¿Cuáles son los resúmenes de las secciones cónicas matemáticas?

Las secciones cónicas incluyen elipses, hipérbolas y parábolas. Su definición unificada: la trayectoria de un punto donde la relación e entre la distancia a un punto fijo y la distancia a una línea recta fija es constante se llama sección cónica. Cuando es 01, es una hipérbola.

1. Ecuaciones y propiedades de las secciones cónicas:

1) Elipse

Definición del lenguaje literal: de un punto móvil a un punto fijo y a una recta fija. en el plano La relación de distancias es una constante positiva e menor que 1. El punto fijo es el foco de la elipse, la línea fija es la directriz de la elipse y la constante e es la excentricidad de la elipse.

Ecuación estándar:

1. Ecuación estándar de una elipse con centro en el origen y foco en el eje x: (x^2/a^2)+(y^ 2/b^ 2)=1

Donde a>b>0, c>0, c^2=a^2-b^2.

2. en el origen y el foco está en y Ecuación estándar de elipse en el eje: (x^2/b^2)+(y^2/a^2)=1

Donde a>b> 0, c>0, c^2= a^2-b^2.

Ecuación paramétrica:

Después de la transformación, puede ser un círculo. En este momento, c=. 0, el acosθ=r del círculo.

2) Hipérbola

Definición del lenguaje literal: de un punto en movimiento a un punto fijo en el plano y un punto fijo La relación de distancias de rectas es una constante e mayor que 1. El punto fijo es el foco de la hipérbola, la línea recta fija es la directriz de la hipérbola y la constante e es la excentricidad de la hipérbola.

Ecuación estándar:

1. Ecuación estándar de hipérbola con centro en el origen y foco en el eje x: (x^2/a^2)-(y^2). /b ^2)=1

Donde a>0, b>0, c^2=a^2+b^2.

2. y el foco está en el eje y La ecuación estándar de la hipérbola: (y^2/a^2)-(x^2/b^2)=1.

Donde a>0, b>0, c^2=a ^2+b^2.

Ecuación paramétrica:

x=asecθy=btanθ (θ es un parámetro)

3) Parábola

Ecuación estándar:

1. El vértice está en el origen y el foco está en el eje x y se abre hacia la derecha. : y^2=2px donde p>0

2. El vértice está en La ecuación estándar de una parábola con el origen y el foco abriéndose hacia la izquierda en el eje x: y^2=-2px. donde p>0

3. La ecuación estándar de una parábola con el vértice en el origen y el foco abierto hacia arriba en el eje y: x^2=2py donde p>0

<. p>4. La ecuación estándar de la parábola con el vértice en el origen y el foco abriéndose hacia abajo en el eje y: x^2=-2py donde p>0

Ecuación paramétrica

x=2pt^2y=2pt (t es el parámetro) t=1/tanθ (tanθ es la pendiente de la línea recta determinada por el punto de la curva y el origen de las coordenadas. En particular, t puede ser igual). a 0

Coordenadas rectangulares

y=ax^2+bx+c (la dirección de apertura es el eje y, a0) x=ay^2+by+c (el la dirección de apertura es el eje x, a0 )

La ecuación de coordenadas polares unificadas de una sección cónica (curva cuadrática no circular) es

ρ=ep/(1-e× cosθ) donde e representa la excentricidad y p es el foco La distancia a la directriz.

2. Radio focal

La distancia desde cualquier punto de la sección cónica al foco se llama radio focal.

Los focos izquierdo y derecho de la sección cónica son F1 y F2, y cualquier punto en ella es P(x,y), entonces el radio focal es:

Elipse|PF1 |=a+ex|PF2 |=a-ex

La hipérbola P está en la rama izquierda, |PF1|=-a-ex|PF2|=a-ex

P está en la rama derecha, |PF1|= a+ex|PF2|=-a+ex

P está en la rama inferior, |PF1|=-a-ey|PF2|=a-ey

P está en la rama superior, | PF1|=a+ey|PF2|=-a+ey

Parábola|PF|=x+p/2

3. Ecuación tangente de la sección cónica

La ecuación tangente del punto P (x0, y0) en la sección cónica

Reemplaza x^2 con x0x, reemplaza y^2 con y0y; reemplace x con (xx)/2, reemplace x con (y0 +y)/2 en lugar de y

Es decir, elipse: x0x/a^2+y0y/b^2 =1;

Hiperbola: x0x/a^2-y0y/b ^2=1;

Parábola: y0y=p(xx)

4. Distancia focal

La distancia desde el foco de la cónica a la directriz p se llama distancia focal de la sección cónica, o parámetro focal.

La distancia focal de la elipse: p=(b^2)/c

La distancia focal de la hipérbola: p=(b^2)/c

La longitud cuasi focal de una parábola: p

5. Trayectoria

En una sección cónica, la cuerda que pasa por el foco y es perpendicular al eje se convierte en la trayectoria.

El camino de la elipse: (2b^2)/a

El camino de la hipérbola: (2b^2)/a

El camino de la parábola :2p

6. Comparación de las propiedades de las secciones cónicas

Ver la siguiente figura:

7. El problema de la cuerda del punto medio de las secciones cónicas

p>

Se sabe que un punto dentro de la sección cónica es el punto medio de una cuerda de la sección cónica, encuentra la ecuación de la cuerda

⒈Método de ecuaciones simultáneas.

Establezca la ecuación de la cuerda usando la fórmula punto-pendiente (el caso donde la pendiente no existe requiere consideración adicional) y combínela con la ecuación de la sección cónica para obtener la ecuación cuadrática de x con con respecto a x y la ecuación cuadrática de y con respecto a y Ecuación, la expresión de la suma de dos raíces se obtiene del teorema védico, y la ecuación de la cuerda se encuentra en función del valor específico de la suma de las dos raíces de la fórmula de coordenadas del punto medio.

2. Método de diferencia de puntos, o método de resta de puntos.

Supone las coordenadas (x1, y1) y (x2, y2) de los dos extremos de la cuerda, sustitúyelas en la ecuación de la sección cónica, resta las dos ecuaciones obtenidas y usa la diferencia de cuadrados. fórmula para obtener [(x1+ x2)·(x1-x2)]/(a^2)+[(y1+y2)·(y1-y2)/(b^2]=0 La pendiente es (y1-y2) /(x1-x2) Se puede obtener el valor de la pendiente (preste atención al discriminante al usarlo)