Problemas de factorización matemática...más detalles

Definición: convertir un polinomio en el producto de varios números enteros. Esta transformación se llama factorización del polinomio, también conocida como factores de descomposición.

Importancia: Es una de las transformaciones de identidad más importantes en las matemáticas de la escuela secundaria. Se usa ampliamente en las matemáticas elementales y es una herramienta poderosa para resolver muchos problemas matemáticos. Los métodos de factorización son flexibles y altamente técnicos. Aprender estos métodos y técnicas no solo es necesario para dominar el contenido de la factorización, sino que también juega un papel único en el cultivo de las habilidades de resolución de problemas de los estudiantes y el desarrollo de sus habilidades de pensamiento. Aprenderlo no solo puede repasar las cuatro operaciones aritméticas de números enteros, sino que también sienta una base sólida para aprender fracciones; aprenderlo bien no solo puede cultivar las habilidades de observación, atención y cálculo de los estudiantes, sino también mejorar su capacidad para analizar y analizar de manera integral. resolver problemas.

La factorización y la multiplicación de números enteros son transformaciones inversas entre sí.

[Editar este párrafo] Método de factorización

No existe un método universal de factorización. Los libros de texto de matemáticas de la escuela secundaria introducen principalmente el método de formulación de factores comunes y el método de fórmula. En la competencia, existen métodos de división y suma de términos, descomposición de grupos y multiplicación cruzada, método de coeficiente indeterminado, multiplicación cruzada doble, método de simetría rotacional, método del teorema del resto, etc.

[Editar este párrafo] Método básico

⑴Método de factor común

Los factores comunes contenidos en cada término se denominan factores comunes de términos.

Si cada término de un polinomio tiene un factor común, se puede plantear el factor común, convirtiendo así el polinomio en la forma del producto de dos factores. Este método de descomposición de factores se llama fórmula de factor común. .

Método específico: Cuando cada coeficiente es un número entero, el coeficiente del factor común debe ser el máximo común divisor de los coeficientes, las letras deben ser las mismas letras de cada elemento, y el exponente de cada letra; debe ser el grado más bajo; tome el mismo polinomio y tome el grado más bajo del polinomio.

Si el primer término del polinomio es negativo, generalmente se requiere un signo "-" para que el coeficiente del primer término entre paréntesis sea un número positivo. Cuando se propone el signo "-", se deben cambiar los signos de cada término del polinomio.

Por ejemplo: -am+bm+cm=-m(a-b-c

a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)= (x-y)(a-b).

Nota: convertir 2a^2+1/2 en 2(a^2+1/4) no se llama factor común

⑵Método de fórmula

Si inviertes la fórmula de multiplicación, puedes factorizar ciertos polinomios. Este método se llama método de fórmula.

Fórmula de diferencia cuadrada: a^2-b^2=(a+b)(a-b);

Fórmula cuadrada completa: a^2±2ab+b^2=(); a± b)^2;

Nota: El polinomio que se puede factorizar usando la fórmula del cuadrado perfecto debe ser un trinomio, dos de los cuales se pueden escribir como la suma de los cuadrados de dos números. (o fórmulas), y el otro Un término es el doble del producto de estos dos números (o fórmulas).

Fórmula de suma cúbica: a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2);

Fórmula de diferencia cúbica: a^3); -b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2);

Fórmula cúbica completa: a^3±3a^2b+3ab^2±b^3=(a± segundo) ^3.

Consulta la imagen de arriba para ver el resto de fórmulas.

Por ejemplo: a^2 +4ab+4b^2 = (a+2b)^2 (ver imagen de la derecha).

[Editar este párrafo] Métodos utilizados en la competencia

⑶Método de descomposición de grupos

La descomposición de grupos es un método simple para resolver ecuaciones, aprendamos este conocimiento.

Las ecuaciones que se pueden agrupar y descomponer tienen cuatro o más términos. Generalmente, existen dos formas de descomposición por agrupación: el método de dos mitades y el método de tres uno.

Por ejemplo:

ax+ay+bx+by

=a(x+y)+b(x+y)

=(a+b)(x+y)

Agrupamos ax y ay en un grupo, y agrupamos bx y by en un grupo. Usamos la ley distributiva de la multiplicación para unir los dos. lo que inmediatamente alivia la dificultad.

De igual forma, esta pregunta también se puede hacer de la misma forma.

ax+ay+bx+por

=x(a+b)+y(a+b)

=(a+b)(x +y)

Algunos ejemplos:

1. 5ax+5bx+3ay+3by

Solución: =5x(a+b)+3y(a +b)

=(5x+3y)(a+b)

Nota: Se pueden agrupar y descomponer diferentes coeficientes Como se indicó anteriormente, considere 5ax y 5bx como un todo, trátelos. 3ay y 3by en su conjunto, y usa la ley distributiva de la multiplicación para resolverlos fácilmente.

