Material didáctico de matemáticas para la escuela secundaria: ecuación lineal de dos variables
#courseware# Introducción El material didáctico se utiliza en la enseñanza de matemáticas en el aula. Desempeña un papel inconmensurable en la mejora de la eficiencia de la enseñanza, aumenta la capacidad de conocimiento de los estudiantes y estimula el interés de los estudiantes en el aprendizaje. enseñanza de las matemáticas. La siguiente es una recopilación y uso compartido de material didáctico de matemáticas de la escuela secundaria: ecuación lineal de dos variables. Bienvenido a leerlo y aprender de él. Aplicación de ecuaciones lineales de dos variables - gallina y conejo en la misma jaula
Objetivos didácticos:
Objetivos de conocimientos y habilidades:
A través del análisis de problemas prácticos , los estudiantes pueden comprender mejor que los sistemas de ecuaciones son modelos matemáticos efectivos que describen el mundo real e inicialmente dominar los problemas de aplicación de la resolución de ecuaciones lineales de dos variables. Comprensión inicial de la idea básica de "eliminación" en la resolución de ecuaciones lineales de dos variables.
Cultivar la conciencia de los estudiantes sobre la formulación de sistemas de ecuaciones para resolver problemas prácticos y mejorar las habilidades de aplicación matemática de los estudiantes.
Objetivos del proceso y método:
Experimentar y experimentar el proceso de resolución de problemas prácticos a través de un sistema de ecuaciones, y además comprender que las ecuaciones (conjuntos) son modelos matemáticos efectivos que describen lo real. mundo.
Actitudes emocionales y objetivos de valor:
1. Enriquecer aún más la experiencia exitosa de los estudiantes en el aprendizaje de las matemáticas, estimular la curiosidad de los estudiantes sobre el aprendizaje de las matemáticas y formar aún más la participación activa de los estudiantes en las matemáticas. actividades y comunicación proactiva con los demás. Conciencia de cooperación y comunicación.
2. A través de "pollo y conejo en la misma jaula", los estudiantes son llevados a situaciones de problemas matemáticos antiguos, y los estudiantes experimentan el "interés" por las matemáticas, enfatizando aún más la conexión entre el aula y la vida, destacando el valor práctico de la enseñanza de las matemáticas y cultivando a los estudiantes; 'Espíritu humanista'. Enfoque:
Experimentar y experimentar el proceso de formular un sistema de ecuaciones para resolver problemas prácticos mejorar las habilidades de aplicación matemática de los estudiantes;
Dificultad:
Establecer la relación de equivalencia y enumerar el sistema correcto de ecuaciones lineales de dos variables.
Proceso de enseñanza:
Repaso antes de clase
Repaso: Enumerar los pasos generales para resolver problemas escritos con ecuaciones lineales de una variable
Introducción a las situaciones
p>
Exploración 1: Hoy hay gallinas y conejos en la misma jaula
Hay treinta y cinco cabezas encima,
<. p>Hay noventa y cuatro patas en la parte inferior,¿Preguntar sobre la geometría del pollo y el conejo?
Pregunta de "Faisanes y Conejos en la Misma Jaula": Hoy en día hay faisanes (pollos) y conejos en la misma jaula. Hay 35 cabezas en la parte superior y 94 patas en la parte inferior. ¿Geometría de cada faisán y conejo?
(1) Método de dibujo
Úselo para representar la cabeza, primero dibuje 35 cabezas
Considere todas las cabezas como pollos, úselo para representar las patas y dibuja 70 patas
Quedan 24 patas, agrega dos patas a cada cabeza, ***12 cabezas más dos patas
La de cuatro patas es el conejo (solo 12) , el que tiene dos patas es un pollo (23)
(2) Método de ecuación lineal:
Cabeza de pollo + cabeza de conejo = 35
Pata de pollo + pata de conejo = 94
Supongamos que hay x gallinas, entonces hay (35-x) conejos Según la pregunta:
2x + 4 (35-x) = 94 <. /p>
Más fácil de entender que la aritmética
Piénselo: ¿podemos utilizar métodos más simples para resolver estos problemas?
Volviendo a la ecuación lineal de dos variables aprendida en la clase anterior, ¿se puede resolver este problema?
