Colección de citas famosas - Colección de consignas - Preguntas del examen de la liga de matemáticas de la escuela secundaria proporcionadas 2006-2009

Preguntas del examen de la liga de matemáticas de la escuela secundaria proporcionadas 2006-2009

Liga Nacional de Matemáticas de Escuelas Secundarias 2008

8:30-9:30 am del 13 de abril de 2008

1 Preguntas de opción múltiple: (Completo). La puntuación de esta pregunta es 42 puntos, cada pregunta es 7 puntos)

1 Supongamos que a 2 + 1 = 3 a, b 2 + 1 = 3 b y a ≠ b, entonces el valor de la expresión algebraica + es ( )

(A) 5 (B) 7 (C) 9 (D) 11

2 Como se muestra en la figura, sean AD, BE y. CF son las tres alturas de △ABC Si AB = 6, BC = 5, EF = 3, entonces la longitud del segmento BE es ( )

(A) (B) 4 (C) (. D)

3. Hay números escritos a partir de Tome dos de las cinco tarjetas 1, 2, 3, 4 y 5, y use el número de la primera tarjeta como el dígito de las decenas y el número. en la segunda tarjeta como el dígito de las unidades para formar un número de dos dígitos. Entonces la probabilidad de que el número formado sea múltiplo de 3 es ( )

(A) (B) (C) (D).

4. En △ABC, ∠ABC = 12°, ∠ACB = 132°, BM y CN son las bisectrices exteriores de estos dos ángulos, y los puntos M y N están en la recta AC y la recta AB respectivamente, entonces ( )

(A) BM > CN (B) BM = CN (C) BM < CN (D) La relación entre BM y CN es incierta

5. Hay 5 productos diferentes con el mismo precio, a partir de hoy el precio se reduce en un 10% o un 20%. Después de unos días, los precios de estos cinco productos son diferentes entre sí. del precio más alto al precio más bajo es r, entonces el valor mínimo de r es ( )

(A) ( ) 3 (B) ( ) 4 (C) ( ) 5 (D)

6 Se sabe que los números reales x e y satisfacen ( x – ) ( y – ) = 2008,

Entonces el valor de 3 x 2 – 2 y 2 + 3 x –. 3 años – 2007 es ( )

(A) – 2008 (B) 2008 (C) – 1 (D) 1

2 Preguntas para completar en blanco: (Esta pregunta vale 28 puntos, cada pregunta vale 7 puntos)

1 Supongamos que a =, luego =.

2 Como se muestra en la figura, la longitud del lado del cuadrado ABCD es 1, M y N son dos puntos en la línea recta donde se encuentra BD, y AM = , ∠MAN = 135°, entonces el área del cuadrilátero AMCN es .

3. Se sabe que las abscisas de los dos puntos de intersección de la gráfica de la función cuadrática y = x 2 + a x + b y el eje x son m, n respectivamente, y m | + | norte | ≤ 1. Supongamos que los valores máximo y mínimo de b que cumplen los requisitos anteriores son p y q respectivamente, entonces |

4. Ordena los números cuadrados de los enteros positivos 1, 2, 3,... en una serie: 149162536496481100121144..., el número de la primera posición es 1, y el número de la quinta. La posición es 6, el número en la décima posición es 4 y el número en la posición 2008 es.

Respuesta: B, D, C, B, B, D – 2, , ,1.

Respuesta: 1. 1. Según las condiciones de la pregunta, a 2 – 3 a + 1 = 0, b 2 – 3 b + 1 = 0, y a ≠ b,

Entonces a y b son las dos raíces de la ecuación cuadrática x 2 – 3 x + 1 = 0, entonces a + b = 3, a b = 1,

Por lo tanto + = = = = 7 ;

2 Dado que AD, BE y CF son las tres alturas de △ABC, es fácil saber que los cuatro puntos B, C, E y F forman un círculo,

2. p>

entonces △AEF∽△ABC, Por lo tanto = = , es decir, cos∠BAC = , entonces sin∠BAC = .

