Debe memorizar fórmulas de matemáticas para el examen de ingreso a la universidad de artes liberales

1. Colección completa de fórmulas de inducción para matemáticas de secundaria:

Las fórmulas de inducción más utilizadas incluyen los siguientes grupos:

Fórmula 1:

Sea α Para cualquier ángulo, los valores de una misma función trigonométrica de ángulos con los mismos lados terminales son iguales:

sin (2kπ+α) = sinα (k∈Z)

cos (2kπ+α) = cosα (k ∈Z)

tan (2kπ+α)=tanα (k∈Z)

cot (2kπ+α) =cotα (k∈Z)

Fórmula 2:

Supongamos que α es un ángulo arbitrario, la relación entre el valor de la función trigonométrica de π α y el valor de la función trigonométrica de α:

sin (π+α) = -sinα

cos（π＋α）＝－cosα

tan（π＋α）＝tanα

cuna （π＋α）＝cotα

Fórmula 3:

La relación entre los valores de la función trigonométrica de cualquier ángulo α y -α:

sin (-α ) = -sinα

cos (-α) = cosα

tan (-α) = -tanα

cot (-α) = -cotα

Fórmula 4:

Usando la fórmula 2 y la fórmula 3, podemos obtener π -La relación entre los valores de la función trigonométrica de α y α:

sin ( π-α) = sinα

cos (π-α) = -cosα

tan（π－α）＝－tanα

cot（π－α ）＝－cotα

Fórmula 5:

Usando la fórmula 1 y la fórmula 3, podemos obtener la relación entre los valores de la función trigonométrica de 2π-α y α:

sin (2π-α) = -sinα

cos (2π-α) = cosα

tan（2π－α）＝－tanα

cot（2π－α）＝－cotα

Fórmula 6:

π/2±α Y la relación entre los valores de la función trigonométrica de 3π/2 ±α y α:

sin (π/2+α) = cosα

cos (π/2+α) = -sinα

tan（π /2＋α）＝－cotα

cot（π/2＋α）＝－tanα

sin（π/2－α）＝cosα

cos（π/ 2－α）＝sinα

tan（π/2－α）＝cotα

cot（π/2－α）＝tanα

sin（3π /2＋α）＝－cosα

cos（3π/2＋α）＝sinα

tan（3π/2＋α）＝－cotα

cot（3π/2＋α） ＝－tanα

sin（3π/2－α）＝－cosα

cos（3π/2－α）＝－sinα

tan（3π/ 2－α）＝cotα

cot（3π/2－α）＝tanα

(k∈Z arriba)

Nota: Al resolver el problema, es más fácil pensar en a como un ángulo agudo.

Consejos para la memoria de fórmulas inducidas

※Resumen de reglas※

Las fórmulas inducidas anteriores se pueden resumir como:

Para π/ 2*k El valor de la función trigonométrica de ±α(k∈Z),

①Cuando k es un número par, se obtiene el valor de la función α con el mismo nombre, es decir, el nombre de la función no cambiar;

②Cuando k es un número impar, se obtiene el valor de cofunción correspondiente de α, es decir, sin→cos; >

(cambios de impar a par sin cambios)

Luego agregue delante el signo del valor de la función original cuando α se considera un ángulo agudo.

(Ver el cuadrante para símbolos)

Por ejemplo:

sin(2π-α)=sin(4·π/2-α), k =4 es un número par, así que toma senα.

Cuando α es un ángulo agudo, 2π-α∈(270°, 360°), sin(2π-α)<0, el símbolo es "-".

Entonces sin(2π-α)=-sinα

La fórmula de memoria anterior es:

De impar a par no cambia, el símbolo depende del cuadrante .

El símbolo en el lado derecho de la fórmula es cuando α se considera un ángulo agudo, el ángulo k·360° α (k∈Z), -α, 180°±α, 360°- α

El signo del valor de la función trigonométrica original en el cuadrante se puede memorizar

El nombre inducido horizontal permanece sin cambios; el signo depende del cuadrante.

#

¿Cómo juzgar los símbolos de varias funciones trigonométricas en los cuatro cuadrantes? También puedes recordar la fórmula "uno es todo positivo; dos es seno (cosecante); tres es tangente; cuatro es tangente Coseno (Secante)".

El significado de esta fórmula de doce caracteres es:

Los valores de las cuatro funciones trigonométricas de cualquier ángulo del primer cuadrante son "+";

En el segundo cuadrante, solo el seno es "+", y el resto son "-";

En el tercer cuadrante, la función inscrita es "+", y la función de cuerda es "-" ;

En el cuarto cuadrante, solo el coseno es "+", y el resto son todos "-".