(3) Método de ecuación lineal de dos variables
Ahora tenemos Hay gallinas y conejos en la misma jaula. Hay treinta y cinco cabezas en la parte superior y noventa y cuatro patas en la parte inferior.
(1) Treinta y cinco cabezas en la parte superior significa gallinas y conejos*** Hay 35 cabezas en la parte superior,
Noventa y cuatro patas en la parte inferior significan gallinas y conejos * **Hay 94 patas
(2) Si hay x gallinas e y conejos, entonces hay (x y) gallinas y conejos
Pies de gallina Hay 2x gallinas; ; hay 4y patas de conejo.
Solución: Hay x gallinas e y conejos en la jaula, podemos obtener:
El número total de gallinas. y conejos es xy35 2x4y94
Resuelve este sistema de ecuaciones para obtener:
Ejercicio 1:
1. Supongamos que el número A es x y el número B es y, entonces "el número A es La suma de dos veces y la mitad del número B es 15. La ecuación es _2x 05y=15
2. Xiaogang tiene varias monedas de 50 céntimos y monedas de 1 yuan , y el valor de la moneda es *** Seis yuanes y cinco jiao, suponiendo que hay x piezas por 5 jiao y y piezas por 1 yuan, la ecuación indicada es 05x y=65
3. Exploración colaborativa.
Exploración 2: Medir bien con una cuerda. Si la cuerda se dobla tres veces y se mide, la cuerda es cinco pies más larga; si la cuerda se dobla cuatro veces y se mide, la cuerda es un pie más larga. ¿Cuáles son la longitud de la cuerda y la profundidad del pozo?
Tema: Usa una cuerda para medir la profundidad de un pozo. Si doblas la cuerda en tres partes iguales, una parte de la cuerda será 5 pies más larga que la profundidad del pozo. Divida la cuerda en cuatro partes iguales, una parte de la cuerda será 5 pies más larga que la profundidad del pozo 1 pie más. ¿Cuántos pies mide la longitud de la cuerda y la profundidad del pozo?
Encuentra la relación equivalente:
Solución: Supongamos que la longitud de la cuerda es x pies y la profundidad del pozo es y pies, entonces obtenemos de la pregunta
x=48
Establezca x=48y=11.
Entonces la longitud de la cuerda es 4811 pies.
Piénsalo: ¿encontraste una solución más sencilla e innovadora?
Guíe a los estudiantes para que lleguen gradualmente a métodos más simples:
Encuentre la relación equivalente:
(Profundidad del pozo 5) × 3 = longitud de la cuerda
（Profundidad del pozo 1
Solución: Suponga que la longitud de la cuerda es >4(y 1)=x
x=48
y=11
Entonces la cuerda mide 48 pies de largo y el pozo tiene 11 pies de profundidad.
Ejercicio 2: Dos personas A y B están corriendo. Si B corre 10 metros primero, A puede alcanzar a B en 5 segundos; si B corre 2 segundos primero, entonces A puede alcanzarlo en 4 segundos; B. Supongamos que la velocidad de A es x metros/segundo y la velocidad de B es y metros/segundo, entonces el sistema de ecuaciones que se puede enumerar es (B). Enumera ecuaciones lineales de dos variables Pasos generales para resolver problemas prácticos:
Repaso: Revisa la relación de equivalencia en la pregunta.
Asumir: Asume el número desconocido.
Columna: Lista el sistema de ecuaciones basado en la relación de equivalencia.
Solución: Resolver el sistema de ecuaciones y encontrar las incógnitas.
Respuesta: Comprueba si el número desconocido coincide con el significado de la pregunta y escribe la respuesta.
IV. Pensamiento independiente
Investigación 3: Utilice cartón rectangular y cuadrado como lados y fondo para hacer dos tipos de cajas de cartón sin tapa, verticales y horizontales, como se muestra en la imagen. Ahora hay 1.000 cajas de cartón cuadradas y 2.000 cajas de cartón rectangulares en el almacén. ¿Cuántas cajas de cada tipo se deben fabricar para que se acabe el cartón en stock?