2. x3-x2+x-1

Solución: =(x3-x2)+(x-1)

=x2(x-1 )+(x-1)

=(x-1)(x2+1)

Usa el método de bisección para encontrar x2 usando el método del factor común y luego combínalo para solucionarlo fácilmente.

3. x2-x-y2-y

Solución: =(x2-y2)-(x+y)

=(x+y) (x-y)-(x+y)

=(x+y)(x-y-1)

Utilice el método de bisección y luego utilice el método de fórmula a2-b2=( a +b)(a-b), y luego resuélvanlos juntos.

⑷Método de multiplicación cruzada

Hay dos situaciones en este método.

① Factorización de fórmulas de tipo x^2+(p+q)x+pq

Las características de este tipo de trinomio cuadrático son: los coeficientes del término cuadrático son 1 ; el término constante es el producto de dos números; el coeficiente del término lineal es la suma de los dos factores del término constante. Por lo tanto, podemos factorizar directamente algunos trinomios cuadráticos cuyos coeficientes son 1: x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).

② Factorización de la fórmula de tipo kx^2+mx+n

Si k=ac, n=bd y ad+bc=m, entonces kx^2+mx +n=(ax+b)(cx+d)．

El diagrama es el siguiente:

a b

×

c d

Por ejemplo: porque

1 -3

×

7 2

-3×7=-21, 1×2=2 y 2-21 =-19,

Entonces 7x^2-19x-6=(7x+2)(x-3)．

La fórmula para la multiplicación cruzada: descomponer de cabeza a cola, multiplicar en forma cruzada y sumar el medio

⑸Dividir términos y sumar términos

Este método se refiere a A cierto término del polinomio se divide o se completa con dos (o varios) términos que son opuestos entre sí, lo que hace que la fórmula original sea adecuada para la descomposición mediante el método de factor común, el método de fórmula o el método de descomposición de grupos. Cabe señalar que la transformación debe realizarse bajo el principio de igualdad con el polinomio original.

Por ejemplo: bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)

=bc(c-a+a+b)+ca(c-a ) -ab(a+b)

=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)

=c(c-a ) (b+a)+b(a+b)(c-a)

=(c+b)(c-a)(a+b)．

⑹Método de coordinación

Para algunos polinomios que no se pueden usar con el método de fórmula, puedes combinarlos en una forma completamente cuadrada y luego usar la fórmula de diferencia cuadrada para factorizarlos Descomposición, este método se llama método de coincidencia. Es un caso especial del método de dividir y sumar elementos. Tenga en cuenta también que la transformación debe realizarse bajo el principio de igualdad con el polinomio original.

Por ejemplo: x^2+3x-40

=x^2+3x+2.25-42.25

=(x+1.5)^2- ( 6.5)^2

=(x+8)(x-5)．

⑺Aplicar el teorema del factor

Para el polinomio f(x)=0, si f(a)=0, entonces f(x) debe contener el factor x-a.

Por ejemplo: f(x)=x^2+5x+6, f(-2)=0, entonces se puede determinar que x+2 es un factor de x^2+5x+ 6. (De hecho, x^2+5x+6=(x+2)(x+3).)

⑻Método de sustitución

A veces, al descomponer factores, puedes El método de reemplazar la misma parte del polinomio con otro número desconocido, luego factorizarlo y finalmente convertirlo nuevamente se llama método de sustitución.

Nota: No olvide devolver el yuan después de cambiarlo.

Por ejemplo, al descomponer (x^2+x+1)(x^2+x+ 2)-12, puedes dejar y=x^2+x, entonces

Fórmula original=(y+1)(y+2)-12

=y^2 +3y+2-12= y^2+3y-10

=(y+5)(y-2)

=(x^2+x+5)( x^2+x-2 )

=(x^2+x+5)(x+2)(x-1)．

Ver también la imagen de la derecha.

⑼Método raíz

Supongamos que el polinomio f(x)=0 y encuentre sus raíces como x1, x2, x3,...xn, luego el polinomio se puede descomponer en f( x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn)．

Por ejemplo, al descomponer 2x^4+7x^3-2x^2-13x+6, sea 2x^4 +7x^3-2x^2-13x+6=0,

Luego, mediante una división integral, podemos saber que las raíces de esta ecuación son 0,5, -3, -2, 1.

Entonces 2x^4+7x^3-2x^2-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1).

