo que la competencia entre ellos también tiene el sabor de una competencia entre países. Si bien no es obvio que los dos se tengan en alta estima, sus estudiantes y maestros a menudo lo ven así.
El maestro de Hilbert, Felix Klein, era una persona con un fuerte sentido nacional. Enfatizó el desarrollo de las matemáticas alemanas y quería convertir la comunidad matemática internacional en una elipse, lo que antes era un círculo. el círculo es París; ahora quiere que su ciudad de Göttingen se convierta en el centro de las matemáticas mundiales, convirtiendo el mundo matemático en una elipse con dos centros.
Con la ayuda de Hilbert y su amigo cercano Hermann Minkowski, Klein logró su objetivo: en 1900, Hilbert ya había competido con los más grandes de Francia. Tan famosos como el matemático Poincaré, el propio Klein y Minkowski, que estaba a punto de vinieron a Gotinga, también fueron matemáticos muy influyentes. De hecho, en Alemania se les conoce como los "Tres Profesores Invencibles".
Puedes imaginar su encanto con un ejemplo.
Un día, mientras hablaba del famoso teorema de la topología, el teorema de los cuatro colores, Minkowski de repente tuvo una idea y dijo a la clase llena de estudiantes: "Este teorema aún no ha sido demostrado, porque así Hasta ahora, sólo algunos matemáticos de tercera categoría lo han estudiado. Ahora me toca a mí demostrarlo." Luego tomó la tiza y demostró el teorema en el acto. Después de que terminó esta clase, aún no había completado su certificación. Continuó testificando en la siguiente clase, y así continuó durante varias semanas. Finalmente, una mañana lluviosa, apenas subió al escenario, un rayo apareció en el cielo. "Dios también está enojado por mi arrogancia", dijo, "mi demostración también está incompleta". (El teorema no fue demostrado por computadora hasta 1994).
En 1912, Poinga Lai falleció. El centro de las matemáticas del mundo se ha desplazado aún más hacia Göttingen, y el mundo matemático parece haber vuelto a ser un círculo, pero el centro del círculo ha sido reemplazado por Göttingen. En ese momento, la reputación de la Escuela de Göttingen estaba en su apogeo y un eslogan popular entre los jóvenes matemáticos era "¡Empaca tus cosas y vete a Göttingen!". Ha pasado un siglo, y Hilbert aproximadamente la mitad. de los 23 problemas enumerados se han resuelto y la mayor parte de la otra mitad ha logrado avances significativos. Pero el propio Hilbert no resolvió ninguno de ellos. Alguien le preguntó por qué no resolvía los problemas que planteaba, como el último teorema de Fermat.
Fermat escribió el teorema en el margen de una página. También afirmó que se le había ocurrido una demostración maravillosa, pero desafortunadamente el margen no era lo suficientemente grande para escribirla. La respuesta de Hilbert fue igualmente divertida: "No quiero matar a esta gallina que sólo puede poner huevos de oro". - Un empresario alemán creó una fundación para recompensar a la primera persona que resolvió la ley de Fermat, Hilbert. El entonces presidente de la fundación utilizó la El interés del fondo fue invitar cada año a destacados académicos a dar conferencias en Gotinga. Por eso, para él, la Ley de Fermat era una gallina que sólo podía poner huevos de oro. (La Gran Ley de Fermat no se resolvió hasta 1997.)
Antes de enumerar los 23 problemas, Hilbert ya era un líder reconocido en la comunidad matemática internacional y había logrado muchos logros en muchos campos de las matemáticas. Sus otras contribuciones, como sus ideas axiomáticas, su concepción formalista, su "Fundamento de Geometría", etc., tuvieron un profundo impacto en el desarrollo de las matemáticas en el siglo XX.
1 Siete grandes problemas matemáticos del siglo XXI
Siete grandes problemas matemáticos del siglo XXI
Recientemente, el Instituto Clay de Matemáticas de Massachusetts, EE. UU., En 2000, el 24 de mayo, se anunció en el Collège de France de París un acontecimiento importante que fue promocionado por los medios: una recompensa de un millón de dólares estadounidenses por cada uno de los siete "problemas matemáticos milenarios". A continuación se muestra una breve introducción a estos siete acertijos.
Uno de los "Problemas de los mil Xi": problema P (algoritmo polinomial) versus problema NP (algoritmo no polinómico)
Un sábado por la noche, asististe a una gran fiesta . Sintiéndose incómodo, te preguntas si hay alguien en este salón que ya conoces. Tu anfitrión te propone que conozcas a Lady Rose que está en la esquina cerca del plato de postre. No te lleva ni un segundo echar un vistazo y comprobar que tu maestro tiene razón. Sin embargo, si no hay tal pista, debes mirar alrededor del pasillo y examinar a todos uno por uno para ver si hay alguien que reconozcas. Generar una solución a un problema suele llevar mucho más tiempo que verificar una solución determinada. Este es un ejemplo de este fenómeno general. De manera similar, si alguien te dice que el número 13,717,421 se puede escribir como el producto de dos números más pequeños, es posible que no sepas si creerle o no, pero si te dice que se puede factorizar en 3607 sobre 3803, entonces puedes Verifique fácilmente que esto sea correcto usando una calculadora de bolsillo. Independientemente de nuestra destreza para escribir programas, determinar si una respuesta puede verificarse rápidamente utilizando el conocimiento interno, o si no existe tal pista y llevará mucho tiempo resolverla, se considera uno de los problemas más destacados en lógica e informática. ciencia. Así lo afirmó Stephen Cook en 1971.