Solución: Supongamos que hay X cajas de papel verticales e y cajas de papel horizontales. Según el significado de la pregunta, obtenemos
=400
Respuesta: Supongamos que hay 200 cajas verticales y 400 cajas horizontales, lo suficiente para agotar el cartón en stock.
Ejercicio 3: Si el inventario de la pregunta anterior se cambia a 500 cartones cuadrados y 1001 cartones rectangulares, ¿será posible hacer varios cartones verticales y varios cartones horizontales para que el inventario se agote exactamente? de cartón?
Solución: supongamos que hacemos x cajas de papel verticales e y cajas de papel horizontales según el significado de la pregunta.
y no es un número natural y no se ajusta al significado de. La pregunta, entonces es imposible hacer varios. Un cartón, simplemente se me acabó el cartón que no estaba en stock.
Resumen:
5. Evaluación estándar
1. Resuelve las siguientes preguntas de aplicación
(1) Compra unos 4 puntos y 8 puntos Los sellos cuestan 6 yuanes y 80 centavos. Se sabe que hay 40 sellos de 8 centavos más que de 4 centavos. ¿Cuántos sellos de cada tipo se compraron?
Solución: Supongamos que hay x sellos de 4 centavos y y sellos de 8 centavos De la pregunta:
4x 8y=6800①
y-x=40② <. /p>
p>
Por lo tanto, hay 540 sellos de 4 centavos y 580 sellos de 8 centavos
(2) Un proyecto se puede completar en 15 días si hace sol. Si llueve, se puede completar en un día. Completa la carga de trabajo de Sunny Day
. Ahora sabemos que durante el periodo de construcción hubo 3 días más de lluvia que de sol. Pregunte cuántos días tomará completar este proyecto
Análisis: dado que se desconoce la cantidad total de trabajo, lo configuramos como la unidad 1
Se puede completar en un día el un día soleado
En un día lluvioso Se puede completar en un día
Solución: Supongamos que hay x días soleados e y días lluviosos. La carga de trabajo total es la unidad 1. De la. pregunta:
Número total de días: 7 10=17
Entonces, ***17 días para completar la tarea
6. Mejora de la aplicación
La escuela compró ***232 lápices, bolígrafos y bolígrafos y gastó *** 300 yuanes. El número de lápices es 4 veces mayor que el de bolígrafos. Se sabe que los lápices cuestan 0,60 yuanes cada uno, los bolígrafos cuestan 2,7 yuanes cada uno y las plumas estilográficas cuestan 6,3 yuanes cada una.
¿Cuántos bolígrafos hay para cada uno de los tres tipos?
Análisis: Número de lápices, número de bolígrafos, número de bolígrafos = 232
Número de lápices = número de bolígrafos × 4
> Precio de los lápices, precio de los bolígrafos, precio de los bolígrafos = 300
Solución: Supongamos que hay x lápices, y bolígrafos y z bolígrafos Según el significado de la pregunta, un sistema. Se pueden obtener ecuaciones lineales de tres variables:
Sustituya ② en ① y ③ para obtener una ecuación lineal de dos variables Grupo
4y y z=232④
Solución
Entonces, hay 175 lápices, 44 bolígrafos y 12 plumas estilográficas
VII.
1. Resuelve el problema de gallinas y conejos en la misma jaula
2. Resuelve el problema del tala con cuerdas
p>3. Pasos generales para solucionarlo problemas planteados
7. Asignar tareas
Preguntas 2 y 3 de los ejercicios de la página 116 del libro de texto.
x y=35
2x 4y=94
x=23
y=12
Longitud de la cuerda Un tercio de la longitud de la cuerda - profundidad del pozo = 5
Un cuarto de la longitud de la cuerda - profundidad del pozo = 1
-y=5①
① -②, obtenga
-y=1②
-y=5①
-y=5①
-y=5①
X=540
Y=580
y-x=3②
> x y z=232①
x=4y②
0.6x 2.7y 6.3z=300③
X=176
Y=44
Z=12
Solución de un sistema de ecuaciones lineales en dos variables - Método de sustitución
Contenido didáctico: Capítulo 8 del segundo volumen de matemáticas de séptimo grado publicado por People's Education Press Sistema de Ecuaciones Sección 2, Página P96
Objetivos docentes
(1) Objetivos de conocimientos y habilidades básicos: Ser capaz de utilizar el método de eliminación por sustitución para resolver sistemas simples de ecuaciones lineales de dos variables.