⑽Método de imagen

Sea y=f(x), haga una imagen de la función y=f(x) y encuentre los puntos de intersección x1 y x2 de la imagen de la función y el eje X, x3,...xn, entonces el polinomio se puede factorizar como f(x)= f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)...(x- xn).

En comparación con el método ⑼, puede evitar el tedio de resolver ecuaciones, pero no es lo suficientemente preciso.

Por ejemplo, al descomponer x^3 +2x^2 -5x-6, puedes configurar y=x^3 +2x^2 -5x-6.

para hacer su imagen, El punto de intersección con el eje x es -3, -1, 2

Entonces x^3 +2x^2-5x-6=(x+1)(x+3)( x-2).

⑾Método del componente pivote

Primero seleccione una letra como componente principal, luego organice los elementos de acuerdo con el grado de esta letra de mayor a menor y luego factorícelo.

⑿Método de valor especial

Sustituye 2 o 10 en x para encontrar el número p, descompone el número p en factores primos, combina los factores primos apropiadamente y suma cada combinación. Un factor es escrito en forma de suma y diferencia de 2 o 10, y 2 o 10 se reduce a x para obtener la fórmula de factorización.

Por ejemplo, al descomponer x^3+9x^2+23x+15, sea x=2, entonces

x^3 +9x^2 +23x+15=8 + 36+46+15=105,

Descompone 105 en el producto de 3 factores primos, es decir, 105=3×5×7.

Observa que el coeficiente del término más alto del polinomio es 1, y 3, 5 y 7 son x+1, x+3, x+5 respectivamente, los valores cuando x=2 ,

Entonces x^3+9x^2+23x+15 puede ser igual a (x+1)(x+3)(x+5), que de hecho es el caso después de la verificación.

⒀Método del coeficiente indeterminado

Primero determine la forma del factor de descomposición, luego establezca el coeficiente de letras del número entero correspondiente, encuentre el coeficiente de letras y luego factorice el polinomio.

Por ejemplo, al descomponer x^4-x^3-5x^2-6x-4, el análisis muestra que este polinomio no tiene factores de primer orden, por lo que solo se puede descomponer en dos factores cuadráticos .

Entonces, sea x^4-x^3-5x^2-6x-4=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)

=x^4+(a+c)x^3+(ac+b+d)x^2+(ad+bc)x+bd

De esto podemos obtener a+c=- 1,

ac+b+d=-5,

ad+bc=-6,

bd=-4.

La solución es a=1, b=1, c=-2, d=-4.

Entonces x^4-x^3-5x^2-6x-4=(x^2+x+1)(x^2-2x-4).

Ver también la imagen de la derecha.

⒁Método de multiplicación cruzada doble

El método de multiplicación cruzada doble pertenece a un tipo de factorización, similar al método de multiplicación cruzada. Utilice un ejemplo para ilustrar cómo usarlo.

Ejemplo: Factorizar: x^2+5xy+6y^2+8x+18y+12.

Análisis: Se trata de un hexanomio cuadrático, que se puede factorizar mediante el método de la multiplicación cruzada doble.

Solución:

x 2y 2

① ② ③

x 3y 6

∴ Fórmula original = (x+2y+2)(x+3y+6)．

Los pasos del método de multiplicación cruzada doble son:

① Primero use el método de multiplicación cruzada para descomponer el término de segundo grado, como X^2+5xy+6y^ en el diagrama de multiplicación cruzada ① 2=(x+2y)(x+3y);

②Primero, use el término constante fraccional del coeficiente lineal de una letra (como y). Por ejemplo, en el diagrama de multiplicación cruzada ②, 6y^2+18y+12=(2y+2)(3y+6)

③ Luego presione el primer coeficiente de otra letra (como x) Para realizar pruebas, como el diagrama de multiplicación cruzada ③, este paso no se puede omitir; de lo contrario, es fácil cometer errores.

[Editar este párrafo] Pasos generales para la factorización de polinomios:

① Si cada término del polinomio tiene un factor común, entonces menciona el factor común primero

< p; > ② Si no hay factores comunes para cada término, puedes intentar usar fórmulas y multiplicación cruzada para descomponerlo

③ Si no puedes descomponerlo con los métodos anteriores, puedes intentar usar agrupación; términos divididos y términos complementarios Método para descomponer

④ La descomposición de factores debe llevarse a cabo hasta que cada factor polinómico ya no pueda descomponerse.

También se puede resumir en una frase: "Primero verifique si hay factores comunes y luego vea si se puede establecer la fórmula. Pruebe la multiplicación cruzada, y la agrupación y descomposición deben ser apropiadas.