"Problema de los Mil Xi" Parte 2: Conjetura de Hodge
Los matemáticos del siglo XX descubrieron poderosos métodos para estudiar las formas de objetos complejos. La idea básica es preguntar hasta qué punto podemos formar la forma de un objeto dado pegando bloques de construcción geométricos simples de dimensiones crecientes.
Esta técnica se volvió tan útil que podía generalizarse de muchas maneras diferentes; eventualmente condujo a algunas herramientas poderosas que dieron a los matemáticos un gran éxito en la clasificación de la amplia variedad de objetos que encontraron en su progreso. Desafortunadamente, en esta generalización, el punto de partida geométrico del programa se vuelve borroso. En cierto sentido hay que añadir ciertos componentes que no tienen ninguna interpretación geométrica. La conjetura de Hodge afirma que para un tipo de espacio particularmente perfecto llamado variedades algebraicas proyectivas, los componentes llamados cierres de Hodge son en realidad combinaciones (lineales racionales) de componentes geométricos llamados cierres algebraicos.
“Problema de los Mil Xi” nº3: Conjetura de Poincaré
Si estiramos una goma elástica alrededor de la superficie de una manzana, entonces podremos hacerlo sin romperla y sin dejarla. sale de la superficie, déjalo moverse lentamente y encogerse hasta un punto. Por otro lado, si imaginamos la misma banda de goma estirándose y contrayéndose sobre la banda de rodadura de un neumático en la dirección apropiada, no hay manera de encogerla hasta cierto punto sin romper la banda de goma o la banda de rodadura del neumático. Decimos que la superficie de una manzana está "simplemente conectada", pero la superficie de un neumático no. Hace unos cien años, Poincaré ya sabía que la esfera bidimensional podía caracterizarse esencialmente por una conectividad simple, y propuso el problema de correspondencia de la esfera tridimensional (el conjunto de puntos a una distancia unitaria del origen en un espacio de cuatro dimensiones). ). El problema se volvió inmediatamente increíblemente difícil y los matemáticos han luchado con él desde entonces.
"Dilema de los mil Xi" nº 4: Hipótesis de Riemann
Algunos números tienen propiedades especiales que no pueden expresarse como el producto de dos números más pequeños, por ejemplo, 2, 3, 5,7,etc Estos números se denominan números primos; desempeñan un papel importante tanto en las matemáticas puras como en sus aplicaciones. Entre todos los números naturales, esta distribución de números primos no sigue ningún patrón regular; sin embargo, el matemático alemán Riemann (1826-1866) observó que la frecuencia de los números primos está estrechamente relacionada con la llamada función Zeitah de Riemann, cuidadosamente construida. comportamiento de z(s$. La famosa hipótesis de Riemann afirma que todas las soluciones significativas de la ecuación z(s)=0 están en línea recta. Esto se ha verificado para las primeras 1.500.000.000 soluciones. Demuestre que es cierto para todas las El establecimiento de una solución significativa arrojará luz sobre muchos misterios que rodean la distribución de números primos
"Problema de los mil Xi" Parte 5: Existencia de Yang-Mills y brecha de masa
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Las leyes de la física cuántica se aplican al mundo de las partículas elementales de la misma manera que las leyes de la mecánica clásica de Newton se aplican al mundo macroscópico Hace aproximadamente medio siglo, Yang Zhenning y Mills descubrieron que la física cuántica revelaba la relación entre las partículas elementales. Física y geometría Se han confirmado relaciones notables entre las matemáticas de los objetos en experimentos de alta energía realizados en laboratorios de todo el mundo: Brockhaven, Stanford, Europa Institute for Particle Physics y Tsukuba. , sus ecuaciones matemáticamente rigurosas que describen partículas pesadas no tienen ninguna solución conocida, y son confirmadas por la mayoría de los físicos en sus trabajos sobre los "quarks". La hipótesis de la "brecha de masa" utilizada en la explicación de la invisibilidad nunca ha sido matemáticamente satisfactoria. en este problema se requiere la introducción de ideas fundamentalmente nuevas, tanto física como matemáticamente
"Problema de los Mil Xi" No. 6: La existencia y suavidad de la ecuación de Navier-Stokes
Las olas ondulantes nos siguen. Los barcos serpentean por el lago y el aire turbulento sigue el vuelo de nuestros aviones modernos. Los matemáticos y físicos están convencidos de que tanto la brisa como las turbulencias se pueden resolver mediante la comprensión de la ecuación de Navier-Stokes. en el siglo XIX, nuestra comprensión de ellos es todavía muy escasa: el misterio en la ecuación de Stokes
"Problema de los mil Xi" n.° 7: conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer
Los matemáticos siempre han estado fascinados por el problema de caracterizar todas las soluciones enteras de ecuaciones algebraicas como x^2 y^2=z^2. Euclides una vez dio una solución completa a esta ecuación, pero para ecuaciones más complejas, esto se convierte en. De hecho, como señaló Yu.V. Matiyasevich, el décimo problema de Hilbert no tiene solución, es decir, no existe una forma general de determinar si tal método es posible cuando la solución es un punto. de una variedad abeliana, las conjeturas de Bayhe y Sveinton-Dyer sostienen que el tamaño del grupo de puntos racionales está relacionado con una función de Zeita z(s) en el comportamiento cercano s=1. En particular, esta interesante conjetura sostiene que si z(1) es igual a 0, entonces hay infinitos puntos racionales (soluciones) y, a la inversa, si z(1) no es igual a 0, entonces solo hay un número finito. de tales puntos.