En Rt△ABE, BE = AB sin∠BAC = 6 × =;

3. Los números de dos cifras que se pueden formar son 12, 13, 14, 15, 21, 23, 24, 25, 31, 32, 34, 35, 41, 42, 43, 45, 51, 52, 53, 54, ***20, entre los cuales los números que son múltiplos de 3 son 12, 15 , 21, 24, 42, 45, 51, 54, ***8, por lo que la probabilidad de que el número compuesto sea múltiplo de 3 es = ;

4. es ∠ABC La bisectriz del ángulo exterior de , ∴∠MBC = ( 180° – 12° ) = 84°,

y ∠BCM = 180° – ∠ACB = 180° – 132° = 48°, ∴∠BCM = 180° – 84° – 48° = 48°, ∴BM = BC, y ∠ACN = ( 180° – ∠ACB ) = ( 180° – 132° ) = 24°, ∴∠BNC = 180° – ∠ABC – ∠BCN = 180° – 12° – (∠ACB +∠CAN ) = 12° =∠ABC, ∴CN = CB, por lo tanto, BM = BC = CN

5. saber, 4 días Entonces habrá una situación en la que los precios de los cinco productos básicos serán diferentes entre sí.

Supongamos que el precio de cinco bienes antes de la reducción de precio es a. Después de n días, el precio de cada bien después de n días debe expresarse como a (1 – 10%). k ? (1 – 20%) n – k = a ? ( ) k ? n – k, donde k es un número natural, y 0 ≤ k ≤ n. los productos básicos deben ser: a ? ( ) i ? ( ) n – i, a ? ( ) i + 1 ? ( ) i + 3 ? ( ) n – i – 3, a ? ( ) i + 4 ? n – i – 4,

donde i es un número natural que no excede n, por lo que es el mínimo el valor de r es = ( ) 4

6, ∵( x – ) ( y – ) = 2008, ∴x – = =

y + , y – = = x + ,

De las dos ecuaciones anteriores, podemos obtener x = y, entonces (x – ) 2 = 2008, y la solución es x 2 = 2008,

Entonces 3 x 2 – 2 y 2 + 3 x – 3 y – 2007 = 3 x 2 – 2 x 2 + 3 x – 3 x – 2007 = x 2 – 2007 = 1;

二、1、∵a 2 = ( ) 2 = = 1 – a , ∴a 2 + a = 1, ∴Fórmula original =

= = = – = – ( 1 + a + a 2 ) = – ( 1 + 1 ) = – 2;

2. Supongamos que el punto medio de BD es O, conectado a AO, entonces AO⊥BD, AO = OB =, MO = =,

∴MB =. MO – OB =.

Y ∠ABM = ∠NDA = 135°,

∠NAD = ∠MAN – ∠DAB – ∠MAB = 135° – 90° – ∠MAB = 45° – ∠MAB = ∠AMB,

Entonces △ADN∽△MBA, entonces = , entonces DN = ? BA = × 1 = , según la simetría,

El área del cuadrilátero AMCN es S = 2 S△MAN = 2 × × MN × AO = 2 × × ( + + ) × = ;

3. Según el significado de la pregunta, myn son las dos raíces de la ecuación cuadrática x 2 + a x. + b = 0, entonces m + n = – a, m n = b.

∵| m | + | n ≤ 1, ∴ | .

∵El discriminante de la ecuación x 2 + a x + b = 0 △ = a 2 – 4 b ≥ 0, ∴b ≤ = ≤ .

4 b = 4 m n = ( m + n ) 2 – ( m – n ) 2 ≥ ( m + n ) 2 – 1 ≥ – 1, entonces b ≥ – , el signo igual es cuando m = – Obtenido cuando n =; 4 b = 4 m n = ( m + n ) 2 – ( m – n ) 2 ≤ 1 – ( m – n ) 2 ≤ 1, entonces b ≤ , y el signo igual se obtiene cuando m = norte = . Entonces p = , q = – , entonces | p | + q | = ;

4, 1 2 a 3 2, los resultados solo ocupan 1 dígito cada uno, *** ocupa 1 × 3 = 3 dígitos; 4 2 a 9 2, los resultados solo ocupan 2 dígitos cada uno, *** ocupa 2 × 6 = 12 dígitos, 10 2 a 31 2, los resultados solo ocupan 3 dígitos cada uno, *** ocupa 3 × 22 = 66 dígitos; 32 2 a 99 2, los resultados solo ocupan 4 dígitos cada uno, *** ocupa 4 × 68 = 272 dígitos 100 2 a 316 2, los resultados solo ocupan 5 dígitos cada uno, *** representa 5 × 217 = 1085 dígitos; en este momento, todavía hay 2008 – (3 + 12 + 66 + 272 + 1085) = 570 dígitos. De 317 2 a 411 2, los resultados solo ocupan 6 dígitos cada uno, y *** ocupa 6 × 95 = 570 dígitos. Por lo tanto, el número en la posición 2008 debe ser exactamente el dígito de 411 2, que es 1;