(2) Objetivos del proceso y del método: experimentar el proceso de explorar el método de eliminación por sustitución para resolver una ecuación lineal de dos variables y comprender el método de pensamiento de reducción plasmado en la idea básica de la eliminación por sustitución. método.
(3) Objetivos de emoción, actitud y valor: atraer la atención de los estudiantes y estimular el interés de los estudiantes en aprender proporcionándoles información situacional adecuada, aprender a comunicarse y cooperar en discusiones cooperativas, y cultivar buenas ideas matemáticas, gradualmente; penetrar en la conciencia de analogía y reducción.
La enseñanza es importante, pero la clave de la dificultad
Enfoque docente: utilizar el método de sustitución y eliminación para resolver un sistema de ecuaciones lineales en dos variables
Enseñanza Dificultad: explorar cómo utilizar el método de sustitución y eliminación. Resolver sistemas de ecuaciones lineales en dos variables y experimentar la idea de "eliminación".
La clave de la enseñanza: transformar una ecuación del sistema de ecuaciones en otra ecuación, eliminar una incógnita y transformarla en una ecuación lineal de una variable. Los estudiantes analizan que los destinatarios de la enseñanza son estudiantes de séptimo grado de zonas minoritarias. Sus conocimientos básicos son débiles, especialmente el contenido de las ecuaciones lineales de una variable, no se comprenden a fondo, además, están cansados de aprender y tienen poca capacidad para unirse y. cooperar Esta clase está diseñada para enseñarles cómo sentirse interesados en los juegos de baloncesto y los desinfectantes de uso común se utilizan como temas para estudiar ecuaciones lineales de dos variables, que no solo pueden movilizar su interés en el aprendizaje, sino también resolver los problemas involucrados en esto. lección, y servirá como base para un mayor aprendizaje de ecuaciones lineales de dos variables en el futuro. Buen presagio.
Enseñanza del análisis de contenidos: El contenido principal de esta sección es aprender a resolver sistemas de ecuaciones basándose en los conceptos de ecuaciones lineales (grupos) de dos variables y soluciones de ecuaciones lineales (grupos) de dos variables. en la sección anterior. El primer método: método de eliminación por sustitución. Y tener una comprensión preliminar de la idea básica de "eliminación" al resolver ecuaciones lineales de dos variables.
La solución del sistema de ecuaciones lineales de dos variables no solo utiliza el método de solución de la ecuación lineal de una variable que hemos aprendido antes, sino que es una revisión y mejora de los conocimientos aprendidos en el pasado. También sienta las bases para el uso posterior del sistema de ecuaciones para resolver problemas prácticos. Mediante la aplicación de ecuaciones lineales binarias en problemas prácticos, se puede mejorar aún más la conciencia de los estudiantes sobre el aprendizaje y el uso de las matemáticas, y los estudiantes pueden apreciar el valor y la importancia del aprendizaje de las matemáticas. Hay dos métodos de eliminación para resolver ecuaciones lineales de dos variables que deben dominarse en la etapa de escuela secundaria: el método de eliminación por sustitución y el método de eliminación por suma y resta. Los libros de texto están ordenados en el orden de resolución primero y luego de aplicación. Se puede utilizar en la sección anterior. Las soluciones de aprendizaje específicas también pueden consolidar el conocimiento previo en la aplicación de la siguiente sección. Sin embargo, los ejercicios correspondientes en el libro de texto están menos organizados, pero esto también brinda a los estudiantes un mayor espacio para jugar.
Preparación de material didáctico Preparación del profesor: proyector de material didáctico multimedia ppt
Método de enseñanza Esta lección adopta el método de enseñanza de "introducción de problemas-exploración de soluciones-reflexión inductiva" y se adhiere a la enseñanza heurística.
