16 formas de demostrar el teorema de Pitágoras

Prueba 1 (Prueba de Mei Wending) Construye cuatro triángulos rectángulos congruentes, suponiendo que las longitudes de sus dos lados rectángulos son a y b respectivamente, y la longitud de la hipotenusa es c. juntos en un polígono, sean D, E y F en línea recta. Dibuje la línea de extensión de AC a través de C y corte a DF en el punto P.∵ D, E y F están en línea recta y RtΔGEF ≌ RtΔEBD. ,∴ ∠EGF = ∠BED,∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°, ∴ ∠BED + ∠GEF = 90°, ∴ ∠BEG =180°―90°= 90° y ∵ AB = BE = EG = GA = c, ∴ ABEG es una longitud de lado de El cuadrado de c.∴ ∠ABC + ∠CBE = 90°∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD,∴ ∠ABC = ∠EBD.∴ ∠EBD + ∠CBE = 90°, es decir, ∠CBD = 90° y ∵ ∠BDE = 90°, ∠BCP = 90°, BC = BD = a.∴ BDPC es un cuadrado con longitud de lado a. De manera similar, HPFG es un cuadrado con longitud de lado b. polígono GHCBE es S, entonces el área de ∴ BDPC también es S, el área de HPFG también es S. De esto se puede deducir: a^2+b^2=c^2 Método de prueba 2 (Prueba de Xiang Mingda) Construya dos triángulos rectángulos congruentes, suponiendo que las longitudes de sus dos lados rectángulos son respectivamente a, b (b>a), la longitud de la hipotenusa es c. Haga otro cuadrado con longitud de lado c. en un polígono como se muestra en la figura, de modo que los tres puntos E, A y C estén en línea recta. El punto Q es QP∥BC y corta a AC en el punto P. Pasa por el punto B es BM⊥PQ, y el pie perpendicular es M que pasa por el punto F es FN⊥PQ, y el pie perpendicular es N.∵ ∠BCA = 90°, QP∥BC , ∴ ∠MPC = 90°, ∵ BM⊥PQ, ∴ ∠BMP = 90; °, ∴ BCPM es un rectángulo, es decir, ∠MBC = 90°.∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = °, ∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90°, ∴ ∠QBM = ∠ABC, y ∵ ∠BMP = 90°, ∠BCA = 90°, BQ = BA = c, ∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA De la misma forma se puede demostrar que RtΔQNF ≌ RtΔAEF Es decir, a^ 2+b^2=c^. 2 Prueba 3 (Prueba de Zhao Haojie) Construye dos triángulos rectángulos congruentes Sean a y b (b>a) las longitudes de sus dos lados rectángulos, y la longitud de la hipotenusa sea c. c. Júntelos en polígonos como se muestra en la figura. Haga los cuadrados FCJI y AEIG con CF y AE como longitudes de lados respectivamente, ∵EF=DF-DE=b-a, EI=b, ∴FI =a, ∴G, I,. J están en la misma recta, ∵CJ=CF=a, CB=CD=c, ∠CJB = ∠CFD = 90°, ∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD, de manera similar, RtΔABG ≌ RtΔADE, ∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ≌ RtΔABG ≌ Rt ΔADE∴ ∠ABG = ∠BCJ,∵∠BCJ +∠CBJ= 90°,∴∠ABG +∠CBJ= 90°,∵∠ABC= 90°,∴G,B,I,J en la misma línea recta, entonces a^2+b^2=c^2 Método de prueba 4 (Prueba euclidiana) Haga tres cuadrados con longitudes de lado a, b y c, y júntelos en la forma que se muestra en la figura. Sean los tres puntos H,. C y B están en línea recta y conectan BF y CD. Dibuje CL⊥DE a través de C, interseque a AB en el punto M y intersecte a DE en el punto L. ∵ AF = AC, AB = AD, ∠FAB = ∠ GAD, ∴ ΔFAB ≌ ΔGAD, ∵ El área de ΔFAB es igual a, el área de ΔGAD es igual a la mitad del área del rectángulo ADLM, ∴ El área del rectángulo ADLM =. el área del rectángulo MLEB =.∵ El área del cuadrado ADEB = rectángulo ADLM El área de ​​+ el área del rectángulo MLEB ∴ Es decir, el cuadrado de a + el cuadrado de b = el cuadrado de c Prueba 5 La prueba de Euclides En el libro de Euclides “Elementos de geometría”, se propuso la siguiente prueba del teorema de Pitágoras que se puede establecer más adelante. Sea △ABC un triángulo rectángulo, donde A es un ángulo recto.

Dibuja una línea desde el punto A hasta el lado opuesto de modo que sea perpendicular al cuadrado del lado opuesto. Esta línea divide el cuadrado del lado opuesto en dos partes cuyas áreas son iguales a los dos cuadrados restantes. En una demostración formal, necesitamos cuatro teoremas auxiliares como sigue: si dos triángulos tienen dos conjuntos de lados correspondientes y los ángulos entre estos dos conjuntos de lados son iguales, entonces los dos triángulos son congruentes. (Teorema de SAS) El área de un triángulo es la mitad del área de cualquier paralelogramo con la misma base y la misma altura. El área de cualquier cuadrado es igual al producto de las longitudes de sus dos lados. El área de cualquier cuadrado es igual al producto de las longitudes de sus dos lados (según el Teorema Auxiliar 3). El concepto de la prueba es: convertir los dos cuadrados de arriba en dos paralelogramos de igual área, luego rotarlos y convertirlos en dos rectángulos de abajo con la misma área. La prueba es la siguiente: Sea △ABC un triángulo rectángulo y su ángulo recto es CAB. Sus lados son BC, AB y CA, y los cuadrados CBDE, BAGF y ACIH están dibujados en ese orden. Traza las líneas paralelas BD y CE que pasan por el punto A. Esta línea cruzará BC y DE en ángulos rectos en K y L respectivamente. Conecte CF y AD respectivamente para formar dos triángulos BCF y BDA. ∠CAB y ∠BAG son ambos ángulos rectos, por lo que C, A y G son todos linealmente correspondientes, y se puede usar el mismo principio para probar B, A y H. ∠CBD y ∠FBA son ambos ángulos rectos, por lo que ∠ABD es igual a ∠FBC. Como AB y BD son iguales a FB y BC respectivamente, △ABD debe ser igual a △FBC. Dado que A corresponde linealmente a K y L, el cuadrado BDLK debe tener el doble del área de ΔABD. Como C, A y G son todos sinténicos, el área del cuadrado BAGF debe ser el doble que la de △FBC. Por lo tanto los cuadriláteros BDLK deben tener la misma área BAGF = AB^2. Del mismo modo, los cuadriláteros CKLE deben tener la misma área ACIH = AC^2. Sume estos dos resultados, AB^2+ AC^2; = BD×BK + KL×KC Dado que BD=KL, BD×BK + KL×KC = BD(BK + KC) = BD×BC Dado que CBDE es cuadrado, por lo tanto AB^2 + AC^2= BC^2. Esta prueba fue propuesta en la Sección 1.47 de los "Elementos de Geometría" de Euclides...