Liga Nacional de Matemáticas de Escuelas Secundarias 2008

13 de abril de 2008 10:00 -11:30 am

Segunda prueba (A)

1. (Esta pregunta vale 20 puntos) Se sabe que a 2 + b 2 = 1. Para condiciones 0 Para todos los números reales x ≤ x ≤ 1, la desigualdad a ( 1 – x ) ( 1 – x – a x ) – b x ( b – x – b x ) ≥ 0 (1) siempre es cierta cuando el producto a b toma el valor mínimo. , encuentre el valor de a, b.

Solución: Ordene la desigualdad (1) y sustituya a 2 + b 2 = 1 para obtener ( 1 + a + b ) x 2 – ( 2 a + 1 ) x + a ≥ 0 (2) ,

En (2), sea x = 0, obtenga a ≥ 0; sea x = 1, obtenga b ≥ 0. Es fácil saber que 1 + a + b > 0, 0 < < 1,

Entonces la gráfica de la función cuadrática y = ( 1 + a + b ) x 2 – ( 2 a + 1 ) x + a La (parábola) se abre hacia arriba y la abscisa del vértice está entre 0 y 1. Se sabe por la pregunta que la desigualdad (2) siempre es cierta para todos los números reales x que satisfacen la condición 0 ≤ x ≤ 1, por lo que su discriminante △= ( 2 a + 1 ) 2 – 4 a ( 1 + a + b ) ≤ 0, es decir, a b ≥ .

Del sistema de ecuaciones (3)

Eliminando b, obtenemos 16 a 4 – 16 a 2 + 1 = 0, entonces a 2 = o a 2 = . Y como a ≥ 0,

entonces a 1 = o a 2 =, entonces b 1 = o b 2 =. Por lo tanto, el valor mínimo de a b es . En este momento, los valores de a y b son a = , b = y a = , b = respectivamente.

2. (Esta pregunta vale 25 puntos) Como se muestra en la figura, el círculo O y el círculo D se cruzan en dos puntos A y B. BC es la recta tangente del círculo D. El punto C está en el círculo. O, y AB = BC.

(1) Demuestre que el punto O está en la circunferencia del círculo D;

(2) Sea S el área de △ABC y encuentre el valor mínimo de la radio r del círculo D.

Solución: (1) Conectar OA, OB, OC, AC, porque O es el centro del círculo, AB = BC, entonces △OBA∽△OBC, entonces ∠OBA =∠OBC, porque OD ⊥AB, DB ⊥BC, entonces ∠DOB = 90° – ∠OBA = 90° – ∠OBC = ∠DBO, entonces DB = DO, entonces el punto O está en la circunferencia del círculo D;

( 2) Sea el círculo O El radio de es a, y la línea de extensión de BO cruza a AC en el punto E. Es fácil saber que BE⊥AC. Supongamos AC = 2 y (0 < y ≤ a), OE = x, AB = l, entonces a 2 = x 2 + y 2, S = y ( a + x ),

l 2 = y 2 + ( a + x ) 2 = y 2 + a 2 + 2 a x + x 2 = 2 a 2 + 2 a x = 2 a ( a + x ) = .

Porque ∠ABC = 2∠OBA = 2∠OAB =∠BDO, AB = BC, DB = DO, entonces △BDO∽△ABC,

Entonces = , es decir, = , Por lo tanto r = , entonces r 2 = = ? = ? ( ) 3 ≥ , es decir, r ≥ , donde el signo igual es verdadero cuando a = y, entonces AC es el diámetro del círculo O. Por lo tanto, el valor mínimo del radio r del círculo D para.

3. (Esta pregunta vale 25 puntos) Sea a un número primo, b un entero positivo y 9 ( 2 a + b ) 2 = 509 ( 4 a + 511 b ) (1 )

Encuentra los valores de a y b.

Solución: La fórmula (1) es ( ) 2 = , suponiendo m = , n = , entonces n = m 2,

b = = (2), entonces 3 n – 511 m + 6 a = 0, entonces 3 m 2 – 511 m + 6 a = 0 (3), podemos ver que (2 a + b) 2 se puede dividir por el número primo 509, entonces 2 a + b puede ser divisible por 509, por lo que m es un número entero.