Proceso de enseñanza
(1) Crea una situación e introdúcela en la nueva liga de baloncesto. Cada partido tendrá un ganador y un perdedor. Cada equipo obtendrá 2 puntos por victoria. 1 por derrota. 1 punto por partido Para luchar por una mejor clasificación, el equipo de la escuela secundaria étnica de Baoan quiere sumar 40 puntos en los 22 partidos. Entonces, ¿cuál es el número de victorias y derrotas de este equipo?
(2) Cooperación y comunicación, el primer paso para explorar nuevos conocimientos y una comprensión preliminar del método de sustitución 1. En los problemas anteriores, además de utilizar una ecuación lineal de una variable para resolver, También podemos establecer dos incógnitas y enumerar las dos actividades del estudiante para sistemas de ecuaciones lineales de una variable: Enumerar ecuaciones lineales de una variable y sistemas de ecuaciones lineales de dos variables respectivamente. Dos estudiantes realizan en la pizarra ① Suponga el número de victorias. es x y el número de pérdidas es y
x+y=22
2x + y = 40
② Supongamos que el número de juegos ganadores es x, entonces el número de juegos perdidos es 22-x
2x (22-x)=40
2. Exploración independiente y discusión en grupo Entonces, ¿cómo resolver un sistema de ecuaciones lineales en dos? variables? ¿Cuál es la relación entre el sistema anterior de ecuaciones lineales de dos variables y la ecuación lineal de una variable?
3. Los estudiantes resumen y el profesor complementa la solución anterior. El primer paso es usar una ecuación en un sistema de ecuaciones lineales de dos variables para expresar un número desconocido con una fórmula que contiene otro número desconocido. y luego sustituirlo en la otra ecuación, realizar la eliminación y luego encontrar la solución a este sistema de ecuaciones lineales de dos variables. Este método se llama método de eliminación por sustitución o, para abreviar, método de sustitución.
El segundo paso es utilizar el método de sustitución para resolver el sistema de ecuaciones. Escribe las siguientes ecuaciones en forma de fórmula que contenga x para expresar y (1) 2x-y=5 (2). 4x+3y-1=0 Actividades del estudiante: Intenta completarlo de forma independiente El profesor corrige y piensa: ¿Podemos usar una expresión que contenga y para representar x?
Ejemplo 1 Usa el método de sustitución para resolver el sistema de ecuaciones x-y=3①3x-8y=14②
Ideación: primero observa qué coeficiente en este sistema de ecuaciones es menor y encuentra que en ① El coeficiente de x es 1, por lo que se puede determinar que la eliminación de x es relativamente simple. Primero, use la expresión algebraica que contiene y para expresar x y luego sustitúyala en ② elemento de eliminación.
Solución: Deformar desde ① para obtener Obtener y=-1
Sustituyendo y=-1 en ③, obtenemos X=2
Entonces, la solución de este sistema de ecuaciones es X=2y=-1
¿Cómo comprobar si los resultados obtenidos son correctos? Actividades del estudiante: Prueba de respuesta oral.
El tercer paso es aplicar el método de sustitución para resolver el sistema de ecuaciones en la vida real
Ejemplo 2 Según la investigación de mercado, hay botellas grandes (500g) y botellas pequeñas ( 250 g) de cierto desinfectante La relación de volumen de ventas (por botellas) de los dos productos es de 2:5. Una fábrica produce 22,5 toneladas de este desinfectante cada día. ¿Cuántas botellas de cada producto se deben envasar en botellas grandes y pequeñas? Pensamientos: Esta pregunta es un problema de aplicación práctica. Se puede resolver usando un sistema de ecuaciones lineales de dos variables. Esto requiere construir un modelo y encontrar dos relaciones equivalentes, podemos saber: el número de grandes. botellas: la cantidad de botellas pequeñas = 2:5; la cantidad de botellas grandes es La cantidad de desinfectante contenida en el vial de desinfectante = volumen total de producción (se omite el proceso de resolución de problemas) Actividad del maestro: Inspirar y guiar a los estudiantes para que construyan un modelo de un sistema de ecuaciones lineales binario. Actividad del estudiante: Intente descubrir: Estos desinfectantes deben dividirse en x botellas grandes e y botellas pequeñas, obtener 5x=2y500x 250y=22500000 y resolver x=20000y=50000
El cuarto paso, discusión en grupo, Actividad del estudiante paso a paso: Con base en el proceso de resolución de problemas del Ejemplo 1 y el Ejemplo 2, ¿puedes resumir los pasos para resolver un sistema de ecuaciones lineales en dos variables usando el método de sustitución? Discuta esto en grupo. Los estudiantes resumieron, y el maestro agregó, y resumió los pasos del método de sustitución para resolver el sistema de ecuaciones lineales de dos variables: ① Seleccione una transformación de una ecuación lineal de dos variables con coeficientes relativamente simples y use una expresión algebraica que contenga una incógnita para representar la otra incógnita; ② Sustituya la ecuación transformada en En otra ecuación, elimine un número desconocido para obtener una ecuación lineal de una variable (al sustituir, tenga cuidado de no sustituirla en la ecuación original, solo sustitúyala en otra ecuación sin deformación para lograr el propósito de eliminación.); ③ Resuelva esta ecuación de una variable Use una ecuación lineal para encontrar el valor del número desconocido ④ Sustituya el valor obtenido del número desconocido en la ecuación deformada en ① para encontrar; el valor del otro número desconocido; ⑤ Utilice "{" para combinar los valores de los dos números desconocidos, que es una solución del sistema de ecuaciones ⑥Finalmente verifique si el resultado obtenido es correcto (sustitúyalo en el sistema de ecuaciones original; verifique si la ecuación satisface el lado izquierdo = lado derecho).
(3) Competencia grupal para consolidar nuevos conocimientos Para estimular el interés de los estudiantes, Para consolidar los conocimientos aprendidos, dividí la clase en 4. grupos y diseñó los ejercicios en la página P98 del libro en varias secciones independientes que combinan respuestas requeridas, preguntas de respuesta rápida y preguntas arriesgadas que son a la vez informativas e interesantes. Los ejercicios son de fáciles a difíciles, de superficiales a profundos, presentados en. en forma de competiciones grupales, que no sólo aumentan el entusiasmo de los estudiantes, cultivan el espíritu de equipo, sino que también permiten desarrollar de manera diferente las habilidades de todos los tipos de estudiantes.
(4) Resumen y revisión de conocimientos 1. ¿Qué aprendiste de las actividades de aprendizaje de esta clase? 2. ¿A qué cuestiones crees que se debe prestar atención al utilizar el método de sustitución para resolver un sistema de ecuaciones lineales en dos variables?
(5) Tarea 1. Tarea: Preguntas 1, 2 y 4 en la página P103 2. Pensamiento: Plantee problemas prácticos que puedan resolverse mediante el uso de sistemas de ecuaciones lineales de dos variables en la vida diaria.
Descripción del diseño El método de eliminación por sustitución incorpora el método de pensamiento de reducción de "convertir lo desconocido en conocido" en el aprendizaje de matemáticas. El principio de reducción es reducir problemas desconocidos en problemas más familiares y utilizarlos para resolver nuevos problemas. Con base en este entendimiento, este curso está diseñado de acuerdo con la idea de "introducir los problemas matemáticos que nos rodean - buscar soluciones a ecuaciones lineales de una variable - explorar el método de sustitución y eliminación de ecuaciones lineales de dos variables - ejemplos típicos - general pasos del método de sustitución inductiva". En el proceso de enseñanza, se debe movilizar plenamente la iniciativa subjetiva de los estudiantes y los profesores deben desempeñar un papel de liderazgo y se debe respetar la enseñanza heurística. Los profesores crean situaciones interesantes para despertar el entusiasmo de los estudiantes por participar conscientemente en actividades de aprendizaje, de modo que el proceso de descubrimiento de conocimientos pueda integrarse en actividades interesantes. Preste atención al proceso de generación de conocimiento. Comparar el proceso de solución de una ecuación lineal de una variable suponiendo una secuencia desconocida con un sistema de ecuaciones lineales de dos variables, obteniendo así la solución de sustitución (eliminación) del sistema de ecuaciones lineales de dos variables. Esta comparación permite a los estudiantes repasar lo antiguo. Se puede dominar el conocimiento y hacer un nuevo uso del mismo, lo cual es muy importante para que los estudiantes experimenten el proceso de generación y formación de nuevos conocimientos.