¿Cuáles son las reglas de los números pitagóricos?
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Análisis:
En un triángulo rectángulo, si a y b representan dos lados rectángulos, c representa la hipotenusa y el teorema de Pitágoras se puede expresar como a2+b2=c2.
Los enteros positivos a, b y c que satisfacen esta ecuación se denominan conjunto de números pitagóricos.
Por ejemplo, (3, 4, 5), (5, 12, 13), (6, 8, 10), (7, 24, 25) y otros grupos de números, cada grupo todos pueden satisfacer a2+b2=c2, por lo que todos son números pitagóricos (de los cuales 3, 4 y 5 son el conjunto más simple de números pitagóricos). Obviamente, si las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo son todas enteras positivas, entonces estos tres números forman un conjunto de números pitagóricos; a la inversa, cada conjunto de números pitagóricos puede determinar un triángulo rectángulo cuyas longitudes de los lados son enteras positivas; Por lo tanto, dominar el método para determinar la matriz pitagórica es de gran importancia para el estudio de los triángulos rectángulos.
1. Tome dos enteros positivos myn, de modo que 2mn sea un número cuadrado perfecto, entonces
c=2+9+6=17.
Entonces 8, 15 y 17 son un conjunto de números pitagóricos.
Demostración:
∴a, b, c forman un conjunto de números pitagóricos
2. Tome dos enteros positivos cualesquiera m, n, (m>n), entonces
a=m2-n2, b=2mn, c=m2+n2 constituyen un conjunto de números pitagóricos.
Por ejemplo: cuando m=4, n=3,
a=42-32=7, b=2×4×3=24, c=42+32= 25
Entonces 7, 24 y 25 son un conjunto de números pitagóricos.
Demostración:
∵ a2+b2=(m2-n2)+(2mn)2
=m4-2m2n2+n4+4m2n2
=m4+2m2n2+4n2
=(m2+n2)2
=c2
∴a, b, c forman un grupo de pitagóricos número.
3. Si se ha determinado un número en la matriz pitagórica, los otros dos números se pueden determinar utilizando el siguiente método.
Primero observa si el número conocido es par o impar.
(1) Si es un número impar mayor que 1, se eleva al cuadrado y se divide en dos enteros adyacentes, entonces el número impar y estos dos enteros forman un conjunto de números pitagóricos.
Por ejemplo, 9 es un número en los números pitagóricos,
Entonces 9, 40 y 41 son un grupo de números pitagóricos.
Prueba: Supongamos que el número impar mayor que 1 es 2n+1, luego eleva al cuadrado y divídelo en dos enteros adyacentes:
(2) Si es un número par mayor que 2, divídelo en dos enteros adyacentes. Divídelo por 2 y luego eleva al cuadrado. Luego resta 1 al número cuadrado y suma 1. Los dos enteros obtenidos y el número par forman un conjunto de números pitagóricos.
Por ejemplo, 8 es un número de la matriz pitagórica.
Entonces 8, 15 y 17 son un conjunto de números pitagóricos.
Prueba: Supongamos que hay un número par 2n que es mayor que 2. Luego divide este número par por 2 y luego eleva al cuadrado Luego resta 1 al número cuadrado y suma 1. Los dos números enteros obtenidos son. n2-1 y n2+ 1
∵(2n)2+(n2-1)2=4n2+n4-2n2+1
=n4+2n2+1
=( n2+1)2
∴2n, n2-1, n2+1 constituyen un conjunto de números pitagóricos.