Es decir, la ecuación cuadrática (3) sobre m tiene raíces enteras, por lo que su discriminante Δ= 511 2 – 72 a es un número cuadrado perfecto.

Supongamos que △= 511 2 – 72 a = t 2 ( es un número natural), entonces 72 a = 511 2 – t 2 = ( 511 + t ) ( 511 – t ),

Dado que la paridad de 511 + t y 511 – t es la misma, y 511 + t ≥ 511, sólo son posibles las siguientes situaciones:

①, ②, ③, ④, los dos las ecuaciones se suman Obtenemos respectivamente

36 a + 2 = 1022, 18 a + 4 = 1022, 12 a + 6 = 1022, 6 a + 12 = 1022, ninguna de las cuales tiene soluciones enteras;

⑤ , ⑥, se suman las dos fórmulas para obtener 4 a + 18 = 1022, y la solución es a = 251

2 a + 36 = 1022, la solución es a; = 493, y 493 = 17 × 29 no es un número primo, así que déjalo. En resumen, se puede observar que a = 251.

En este momento, la solución de la ecuación (3) es m = 3 o m = (eliminado).

Sustituyendo a = 251 y m = 3 en la ecuación (2), obtenemos b = = 7.

Segunda prueba (B)

1. (Esta pregunta vale 20 puntos) Se sabe que a 2 + b 2 = 1. Para la condición x + y = 1, x y ≥ 0 Para todos los pares de números reales (x, y), la desigualdad a y 2 – x y + b x 2 ≥ 0 (1) siempre es cierta. Cuando el producto a b toma el valor mínimo, encuentre el valor de a y b.

Solución: De x + y = 1, x y ≥ 0, sabemos que 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1. En la fórmula (1), sea x = 0, y = 1, y obtenga a ≥ 0, sea x = 1, y = 0, y obtenga b ≥ 0; Sustituyendo y = 1 – x en la ecuación (1), obtenemos a ( 1 – x ) 2 – x ( 1 – x ) + b x 2 ≥ 0, es decir ( 1 + a + b ) x 2 – ( 2 a + 1 ) x + a ≥ 0 (2), es fácil saber que 1 + a + b > 0, 0 < < 1,

Entonces la función cuadrática y = ( 1 + a + b ) x 2 – ( 2 a + 1 ) La gráfica (parábola) de x + a se abre hacia arriba y la abscisa del vértice está entre 0 y 1. Se sabe por la pregunta que la desigualdad (2) siempre es cierta para todos los números reales x que satisfacen la condición 0 ≤ x ≤ 1,

Entonces su discriminante △= ( 2 a + 1 ) 2 – 4 a ( 1 + a + b ) ≤ 0, es decir, a b ≥ . Eliminando b del sistema de ecuaciones (3), obtenemos 16 a 4 – 16 a 2 + 1 = 0, entonces a 2 = o a 2 = . Y como a ≥ 0,

entonces a 1 = o a 2 =, entonces b 1 = o b 2 =. Por lo tanto, el valor mínimo de a b es . En este momento, los valores de a y b son a = , b = y a = , b = respectivamente.

2. (Esta pregunta vale 25 puntos). Las preguntas y respuestas son las mismas que la segunda pregunta del Documento (A).

3. (Esta pregunta vale 25 puntos). Las preguntas y respuestas son las mismas que la tercera pregunta del Documento (A).

Segunda Prueba (C)

1. (Esta pregunta vale 25 puntos) Las preguntas y respuestas son las mismas que la primera pregunta del Trabajo (B).

2. (Esta pregunta vale 25 puntos). Las preguntas y respuestas son las mismas que la segunda pregunta del Documento (A).

3. (Esta pregunta vale 25 puntos) Suponga que a es un número primo, b, c son números enteros positivos y satisface, encuentre el valor de a (b + c).

Solución: La fórmula (1) es ( ) 2 = , asumiendo m = , n = , entonces 2 b – c = = (3), entonces 3 n – 511 m + 6 a = 0, y n = m 2,

Entonces 3 m 2 – 511 m + 6 a = 0 (4), de la ecuación (1) podemos ver que ( 2 a + 2 b – c ) 2 se puede dividir por 509,

Y 509 es un número primo, por lo que 2 a + 2 b – c se puede dividir entre 509, por lo que m es un número entero,

Es decir, la ecuación cuadrática (4) aproximadamente m tiene raíz entera, por lo que su discriminante Δ= 511 2 – 72 a es un número cuadrado perfecto.