”

Algunos ejemplos

1. Factorizar (1+y)^2-2x^2(1+y^2)+x^4(1-y) ^2

Solución: Fórmula original = (1+y)^2+2(1+y)x^2(1-y)+x^4(1-y)^2-2 (1. +y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2) (complemento)

=[(1+y)+x^2(1-y )]^ 2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2) (cuadrado perfecto)

=[(1+y)+x ^2( 1-y)]^2-(2x)^2

=[(1+y)+x^2(1-y)+2x][(1+y)+x ^2( 1-y)-2x]

=(x^2-x^2y+2x+y+1)(x^2-x^2y-2x+y+1)

=[(x+1)^2-y(x^2-1)][(x-1)^2-y(x^2-1)]

= (x+ 1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y).

2. Demuestre: Para cualquier número real x, y, la siguiente fórmula El valor no será 33:

x^5+3x^4y-5x^3y^2-15x^2y^3+4xy^4+12y^5

Solución :Original. fórmula=(x^5+3x^4y)-(5x^3y^2+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5)

=x^4(x +3y )-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y)

=(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4 )

=(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2)

=(x+3y)(x+y) (x-y )(x+2y)(x-2y).

(El proceso de factorización también se puede ver en la imagen de la derecha.)

Cuando y=0, el original. fórmula = x^5 no es igual a 33; cuando y no es igual a 0, x+3y, x+y, x-y, x+2y, x-2y son diferentes entre sí y 33 no se puede dividir en el producto. de más de cuatro factores diferentes, por lo que la proposición original Establecida

3.. Los tres lados a, byc de △ABC tienen la siguiente relación: -c^2+a^2+2ab. -2bc=0. Verificar: Este triángulo es un triángulo isósceles.

Análisis: Esta pregunta es esencialmente una factorización del polinomio en el lado izquierdo de la ecuación. ∵-c^2+a^2+2ab-. 2bc=0,

∴(a+c)(a-c)+2b(a-c)=0. a-c)(a+2b+c)=0.

∵a, b, c son los tres lados de △ABC,

∴a＋2b＋c＞0.

∴a-c=0,

Es decir, a=c, △ABC es un triángulo isósceles.

4． Factorizar -12x^2n×y^n+18x^(n+2)y^(n+1)-6x^n×y^(n-1).

Solución: -12x^2n×y^n+18x^(n+2)y^(n+1)-6x^n×y^(n-1)

=-6x^n×y^(n-1)(2x^n×y-3x^2y^2+1)．

[Editar este párrafo] Cuatro notas sobre la factorización:

Las cuatro notas sobre la factorización se pueden resumir en cuatro frases de la siguiente manera: Si el primer término es negativo, levántalo siempre; hay "público" en cada elemento, mencione "público" primero. Si se propone un elemento determinado, no omita 1 y coloque "inferior" entre paréntesis. El siguiente ejemplo se proporciona como referencia

Ejemplo 1: Factor -a2-b2+2ab+4.

Solución: -a2-b2+2ab+4=-(a2-2ab+b2-4)=-(a-b+2)(a-b-2)

La "negativo" aquí se refiere al "signo menos". Si el primer término del polinomio es negativo, generalmente se requiere un signo negativo para que el coeficiente del primer término entre paréntesis sea positivo.

Evite que los estudiantes cometan errores como -9x2+4y2=(-3x)2-(2y)2=(-3x+2y)(-3x-2y)=(3x-2y)(3x+2y)

Ejemplo 2- 12x2nyn+18xn+2yn+1-6xnyn-1 factorizar. Solución: -12x2nyn+18xn+2yn+1-6xnyn-1=-6xnyn-1 (2xny-3x2y2+1)

Aquí "común" se refiere al "factor común". Si cada término del polinomio contiene un factor común, primero extraiga este factor común y luego descomponga aún más los factores. "1" aquí significa que cuando un término entero del polinomio es un factor común, primero proponga este factor común. , no te pierdas el 1 entre paréntesis.

La factorización debe realizarse hasta que cada factor polinómico ya no pueda factorizarse más. Eso significa llegar hasta el final y no darse por vencido a mitad del camino. Esto incluye mencionar los factores comunes "limpiamente" a la vez, sin dejar "colas" y hacer que cada polinomio entre paréntesis ya no sea descomponible. Evite que los estudiantes cometan errores como 4x4y2-5x2y2-9y2=y2 (4x4-5x2-9)=y2 (x2+1) (4x2-9).

Tenga en cuenta durante el examen:

Cuando no hay explicación para convertir a números reales, suele ser suficiente convertir a números racionales