La historia del concepto de función
La evolución temprana del concepto de función es la siguiente: al principio, la función de x es solo la potencia de x, luego, su significado se extiende a una expresión algebraica con x; luego de la expresión algebraica La expresión se generaliza a cualquier expresión analítica que contenga x finalmente, desde la perspectiva de cualquier expresión analítica, depende ampliamente de X o de cualquier variable determinada por;
2. De Johann Bernoulli a Euler
En 1694, Johann Bernoulli mencionó que una función es "una cantidad definida que consiste en una cantidad indeterminada y una constante". En 1718, propuso claramente por primera vez una nueva definición de función: "Una función de una variable es una cantidad que consiste de alguna manera en esa variable y alguna constante".
Euler en Johann Bernoulli Sobre la En base a la definición, la función se definió con una expresión analítica por primera vez en "Introducción al análisis infinito": "La función de una variable es una expresión analítica compuesta por la variable y algunos números o constantes de cualquier forma".
1755 En 2008, Euler actualizó la definición de función en "Fundamentos del cálculo diferencial": "Si algunas cantidades dependen de otras cantidades, y cuando estas últimas cambian, las primeras variables también cambian, entonces las primeras Pocas cantidades se llaman Funciones de las últimas cantidades."
La definición de Euler de "fórmula analítica" y "dependencia" tuvo un profundo impacto en las generaciones posteriores. Antes de mediados del siglo XIX, eran el modelo para la definición de funciones.
3. Definiciones de funciones en enciclopedias
En las enciclopedias o diccionarios matemáticos europeos y americanos de 1757 a 1838, la definición analítica de funciones es absolutamente dominante. Aunque Euler ha definido "funciones algebraicas" y "funciones trascendentales", los autores de varias enciclopedias no distinguen entre "expresiones algebraicas" y "expresiones trascendentales", y distinguen las "expresiones algebraicas" de las "expresiones analíticas" generales. confundido. Sólo De Morgan hizo una distinción estricta entre ambos. Llamó a lo que hoy llamamos funciones algebraicas "funciones algebraicas ordinarias" y todas las demás funciones eran funciones trascendentales.
4. Conclusión sobre el proceso de evolución de la definición de funciones (antes de 1855)
(1) La definición de "dependencia" de Euler no afectó la amplia difusión de la definición de "fórmula analítica" ". Antes de mediados del siglo XIX, las definiciones de funciones en enciclopedias y obras de cálculo en Gran Bretaña, Francia, Estados Unidos y otros países se basaban en las dos definiciones de Euler. Las definiciones analíticas eran dominantes antes de 1840, pero gradualmente desaparecieron de la historia después de 1840.
(2) Antes de mediados del siglo XIX, Cauchy, Fourier, Dirichlet y Riemann rompieron sucesivamente las limitaciones de la definición de Euler. Sin embargo, durante mucho tiempo, la antigua definición siguió siendo popular en la era moderna. veces, la definición ha pasado por un proceso tortuoso y difícil desde su nacimiento hasta su aceptación universal.
(3) Históricamente, la definición de funciones ha quedado rezagada en los libros de texto de cálculo y álgebra.
(4) El nombre chino de "función" proviene de la definición de "fórmula analítica" de función, y su nacimiento tiene un cierto accidente histórico.