Ejercicio de preguntas sobre funciones lineales y funciones proporcionales en matemáticas de segundo grado

El conocimiento de funciones está estrechamente relacionado con otros conocimientos como álgebra y geometría. Algunas preguntas integrales

involucrarán ecuaciones, desigualdades y otros contenidos de álgebra, así como conocimientos de gráficos en geometría. /p >

El conocimiento y la resolución de dichos problemas son el foco y la dificultad de esta unidad, y también son el foco de los exámenes en las preguntas del examen de ingreso a la escuela secundaria de varias provincias y ciudades en los últimos años

.

Para resolver problemas integrales, primero debes tener una base de conocimientos integral y sólida. Además, debes

dominar los métodos de análisis de problemas, revisar cuidadosamente las preguntas y utilizar el pensamiento matemático. métodos y desarrollar en profundidad

Descubrir la conexión interna entre lo conocido y lo desconocido y los puntos de conocimiento involucrados. En particular, debemos observar cuidadosamente los gráficos

y explorar las relaciones cuantitativas contenidas en los gráficos para lograr la transformación mutua del conocimiento y

reducir la complejidad en simplicidad y la dificultad en facilidad.

Ejemplo 1. Conocido: Como se muestra en (1), el rectángulo EFGH está inscrito en △ABC, los dos vértices E y

F están en el borde BC, y los vértices H y G están respectivamente al lado de AB y AC.

(1) Suponga que la base BC=12 cm, la altura es h cm, GF es x cm y GH es y cm.

Encuentre la relación funcional de y con. con respecto a x;

(2) Bajo la condición de (1), cuando la altura h = 8 cm, el lado GH del EFGH rectangular

debe ser mayor que 4 cm. y encuentre el rango de valores de GH;

(3) Bajo las condiciones (1) y (2), el área del rectángulo EFGH debe ser 18 cm2. En este momento, el largo y el ancho del rectángulo EFGH son ¿Cuánto?

Análisis: la variable independiente x representa la longitud de GF, y la altura h debe considerarse como una constante. Al formular sistemas de relaciones funcionales, se pueden utilizar propiedades de triángulos similares para resolver el problema.

Solución: (1) Como AD⊥BC, D es el pie vertical y se cruza con HG en M.

∵GH‖BC,

∴△AHG∽△ABC,

∴.

∵ AM=AD-MD=h-GF=h-x, BC=12,

AD=h, HG=y,

∴y=

Es decir, y=-x+12(0

(2) Cuando h=8 cm, y=-x+12>4,

La solución es x＜,

El rango de valores de ∴GF es 0＜GF＜(cm

(3) S rectángulo EFGH=GH*GF; =x(12-x).

Cuando S=18 cm2, existe

x(12-x)=18.

Resuelve para obtener x1=2, x2=6.

En este momento y1=9, y2=3.

∴Cuando el área del rectángulo EFGH es 18 cm, el largo es 9 cm y el ancho es 2 cm

o el largo es 6 cm y el ancho es 3 centímetro.

Ejemplo 2. En el sistema de coordenadas rectangular, la gráfica de la función lineal y=x+ intersecta el eje x y el eje y

en dos puntos A y B respectivamente, y el Las coordenadas del punto C son (1, 0), el punto D está en el eje x y ∠BCD y ∠ABD son dos ángulos obtusos iguales. Encuentre el momento en que la imagen pasa por dos puntos B y D.

La expresión analítica de la función.

Análisis: La clave de esta pregunta es obtener las coordenadas de los puntos B y D. Dado que B y D son ambos puntos en el

eje de coordenadas, solo necesitamos obtener el coordenadas de OB y ​​OD. La longitud del segmento de línea debe resolverse utilizando conocimientos geométricos como el teorema de Pitágoras y triángulos similares junto con gráficos. Primero, encuentre las posiciones de A, B y C en el sistema de coordenadas, y luego encuentre la coordenada aproximada del punto P basándose en el hecho de que ∠BCD y ∠ABD son dos ángulos obtusos iguales

La posición , es decir, la longitud requerida de CD, se puede deducir de lo que se sabe

△BCD∽△ABD, entonces BD2=CD*(4+CD), y porque BD2=BO2+OD2,

Dado que se conocen BO y OC, se puede encontrar la longitud de CD.