La fórmula de memoria anterior es: uno es perfecto, dos es seno, tres está inscrito y cuatro es coseno

#

También hay una manera de defina lo positivo según el tipo de función Negativa:

Tipo de Función Primer Cuadrante Segundo Cuadrante Tercer Cuadrante Cuarto Cuadrante

Seno................. ........+..... .....＋............——............——.. ......

Coseno.. .......＋............——............ .——............＋.....

Tangente.............＋...... ......--- ..＋............——........

Cotangente........ ..............＋..... .......—............＋......... ...——.......

Igual que Relaciones básicas de funciones trigonométricas angulares

Relaciones básicas de funciones trigonométricas del mismo ángulo

Relaciones recíprocas:

tanα ·cotα=1

sinα ·cscα＝1

cosα ·secα＝1

La relación entre cocientes:

sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα

cosα/sinα=cotα=cscα/secα

Relación cuadrada:

sin^2(α)+cos^2(α)=1

1+tan^2 (α)＝sec^2(α)

1+cot^2 (α)＝csc^2(α)

Método de memoria hexagonal para la relación entre funciones trigonométricas congruentes

Método de memoria hexagonal: (ver imágenes o enlaces de referencia)

La construcción se basa en el hexágono regular de "cuerda superior, corte medio, corte inferior; izquierda derecha, resto derecho y 1 medio" como modelo.

(1) Relación recíproca: las dos funciones en la diagonal son recíprocas entre sí.

(2) Relación de cociente: el valor de la función en cualquier vértice del hexágono es igual a; El producto de los valores de la función en sus dos vértices adyacentes.

(principalmente el producto de los valores de la función trigonométrica en ambos extremos de las dos líneas de puntos). A partir de esto, se puede obtener la relación del cociente.

(3) Relación cuadrática: En un triángulo sombreado, la suma de los cuadrados de los valores de la función trigonométrica en los dos vértices superiores es igual al cuadrado del valor de la función trigonométrica en los vértices inferiores.

La fórmula de la suma y diferencia de dos ángulos

La fórmula trigonométrica de la suma y diferencia de dos ángulos

sen (α+β)=sinαcosβ +cosαsinβ

sin ( α-β) = sinαcosβ-cosαsinβ

cos (α+β) = cosαcosβ-sinαsinβ

cos (α-β) = cosαcosβ+sinαsinβ

tan (α+β)＝ (tanα tanβ)/(1-tanαtanβ)

tan (α-β)=(tanα-tanβ)/(1+ tanα·tanβ)

Fórmula de ángulos dobles

Fórmulas para seno, coseno y tangente de ángulos dobles (fórmulas elevadas a ángulos reducidos)

sin2α＝2sinαcosα

cos2α＝cos^2(α)-sin^2(α) =2cos^2(α)-1＝1-2sin^2(α)

tan2α＝2tanα/[ 1-tan^2(α)]

Fórmula de medio ángulo

p>

Fórmulas de seno, coseno y tangente de medio ángulo (fórmula de expansión de potencia reductora)

sin^2(α/2)=(1-cosα)/2

cos^2(α/2)＝(1＋cosα)／2

tan^ 2(α/2)＝(1-cosα)／(1＋cosα)

También existe tan( α/2)=(1-cosα)/sinα=sinα/(1 cosα)

Fórmula universal

Fórmula universal

sinα=2tan(α/ 2)/[1 tan^2(α/2)]

cosα =[1-tan^2(α/2)]/[1 tan^2(α/2)]

tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/ 2)]

Derivación de fórmula universal

Derivación adjunta:

sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/(cos^2(α) sin^2(α) )...*,

(porque cos^2(α) sin^2(α )=1)

Luego divide la * fracción hacia arriba y hacia abajo por cos^2( α), podemos obtener sin2α=2tanα/(1+tan^2(α))

Luego use α /2 para reemplazar α.

De la misma forma se puede derivar la fórmula universal del coseno. La fórmula universal de la tangente se encuentra comparando el seno con el coseno.

Fórmula del triple del ángulo

Las fórmulas del seno, coseno y tangente del triple del ángulo

sin3α＝3sinα－4sin^3(α)

cos3α＝4cos^3(α)-3cosα

tan3α＝[3tanα-tan^3(α)]／[1-3tan^2(α)]

Derivación de la fórmula del ángulo tres veces

Derivación adjunta:

tan3α＝sin3α/cos3α

=(sin2αcosα＋cos2αsinα)/(cos2αcosα-sin2αsinα)

=(2sinαcos ^2(α)+cos^2(α)sinα-sin^3(α))/(cos^3(α)-cosαsin^2(α)-2sin^2(α )cosα)

Dividimos por cos^3(α) como arriba y abajo, obtenemos:

tan3α=(3tanα-tan^3(α))/(1-3tan ^2(α))

sin3α=sin(2α+α)=sin2αcosα+cos2αsinα

=2sinαcos^2(α)+(1-2sin^2(α)) sinα

=2sinα-2sin^3(α )+sinα-2sin^3(α)

=3sinα-4sin^3(α)

cos3α ＝cos(2α+α)＝cos2αcosα-sin2αsinα

= (2cos^2(α)-1)cosα-2cosαsin^2(α)

=2cos^3(α )-cosα+(2cosα-2cos^3(α))

＝4cos^3(α)－3cosα

Es decir

sin3α＝3sinα－ 4sin^3(α)

cos3α＝4cos^3(α) -3cosα

Memoria asociativa de la fórmula del ángulo tres veces

★Método de memoria: homofonía, asociación

Seno tres veces el ángulo: 3 yuanes menos 4 yuanes y 3 jiao (endeudado (reducido a un número negativo), por lo que tenemos que "ganar dinero" (suena como "seno"))

Coseno tres veces el ángulo: 4 yuanes y 3 monedas de diez centavos menos 3 yuanes (hay un "resto" después de la resta)

☆☆Preste atención al nombre de la función, es decir, tres veces el ángulo del seno se expresa como seno, y tres veces el ángulo del coseno se expresa como coseno.

★Otro método de memoria:

Tres veces el ángulo del seno: Shanwu Commander (homófono de "三无四里" Tres dedos significa "3 veces" sinα y cero). significa menos, cuatro se refiere a "4 veces" y vertical se refiere al cubo sinα

Ángulo triple coseno: el comandante Wushan es el mismo que el anterior

Fórmula del producto de suma y diferencia<. /p >

Fórmula del producto de sumas y diferencias de funciones trigonométricas

sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]

sinα-sinβ =2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]

cosα+cosβ＝2cos[(α+β)/2]· cos[(α-β)/2]

cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]

Fórmula de integración y diferencia

Funciones trigonométricas La fórmula del producto y diferencia

sinα ·cosβ=0.5[sin(α+β)+sin(α-β)]

cosα ·sinβ=0.5[sin(α+β)-sin( α-β)]

cosα ·cosβ＝0.5[cos(α+β)+cos(α-β)]

sinα ·sinβ＝-0.5[cos(α+β)-cos( α-β)]

Derivación de la fórmula del producto suma-diferencia

Derivación adjunta :

Primero que nada, sabemos que sin(a b)=sina*cosb cosa*sinb , sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb

Sumamos los dos ecuaciones para obtener sin(a b) sin(a-b)=2sina*cosb

Por lo tanto, sina *cosb=(sin(a b) sin(a-b))/2

De la misma manera De esta manera, si restas las dos ecuaciones, obtienes cosa*sinb=(sin(a b)-sin(a-b))/ 2

De manera similar, también sabemos que cos(a b)=cosa*cosb- sina*sinb, cos(a-b)=cosa*cosb sina*sinb

Por lo tanto, sumando las dos ecuaciones, podemos obtener cos(a b) cos(a-b)=2cosa*cosb

Entonces obtenemos, cosa*cosb=(cos(a b) cos(a-b))/2

De la misma manera, restando las dos ecuaciones, obtenemos sina*sinb=-(cos (a b)-cos(a-b))/2

De esta forma obtenemos el producto y la diferencia Cuatro fórmulas:

sina*cosb=(sin(a b) sin(a-b ))/2

cosa*sinb=(sin(a b)-sin(a-b))/ 2

cosa*cosb=(cos(a b) cos(a-b))/ 2

sina*sinb=-(cos(a b)-cos(a-b))/2

Bien, ahora que tenemos las cuatro fórmulas para productos de sumas y diferencias, solo se necesita una transformación para obtener las cuatro fórmulas para productos de sumas y diferencias.

Combinemos las cuatro fórmulas anteriores Establezcamos a y b en la fórmula en x, y establezcamos a-b en y, luego a=(x y )/2, b=(x-y)/2

Si a y b se expresan como Cuatro fórmulas para productos diferenciales:

sinx siny=2sin((x y)/2)* cos((x-y)/2)

sinx-siny=2

cos((x y)/2)*sin((x-y)/2)

cosx cosy=2cos((x y)/2)*cos((x-y)/2)

cosx-cosy=-2sin((x y)/2)*sin((x-y)/2)