Solución: Como se muestra en la Figura (2), desde el punto conocido A (-3, 0),

Punto B (0,), punto C (1, 0) .

∴AC=4.

En △BCD y △ABD,

∵∠BCD=∠ABD,

∠BDC es el ángulo común,

∴ △BCD∽△ABD,

∴.

∴BD2=CD*AD.

En Rt△DBO, BD2=OB2+OD2.

∴OB2+OD2=CD*AD.

Es decir ()2+(1+CD)2=CD(4+CD).

Resolver CD=.

∴Las coordenadas del punto D son (,0).

Además, la coordenada del punto B es (0,), suponiendo que la fórmula analítica de una función lineal que pasa por dos puntos B y D es y=kx+b,

∴

La solución es k=-.

∴La fórmula analítica de una función lineal que pasa por dos puntos B y D es y=-x+.

Explicación: Un dibujo preciso ayuda a comprender el significado de la pregunta. La exploración de ideas y la selección de métodos

. El juicio sobre la conclusión juega un papel importante y también refleja una cierta capacidad de enseñanza.

Ejemplo 3. La función proporcional y=kx corta a la recta y=- x- en el punto P(m, n),

Y la ecuación sobre x es x2+ mx+n= Las dos raíces de 0 son los cosenos de los dos ángulos agudos del triángulo rectángulo.

Encuentra la fórmula analítica de esta función proporcional.

Análisis: Encontrar los valores de myn y determinar las coordenadas del punto P son la clave de esta pregunta.

Esto se puede partir de dos aspectos: ①m, n como las coordenadas del punto P deben satisfacer y=- x-; ②m, n debe

satisfacer la relación entre las raíces y coeficientes de la ecuación.

Solución: Sean los triángulos rectángulos A y B respectivamente,

Según el significado de la pregunta, existen

∵cosB=sinA,

p>

∴ sinA+cosA=-m, ① sinA*cosA=n. ②

①2, obtenga

sin2A+2sinAcosA+cos2A=m2,

∴1+2n=m2, ③

∵ punto P(m, n) está en la recta y=- x-,

∴- m- =n ④

Sustituyendo ④ en ③, obtenemos

m2+m- =0

Solución:

∵cosA+cosB>0,

∴m<0, entonces m2 y n2 no se cumplen el significado de la pregunta, por lo que deben redondearse.

Sustituyendo m1 y n1 en y=kx, obtenemos

=k*,

La solución es k=.

∴La fórmula analítica de la función proporcional requerida es y=x.

Nota: Al encontrar los valores de myn, debes prestar atención a las condiciones implícitas en la pregunta. Dado que A y B son ambos

ángulos agudos, cosA+. cosB>0, por lo que se determina que m<0, por lo que solo hay una solución a este problema.

Ejercicio:

1. Se sabe que la gráfica de una función lineal corta al eje x con A(-6, 0), y la gráfica de una función proporcional corta con B, y el punto B está en el segundo cuadrante, su abscisa es -4 y el área de △AOB es 15 (unidades cuadradas). Encuentra las fórmulas analíticas de la función proporcional y la función lineal.

2. La gráfica de la función proporcional y la función lineal

Como se muestra en la Figura (3), la coordenada de intersección es A (4, 3),

B es el punto de intersección de la función lineal y el eje y, y |OA|=2|OB|.

(1) Encuentre las expresiones analíticas de la función proporcional y la función lineal;

(2) Encuentre el área de △AOB.

Respuesta de referencia: