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Documento sobre la enseñanza de las matemáticas
Documento 1: Documento sobre la enseñanza de las matemáticas en la escuela secundaria: Penetración de los pensamientos de clasificación en la enseñanza de la escuela secundaria
Promover una educación de calidad y cultivar estudiantes calificados De cara al nuevo siglo Los talentos permiten a los estudiantes tener un sentido de innovación y aprender a aprender a través de la creación. La educación debe prestar más atención a los métodos y estrategias de aprendizaje de los estudiantes. El matemático Jorge. Polya dijo: "Una forma de pensar perfecta es como la estrella polar, a través de la cual muchas personas encuentran el camino correcto con la profundización de la reforma curricular, en el proceso de transformación de una "educación orientada a exámenes" a una "educación de calidad". La inspección de los estudiantes no solo evalúa los conocimientos básicos y las habilidades básicas, sino que también presta más atención al cultivo de las habilidades de prueba. Como ideas y métodos matemáticos reflejados en el proceso de aprendizaje y exploración de conceptos, reglas, propiedades, fórmulas, axiomas y teoremas de conocimientos básicos, se requiere que los estudiantes sean capaces de observar, comparar, analizar, sintetizar, abstraer y generalizar; capaz de explicar sus propios pensamientos y opiniones. Con el fin de mejorar la alfabetización matemática de los estudiantes y brindarles una educación matemática a nivel ideológico.
El aprendizaje de las matemáticas es inseparable del pensamiento. La exploración matemática debe realizarse a través del pensamiento. Infiltre gradualmente los métodos de pensamiento matemático en la enseñanza de matemáticas de la escuela secundaria, cultive la capacidad de pensamiento y forme buenos hábitos de pensamiento matemático, lo cual está en consonancia. con los nuevos estándares curriculares, es también un punto de entrada para una educación de calidad en matemáticas.
La idea de clasificación matemática es una idea matemática que divide los objetos matemáticos en varios tipos diferentes en función de las similitudes y diferencias en sus atributos esenciales. Es a la vez una idea matemática importante y un método lógico matemático importante.
El llamado método de discusión de clasificación matemática es un método matemático que divide objetos matemáticos en varias categorías y los analiza por separado para resolver problemas. Los problemas matemáticos relacionados con la clasificación y la discusión de ideas son obviamente lógicos, integrales y exploratorios, y pueden entrenar el pensamiento de las personas en orden y generalidad.
Las ideas de discusión sobre clasificación se encuentran en todo el contenido de matemáticas de la escuela secundaria. Las razones para la clasificación de problemas matemáticos que deben resolverse utilizando la idea de discusión de clasificación se pueden resumir de la siguiente manera: ① Los conceptos matemáticos involucrados se definen mediante clasificación ② Los teoremas, fórmulas o propiedades operativas y reglas matemáticas utilizadas son; dado por clasificación; ③ Hay muchas situaciones o posibilidades para la conclusión del problema matemático a resolver ④ El problema matemático contiene parámetros, y los valores de estos parámetros conducirán a resultados diferentes; La aplicación de la discusión sobre clasificación a menudo puede simplificar problemas complejos. El proceso de clasificación puede cultivar la minuciosidad y el orden del pensamiento de los estudiantes, y las discusiones sobre clasificación también pueden promover la capacidad de los estudiantes para investigar problemas y explorar patrones.
Las ideas de clasificación no son como el conocimiento matemático general, que se puede dominar mediante unas pocas clases de enseñanza. Penetra gradualmente, asciende en espiral y enriquece continuamente su propia connotación basada en las características de edad de los estudiantes, sus niveles de comprensión y características de conocimiento en cada etapa del aprendizaje.
Los siguientes aspectos se pueden utilizar en la enseñanza para permitir a los estudiantes aplicar activamente ideas de clasificación a través de la analogía, la observación, el análisis, la síntesis, la abstracción y la generalización en el proceso de aprendizaje de las matemáticas.
1. Infiltrarse en la idea de clasificación y desarrollar la conciencia de clasificación
Cada estudiante tiene ciertos conocimientos de clasificación en la vida diaria, como la clasificación de personas, la clasificación de artículos de papelería. , etc., utilizamos Con base en esta comprensión, los estudiantes pueden transferir clasificaciones de la vida a las matemáticas, infiltrarse en ideas de clasificación matemática en la enseñanza, explorar oportunidades brindadas por los materiales didácticos y aprovechar oportunidades de infiltración. Por ejemplo, la clasificación de números, el significado de los valores absolutos, las propiedades de las desigualdades, etc. son buenas oportunidades para penetrar en el pensamiento de la clasificación.
Enteros,
Fracciones
Números racionales positivos
Cero
Números racionales negativos
Después de enseñar los conceptos de números negativos y números racionales, oriente oportunamente a los estudiantes a clasificar los números racionales, para que puedan comprender que existen diferentes métodos de clasificación para los números racionales de acuerdo con diferentes estándares, tales como:
Números racionales Números racionales
Sienta las bases para el siguiente paso de la discusión sobre clasificación.
Después de comprender que el número a puede representar cualquier número, permita que los estudiantes clasifiquen el número a y obtengan tres categorías: números positivos, cero y números negativos.
Al explicar el significado de los valores absolutos, guíe a los estudiantes para que obtengan las siguientes clasificaciones:
A través de la comprensión de los valores absolutos de los números positivos, cero y negativos, aprenda cómo utilizar métodos de discusión de clasificación para aprender y comprender conceptos matemáticos.
Para otro ejemplo, la comparación de dos números racionales se puede dividir en varias categorías: números positivos y números positivos, números positivos y cero, números positivos y números negativos, números negativos y cero, números negativos y negativos Los números y los números negativos y la comparación de tamaños de números negativos son puntos de conocimiento nuevos que resaltan el enfoque del aprendizaje.
Combinado con la enseñanza del capítulo "Números racionales", se penetra y fortalece repetidamente para fortalecer el pensamiento de la clasificación matemática, de modo que los estudiantes puedan formar gradualmente una conciencia de la clasificación en el aprendizaje de las matemáticas. Y ser capaz de prestar atención a algunos principios básicos al clasificar y discutir, como que se deben determinar los objetos de clasificación y unificar los estándares, de lo contrario, si los objetos se mezclan y los estándares son diferentes, se producirán errores como omisiones y duplicaciones. ocurrirá. Si dividimos los números racionales en: números positivos, números negativos y enteros, estamos cometiendo el error de utilizar estándares de clasificación diferentes. Después de determinar los objetos y estándares, también debemos prestar atención a distinguir niveles y no saltarnos las discusiones.
2. Aprenda métodos de clasificación y mejore el rigor del pensamiento
Al incorporar ideas de clasificación en la enseñanza, los estudiantes deben comprender que clasificación significa seleccionar estándares apropiados y clasificarlos de acuerdo con los atributos del objetos, divídalo en varias categorías sin duplicación ni omisión, y luego responda las preguntas de cada subcategoría. Dominar métodos de clasificación razonables se convierte en la clave para resolver problemas.
Los métodos de clasificación suelen incluir lo siguiente:
1. Clasificar según conceptos matemáticos
Algunos conceptos matemáticos se dan mediante clasificación. Las respuestas a esta pregunta son generalmente. clasificados según la forma de clasificación de los conceptos.
Ejemplo 1, solución simplificada:
Se trata de una clasificación basada en el significado del valor absoluto.
Ejemplo 2, el error entre comparación y fácil de conseguir, el error se produce por no notar que los números pueden representar diferentes tipos de números. Al clasificar y discutir números, se puede obtener la respuesta correcta:
〉0 tiempo, = 0 tiempo, lt; 0 tiempo, 2. Clasificar según reglas matemáticas, propiedades o regulaciones especiales
Al aprender el discriminante de la raíz de una ecuación cuadrática de una variable, para la ecuación deformada
Para resolver el problema usando la raíz cuadrada de ambos lados, es necesario clasificar y estudiar las tres situaciones correspondiente a mayor que 0, igual a 0 y menor que 0. solución de la ecuación. El símbolo de esta pregunta determina si se puede extraer la raíz cuadrada, que es la base de la clasificación. Así se obtienen tres casos de raíces de la ecuación cuadrática de una variable.
Ejemplo 3. Resuelve la desigualdad sobre x: ax+3>2x a
Analiza y transforma la desigualdad en la forma de (a-2)xgt;a-3 moviendo términos, y luego de acuerdo con la desigualdad Las propiedades de se pueden dividir en tres casos: a-2>0, a-2=0 y a-2<0 para resolver la desigualdad respectivamente.
Cuando a-2>0, es decir, a>2, la solución de la desigualdad es xgt
Cuando a-2=0, es decir, a=2, el lado izquierdo de la desigualdad =0, el lado derecho de la desigualdad =-1
Porque 01-1, la solución de la desigualdad son todos números reales.
Cuando a-2<0, es decir, a<2, la solución de la desigualdad es xlt;
3. Clasificar las gráficas según sus características o relaciones mutuas
Por ejemplo, los triángulos se clasifican según los ángulos, incluidos los triángulos agudos, los triángulos rectángulos y los triángulos obtusos. Las líneas y los círculos se pueden dividir en: las líneas y los círculos se separan según el número de intersecciones entre líneas y círculos: líneas. están separadas de los círculos, las líneas son tangentes a los círculos y las líneas y los círculos se cruzan.
Por ejemplo, el ángulo entre la altura de una cintura de un triángulo isósceles y la otra cintura es 30°, y la longitud de la base es a, entonces la altura de la cintura es
Análisis: Esta pregunta Según las características de la figura, los triángulos isósceles se dividen en triángulos de ángulos agudos y triángulos de ángulos obtusos para la altura CD. Como se muestra en la figura, la altura de la cintura se puede clasificar según la. diferentes posiciones de los puntos y rectas de las figuras geométricas.
Al demostrar el teorema del ángulo circular. Dado que la posición del centro del círculo puede estar en el lado del ángulo, dentro o fuera del ángulo, la prueba se analiza por separado en tres situaciones diferentes. Primero demuestre que el centro del círculo está en un lado del ángulo circunferencial, que es la situación más fácil de resolver, y luego use la situación que se demostró primero (el centro del círculo está en un lado del ángulo circunferencial) para resuelve el centro del círculo respectivamente calculando el diámetro del vértice del ángulo circunferencial. Hay dos situaciones: dentro del ángulo circunferencial y el centro del círculo está fuera del ángulo circunferencial. Esta es una idea y un método de discusión clasificada que se refleja en el proceso de demostración del teorema. Es un método de resolución uno a uno según las diferentes posiciones de puntos y rectas geométricas. En el libro de texto se demuestra el teorema del ángulo tangente a la cuerda: el ángulo tangente a la cuerda es igual al ángulo circunferencial subtendido por el arco que contiene. También se resuelve en tres situaciones diferentes: el centro del círculo está a un lado del ángulo tangente a la cuerda, el interior del ángulo tangente a la cuerda y el exterior del ángulo tangente a la cuerda.
3. Guíe las discusiones clasificadas y mejore la capacidad de resolver problemas razonablemente.
Hay muchos teoremas, reglas, fórmulas y ejercicios en los libros de texto de la escuela secundaria que requieren discusiones clasificadas al enseñar. estos contenidos, la conciencia de los estudiantes sobre las discusiones clasificadas debe fortalecerse continuamente para que los estudiantes sean conscientes de estos temas. Solo después de las discusiones clasificadas las conclusiones pueden ser completas y correctas. Si no hay una discusión clasificada, se producirán errores fácilmente. En la enseñanza de resolución de problemas, las discusiones clasificadas también son útiles para ayudar a los estudiantes a resumir y resumir cosas habituales, mejorando así el orden y el rigor del pensamiento de los estudiantes.
En términos generales, hay dos categorías principales de problemas resueltos utilizando ideas y métodos de discusión de clasificación: uno involucra expresiones algebraicas o funciones o ecuaciones, y según los diferentes valores de las letras, diferentes valores se utilizan. Discutir y resolver problemas dentro del rango de valores. El segundo es discutir y resolver los problemas uno a uno según las diferentes posiciones de los puntos y rectas de las figuras geométricas
Ejemplo 4. La función conocida y = (m-1) x2 + (m -2) x-1 (m es un número real). Si la gráfica de la función interseca el eje x en un solo punto, encuentre el valor de m.
Análisis: Se discute desde la perspectiva de la clasificación de funciones, y el problema se estudia y resuelve en dos casos: m-1=0 y m-110.
Solución: Cuando m=l, la función es una función lineal y=-x-1, que tiene un solo punto de intersección (-1, 0) con el eje x.
Cuando m11, la función es una función cuadrática y=(m-1)x2+(m-2)x-1
Cuando △=(m-2)2 4 ( m-1)=0, obtenemos m=0.
Parábola y=-x2-2x-1, el vértice (-1, 0) está en el eje x
Ejemplo 5. Función y = x6 – x5 x4- x3 x2 – x 1. Verificar: el valor de y es siempre un número positivo.
Análisis: Descomponer la expresión de y en factores puede probar la conclusión, pero es difícil. El análisis muestra que si la variable x se clasifica adecuadamente dentro del rango de números reales, el problema es fácil de resolver.
Prueba: ⑴ Cuando x ≤ 0
∵ x5 - x3 - x ≥ 0 , ∴ y ≥ 1 siempre es cierto
⑵ Cuando 0 lt; x lt; 1 vez
y = x6 (x4 – x5) (x2 – x3) (x – 1)
∵x4 gt; y gt; se establece 0
⑶ Cuando x = 1, y = 1 gt se establece
⑷ Cuando x gt; y = (x6 – x5) (x4 – x3) (x2 – x) 1
∵ x6 gt; x5, x4 gt, x2 gt; p> ∴ y gt; se establece 1
De lo anterior se puede ver que se establece y gt;
Ejemplo 6. Se sabe que △ABC es un triángulo equilátero con longitud de lado 2, y △ACD es un triángulo rectángulo con un ángulo de 30°. △ABC y △ACD forman un cuadrilátero convexo ABCD (1) Dibuja el cuadrilátero ABCD (2) Encuentra el área del cuadrilátero ABCD.
Al analizar el triángulo rectángulo ACD que contiene un ángulo de 30°, podemos estudiar dos casos donde AC es la hipotenusa y AC es el lado derecho. Como se muestra en la Figura 1, el cuadrilátero ABCD se forma tomando AC como hipotenusa y el triángulo equilátero ABC (las áreas del cuadrilátero ABCD calculadas por DDAC=30° y DDAC=60° son iguales, por lo que se clasifican en misma categoría). AC es un lado en ángulo recto y se puede dividir en dos situaciones diferentes como se muestra en las Figuras 2 y 3. De la Figura 1, S cuadrilátero ABCD=; de la Figura 2, se puede calcular que S cuadrilátero ABCD=; ese S cuadrilátero ABCD=3
De los ejemplos anteriores, podemos ver que las discusiones clasificadas a menudo pueden hacer que algunos problemas complicados sean extremadamente simples, las ideas para resolver problemas son muy claras y los pasos son muy claros. Por otro lado, las discusiones pueden estimular el interés de los estudiantes por aprender matemáticas.
Utilizar los materiales didácticos existentes y esforzarse por penetrar y ayudar a los estudiantes a dominar inicialmente los métodos de pensamiento de clasificación en la enseñanza, combinados con el estudio de otros métodos de pensamiento matemático, prestar atención al uso integral de varios métodos de pensamiento, y proporcionar a los estudiantes suficientes materiales y tiempo para inspirarlos a pensar positivamente. Creo que los estudiantes mejorarán enormemente en su nivel de comprensión y recibirán el doble de resultado con la mitad del esfuerzo en la enseñanza.
Documento 2: Documento de enseñanza de matemáticas en la escuela secundaria: Enseñar a los estudiantes a resolver problemas difíciles en los exámenes de matemáticas de la escuela secundaria
Resumen del contenido: Para permitir que los estudiantes consoliden sus conocimientos básicos, tenga ciertos problemas -habilidades de resolución y educar a los estudiantes Llevar a cabo la capacitación necesaria en análisis, síntesis, asociación y otras habilidades, cultivar el pensamiento intuitivo de los estudiantes y permitirles comprender rápidamente los conocimientos básicos involucrados en los problemas matemáticos. Esta es la clave para que los estudiantes puedan resolver. Problemas difíciles en el examen de matemáticas de la escuela secundaria.
Palabras clave: habilidades para resolver problemas, asociación, captar la esencia del problema
Cada año, en el examen de matemáticas de la escuela secundaria, las preguntas del examen generalmente se dividen en preguntas fáciles (básicas). preguntas), preguntas intermedias y preguntas difíciles. En los exámenes recientes de matemáticas de la escuela secundaria, las preguntas difíciles generalmente representan más de una cuarta parte de la puntuación total del examen. Es difícil para los estudiantes que no resuelven los problemas difíciles lograr buenos resultados en el examen.
Los principales problemas en el examen de matemáticas de la escuela secundaria son los siguientes: 1. Preguntas que requieren cierta profundidad de pensamiento o fuertes habilidades. 2. Preguntas con nuevos significados o nuevas ideas para resolverlas. 3. Preguntas matemáticas exploratorias o abiertas.
Se requieren diferentes estrategias de enseñanza para diferentes tipos de preguntas. No importa qué tipo de preguntas de matemáticas se resuelvan, se requiere que los estudiantes tengan ciertos conocimientos básicos de matemáticas y habilidades básicas de resolución de problemas (mejor comprensión de los conceptos matemáticos). Comprender, comprender las fórmulas de los teoremas, comprender las demostraciones de las fórmulas de los teoremas; ser capaz de resolver rápida y hábilmente preguntas básicas que utilizan directamente fórmulas de teoremas), por lo que es necesario realizar una capacitación de "doble base" para los estudiantes. Por supuesto, la primera etapa de revisión para los graduados de la escuela secundaria implica una formación de "doble base", pero el efecto de la revisión sólo será bueno si los estudiantes pueden profundizar su comprensión de los conocimientos matemáticos y fortalecer sus habilidades básicas.
Algunos profesores creen que para el repaso general de toda la clase basta con repasar sólo las preguntas intermedias, y no es necesario repasar las preguntas difíciles. Aquellos alumnos con buena inteligencia lo harán si no lo hacen. No les ayude a repasar, y aquellos con poca inteligencia lo harán. Es una pérdida de tiempo para usted enseñar a los estudiantes. De hecho, incluso si los estudiantes tienen ciertos conocimientos matemáticos y habilidades básicas para resolver problemas, es posible que no puedan resolver problemas difíciles. Esto se debe a que van desde los conocimientos básicos de matemáticas hasta las respuestas a las preguntas difíciles en el ingreso a la escuela secundaria. examen, o se requiere que la profundidad del pensamiento sea la profundidad del pensamiento de los estudiantes superiores. No es suficiente, o la idea es muy nueva: los estudiantes nunca han estado expuestos a ella. Sin embargo, años de práctica por parte de muchos maestros experimentados que se graduaron de la escuela secundaria han demostrado que es necesario realizar una revisión especial de los problemas difíciles, siempre que la revisión se haga bien, tendrá un mayor efecto en la mejora de la capacidad de la escuela secundaria. y superiores a los estudiantes para resolver problemas difíciles. En este sentido, en la segunda etapa de revisión, necesitamos entrenar la capacidad de pensamiento de los estudiantes y ampliar sus ideas para problemas difíciles. Por supuesto, este tipo de formación también debe basarse en la situación de los "dobles conceptos básicos" de los estudiantes y los tipos de preguntas matemáticas. Este tipo de formación debe prestar atención a la selección de preguntas, no sólo para el examen general, sino también para el examen general. Las deficiencias de pensamiento de los estudiantes. Es necesaria una cierta cantidad de entrenamiento, pero se debe dar suficiente tiempo para que los estudiantes reflexionen y resuman sus métodos e ideas de resolución de problemas. Sólo reflexionando y resumiendo más se pueden mejorar las habilidades de resolución de problemas de los estudiantes. . Los profesores deben prestar atención a la orientación y no pueden reemplazar las ideas de los estudiantes con las suyas propias, porque el método de resolución de problemas de todos puede no ser el mismo.
En el pasado, algunos profesores de la promoción de tercer grado de la escuela secundaria utilizaban preguntas de simulación de varias regiones para entrenar a los estudiantes en rondas durante su revisión para el examen de ingreso a la universidad. Después de practicar y enseñar, los maestros y. Los estudiantes estaban muy emocionados. Es un trabajo duro, pero el efecto no es muy satisfactorio. Esto se debe a que este método de revisión táctica del mar de preguntas no enseña a los estudiantes de acuerdo con sus aptitudes. habilidades, capacidad de pensamiento y tipos de preguntas matemáticas. Los estudiantes no reflejan la subjetividad del aprendizaje y no tienen tiempo suficiente para resumir y reflexionar. Por lo tanto, las habilidades de resolución de problemas y de pensamiento de los estudiantes no han mejorado realmente.
Algunos profesores sienten que las preguntas difíciles del examen son difíciles y las preguntas del examen son nuevas y difíciles de alcanzar. La revisión especial de preguntas difíciles es para practicar las preguntas difíciles en el examen general de este año y las preguntas del examen simulado en varias regiones y regiones de ese año. Este tipo de revisión basada en temas también es difícil de mejorar sustancialmente la capacidad de los estudiantes para resolver problemas difíciles.
El propósito del proponente de las preguntas del examen de la asociación de matemáticas de la escuela secundaria es evaluar el dominio de los conocimientos básicos de matemáticas de la escuela secundaria por parte de nuestros graduados de la escuela secundaria. Por supuesto, las preguntas del examen son inseparables. desde los conocimientos básicos de la escuela secundaria. El llamado problema son sólo unas pocas capas de velo, lo que nos dificulta ver su verdadera cara. La tarea de nuestros profesores es enseñar a nuestros estudiantes a descubrir esos velos aparentemente misteriosos y captar sus verdaderos colores. Cheng Yaojin puede ganar en el campo de batalla con tres ejes. Nuestros estudiantes dominan todos los conocimientos básicos de las matemáticas de la escuela secundaria y tienen ciertas habilidades para la resolución de problemas. Siempre que guiemos y capacitemos a los estudiantes adecuadamente, nuestros estudiantes definitivamente podrán desempeñarse. bien en la sala de examen para ganar.
La clave es que nuestra capacitación de revisión para estudiantes puede permitirles integrar conocimientos y fortalecer las habilidades de resolución de problemas de los estudiantes. Al mismo tiempo, la orientación adecuada de nuestros maestros, la reflexión y el resumen de los estudiantes después de la capacitación. y su comprensión independiente de la construcción del conocimiento, para captar la esencia de varios problemas matemáticos: la conexión con el conocimiento básico de las matemáticas de la escuela secundaria.
Al revisar problemas difíciles, la atención debe centrarse en capacitar a los estudiantes para que comprendan la conexión entre los problemas matemáticos y los conocimientos básicos y guiarlos para que analicen rápida y correctamente las ideas de resolución de problemas y cultiven el pensamiento intuitivo de los estudiantes. en la resolución de problemas. Los problemas deben clasificarse primero. Luego realice un entrenamiento de clasificación.
En clase, no es necesario que los estudiantes escriban en detalle el proceso de resolución de problemas para cada pregunta. Para un tipo de pregunta, simplemente escriba una o dos preguntas. Para otras preguntas, los estudiantes solo deben escribir su problema. resolver ideas rápidamente y luego escribir el proceso detallado de resolución de problemas cuando regresen.
Creo que los problemas difíciles en el examen de ingreso a la escuela secundaria se pueden dividir en las siguientes categorías para una revisión especial:
Categoría 1: Problemas que están estrechamente relacionados con uno o dos conocimientos. puntos:
Ejemplo 1 Como se muestra en la figura, en ⊙O, C es el punto medio del arco AB, D es cualquier punto del arco AC (no coincide con D C los puntos A y C), entonces ( ) A
(A) AC CB=AD DB (B) AC CBlt; AD DB
(C) AC CBgt; DB no está seguro
Orientación docente: ¿Cuál es el conocimiento relacionado con la comparación del tamaño de segmentos de línea? (La suma de dos lados cualesquiera de un triángulo es mayor que el tercer lado o el lado mayor es opuesto al ángulo mayor, etc.)
Cómo combinar AC CB y AD DB en un triángulo para comparar sus tallas?
Método de solución adjunto: con C como centro y CB como radio, dibuje una línea de extensión del arco que interseque a BD en el punto E para conectar AE, CE y AB.
∵CE=CB ∴∠ CEB=∠CBE y ∠DAC=∠CBE
∴∠CEB=∠CAD y CA=CE, entonces ∠CEA=∠CAE
∴∠ CEA-∠CEB=∠CAE- ∠CAD
∴∠DEA=∠DAE
∴DE=DA
En △CEB, CE CBgt es; AC CBgt; AD DB. Por lo tanto, elija (C).
Comentarios: La clave para enseñar este ejemplo es guiar a los estudiantes a construir los segmentos de línea AC, CB, AD y DB en un triángulo.
Ejemplo 2 Se sabe que: ⊙O1 y ⊙O2 se cruzan en dos puntos A y B. Si PM corta a ⊙O1 en M, PN corta a ⊙O2 en N, y PMgt intenta apuntar. averiguar dónde está el punto P.
Orientación didáctica: (1) Primero haga un dibujo, intente juzgar e intente demostrarlo. (2) Mire varias situaciones posibles.
(3) Muestre la imagen de la derecha y pida a los estudiantes que señalen el rango del punto P (el punto P está a un lado de ⊙O2
de la línea recta AB y afuera ⊙O2). Los estudiantes señalan Después de señalar el rango de P, pida a los estudiantes
que lo demuestren (4) Cuando los estudiantes tengan dificultades para demostrarlo, déles sugerencias: ¿Qué se puede probar si el punto P está en el? recta AB? (PM=PN), ¿cómo demostrarlo?
(Utilice el teorema de la línea de corte: PM2=PA*PB, PN2=PA*PB, por lo tanto, PM=PN) ¿Se puede aplicar ahora el teorema de la línea de corte para demostrar PMgt;
(5) Cuando los estudiantes aún no puedan demostrarlo, dé una pista:
Conecte PB, cruce ⊙O1 en el punto C, cruce ⊙O2 en D y use el teorema de la línea de corte.
(Prueba: PM2=PC*PB, PN2=PD*PB, porque PCgt; PD, entonces PC*PBgt; PD*PB, es decir, PM2gt; PN2, entonces PMgt; PN)
(6) ¿Existen otras situaciones? (Guíe a los estudiantes para que encuentren las siguientes dos situaciones: Figura 2 y Figura 3, y pídales que señalen el rango del punto P y hagan una prueba)
Comentario: La clave de esta pregunta es guiar a los estudiantes utilizar el teorema de la línea de corte para demostrar y realizar discusiones clasificadas.
Para este tipo de problemas difíciles, la clave de la enseñanza es guiar a los estudiantes para que sigan de cerca los puntos de conocimiento relacionados con el tema hasta que se resuelva el problema.
Categoría 2: Problemas que integran múltiples puntos de conocimiento o requieren ciertas habilidades de resolución de problemas para resolverlos.
La clave para enseñar problemas tan difíciles requiere que los estudiantes utilicen métodos analíticos e integrales, algunas ideas y métodos matemáticos y ciertas habilidades de resolución de problemas para resolverlos.
Ejemplo 1 En el triángulo ABC, el punto I es el punto central, la recta BI, CI cortan a AC, AB está en D, E. Se sabe que ID=IE.
Verificación: ∠ABC= ∠BCA, o ∠A=60°.
Consejos didácticos: En esta pregunta se debe utilizar el método de análisis y síntesis, y analizarlo desde dos direcciones: condiciones y conclusiones. Del análisis condicional, como ID=IE e I es el corazón, se puede deducir que △AID y △AIE son iguales en ambos lados. Hay dos posibilidades: AD=AE o AD≠AE,
De esto se puede deducir la relación entre ∠ADI y ∠AEI. A partir del análisis de conclusiones, para probar la conclusión de la pregunta, necesitamos descubrir la relación entre ∠ABC y ∠ACB, ∠ADI=1/2∠ABC ∠ACB y ∠AEI=1/2∠ACB ∠ABC. A partir de las dos condiciones y conclusiones del análisis de aspectos, siempre que encontremos la relación entre ∠AEI y ∠ADI, podemos probar esta pregunta.
Adjunto el proceso de prueba: Conectando AI, en △AID y △AIE, hay dos situaciones posibles para el tamaño de AD y AE: AD=AE, o AD≠AE.
( 1) Si AD=AE, entonces △AID≌△AIE, existe ∠ADI=∠AEI.
Y ∠ADI=1/2∠ABC ∠ACB, ∠AEI=1/2 ∠ACB ∠ABC .
Por lo tanto, 1/2∠ABC ∠ACB=1/2∠ACB ∠ABC.
Es decir, ∠ABC=∠ACB.
(2) Si AD≠AE, entonces deje ADgt; AE, intercepte AE'=AE en AD y conecte IE'. Entonces △AIE'≌△AIE.
Por lo tanto, ∠AE'I=∠AEI'=IE=ID.
Por lo tanto, △IDE' es un triángulo isósceles,
Entonces existe ∠E'DI=∠DE'I.
Porque ∠AE'I ∠DE'I=180°,
Por lo tanto, ∠AEI ∠ AIE=180°.
Por lo tanto, (1/2∠ACB ∠ABC) (1/2∠ABC ∠ACB)=180°.
Por lo tanto, ∠ABC ∠ACB=120°,
Por lo tanto, ∠A=180°-120°=60°.
Si ADlt; AE, se puede demostrar mediante la misma lógica que ∠A=60°.
Ejemplo 2 Como se muestra en la figura, AB es el diámetro de ⊙O, AE biseca ∠BAF y cruza ⊙O en el punto E. Dibuje una línea recta que pase por el punto E perpendicular a AF, cruce la línea de extensión punto D de AF, y intersecta AB La línea de extensión de está en el punto C.
(1) Verifique: CD y ⊙O son tangentes al punto E.
(2) Si CE*DE=15/4, AD= 3. Encuentra el diámetro de ⊙O y la tangente de ∠AED.
Orientación didáctica: (1) Demuestre OE⊥CD.
(2) Si se requiere el diámetro de ⊙O, primero puede encontrar el radio OE.
Debido a que OE∥ AD, entonces OE/AD=CO/CA, AD=3, CO, CA están relacionados con BC, OB, AB (radio, diámetro de ⊙O).
Por lo tanto, si encuentras BC, puedes encontrar OE. ¿Cómo encontrar BC? ¿Podemos utilizar la condición CE*DE=15/4?
Deje que los estudiantes exploren.
Adjunto proceso de solución: (1) Omitido.
(2) Trazar DG∥AC a través del punto D e intersectar AE
Extiende la línea en el punto G y conecta BE y OE, luego ∠BAG=∠G, ∠C=∠EDG.∵CD y ⊙O Tangente al punto E,
∴∠BEC=∠BAG.
∴∠BEC=∠G ∴△BEC∽△EGD. /p>
∴CB*DG=DE*CE.
∵∠BAG=∠DAG=∠G. CB=5/4.
De (1), obtenemos OE∥AD, ∴CO/CA=OE/AD Supongamos que OE=x (xgt; 0), luego CO=5/4 x. = (5 4x)/4,
CA=5/4 2x= (5 8x)/4, ∴ (5 4x)/(5 8x)=x/3 Organizar a 8x2-7x-. 15 =0 Resuelva para obtener x1=-1 (caída), x2=15/8 El diámetro de ∴⊙O es 15/4, ∴CA=CB BA=5. =CB*CA= 25/4, ∴CE=5/2, ∴DE=15/4*1/CE=3/2.
En Rt△ADE, tan∠AED=AD/DE =2.
El tercer tipo de problemas matemáticos exploratorios abiertos.
Ya sea que se trate de un problema matemático exploratorio o abierto, el objetivo de la enseñanza es enseñar a los estudiantes la clave para comprender el problema.
Ejemplo 1 Por favor escribe la expresión analítica de una función cuadrática cuya imagen solo pasa por el segundo, tercer y cuarto cuadrante.
Consejos didácticos: La gráfica de una función cuadrática solo pasa por el segundo, tercer y cuarto cuadrante, pero no puede pasar por el primer cuadrante, es decir, cuando xgt 0, ylt; tipo de expresión analítica La función secundaria debe tener xgt 0, ¿qué pasa con ylt 0? Éste es el núcleo del problema.
(Respuesta: cuando a, b, c en la función cuadrática y=ax2 bx c son todos negativos, debe haber xgt; 0, ylt; 0, como por ejemplo: y=-x2-2x- 3)
Ejemplo 2 Conocido: Como se muestra en la figura, AB y AC son las dos cuerdas de ⊙O. Y AB=AC=1,
∠BAC=120°, P es cualquier punto del arco superior BC,
(1) Verificación: PA biseca ∠BPC,
(2) Si la longitud de PA es m, encuentre el perímetro del cuadrilátero PBAC,
(3) Si el punto P se mueve en el arco superior BC, ¿existe una determinada posición P como que S△PAC=2S△PAB? En caso afirmativo, pruebe; en caso contrario, explique el motivo.
Orientación docente: (2) Debido a que AB=AC=1, PA=m, de (1) se puede demostrar que ∠APB=∠APC=30°, por lo tanto, ∠AOB=60° entonces OA=OB =AB=1, y AP=m, con A como centro y m como radio, generalmente habrá dos puntos de intersección cuando un arco corta el círculo (si m=2 y AP es el diámetro del círculo , solo habrá un punto de intersección). Por lo tanto, PB y PC cambian, pero solo cambian dos posiciones, y PB PC debe permanecer sin cambios. Al encontrar PB PC, puedes encontrar el perímetro del cuadrilátero PBAC. Combinar PB y PC para encontrarlo es la clave de este problema. (3) La clave de este problema es cómo determinar el punto P. Esto se puede deducir de la relación de área entre el triángulo PAC y el triángulo PAB. P
(Puntos clave para resolver el problema: (1) Omitido.
(2) Extienda PC a P', haga CP'=BP, conecte BC, encuentre BC, pruebe △PAB≌△P'AC, obtenga AP'=AP, pruebe △ABC∽△APP', use la proporción correspondiente lados La relación se puede calcular como PP', que es PB PC (3) Conecte BC y PA en el punto G, pase B para hacer BM⊥PA, pase C para hacer CN⊥PA, y los pies verticales son M y N. respectivamente, demuestre que △BGM∽△CGN, obtenemos BG/CG=BM/CN=S△PAB/S△PAC=1/2 Por lo tanto, la intersección del rayo y ⊙O a través del punto A y el punto G es la. posición del punto P que cumple las condiciones de la pregunta. )
El cuarto tipo de pregunta nueva (un tipo de pregunta que solo ha aparecido en los exámenes de ingreso a la escuela secundaria en todo el país en los últimos años)
No importa cuán nueva sea la secundaria Los tipos de preguntas del examen de ingreso a la escuela son inseparables del conocimiento básico de la escuela secundaria, por lo que la clave para resolver este tipo de preguntas es encontrar el conocimiento básico relacionado con la pregunta a partir del significado de la pregunta y luego usar la información relevante. Conocimientos básicos para encontrar una solución al problema mediante el análisis, la síntesis, la comparación y la asociación.
Ejemplo 1 Como se muestra en la Figura 1, el pentágono ABCDE es un diagrama esquemático de un terreno contratado por el tío Zhang hace diez años. Después de años de recuperación de terrenos baldíos, ahora se ha convertido en un ABCMNE hexagonal como se muestra en la Figura 1, pero el camino divisorio entre terrenos contratados y terrenos baldíos recuperados (es decir, la polilínea CDE en la Figura 1) permanece. El tío Zhang quiere construir un camino recto en el punto E. Una vez construido el camino recto, el área de terreno en el lado izquierdo del camino recto debe mantenerse tanto como cuando se contrató, y el área de terreno en el lado derecho debe ser tanto como el terreno baldío recuperado. Utilice conocimientos de geometría relevantes para diseñar un plan de construcción de carreteras de acuerdo con los requisitos del tío Zhang. (Excluyendo el área de caminos limítrofes y caminos rectos)
(1) Escriba el plan de diseño y dibuje los gráficos correspondientes en la Figura 2;
(2) Explique el diseño del plan razón.
Orientación docente:
Como se muestra en la Figura 2, traté de hacer una línea recta EHF desde E, cruzar CD a H y cruzar CM a F. Según el significado de En la pregunta, el área de EABCF = El área de EABCD y el área de EDCMN = el área de EFMN (cumpliendo con los requisitos del tío Zhang). Es decir, el área del triángulo EHD = el área del triángulo CHF. ¿Cuáles son las condiciones para esto? (Respuesta: Conecte EC, cruce D para formar DF∥EC y cruce CM en el punto F. EF es el lugar donde el tío Zhang quiere construir la carretera).
Comentarios: Esta pregunta es una pregunta de aplicación práctica , y su conocimiento básico relacionado es Algunas propiedades del trapezoide: Como se muestra en la siguiente figura,
En el trapezoide ABCD, AB∥CD, el área del triángulo ADC = el área de al triángulo BCD, restarle el área del triángulo CDO, es decir, el área del triángulo ADO = el triángulo El área del BCO. Ser capaz de asociar estos conocimientos es la clave para solucionar este problema.
Ejemplo 2 Los chips de CPU de computadora están hechos de un material llamado "silicio monocristalino". El material de silicio monocristalino sin cortar es una oblea delgada llamada "oblea". Ahora, para producir un determinado chip de CPU, se necesitan varias pequeñas obleas de silicio cuadradas con una longitud y un ancho de 1 cm. Si el diámetro de la oblea es de 10,05 cm, ¿se pueden cortar de esta oblea 66 pequeñas obleas de silicio del tamaño requerido? Describa su enfoque y justificación. (Excluyendo pérdidas por corte)
Orientación docente: todos pueden responder esta pregunta, pero deben cortarse en un orden determinado para obtener la respuesta correcta.
Método: (1) Primero, coloque 10 cuadrados pequeños en una fila.
Piense en ello como un rectángulo largo, este rectángulo puede caber en el diámetro de 10,05 cm dentro del círculo. , rectángulo ABCD en la figura.
∵AB=1, BC=10,
∴Diagonal AC2=102 12=100 1=101lt.
De esta manera, las dos filas de cuadrados pequeños recién agregadas junto con parte de ABCD pueden considerarse como un rectángulo EFGH, con una longitud de 9, una altura de 3 y una diagonal EG2=92 32 =81 9=90lt; 10.052. Pero las dos filas de cuadrados pequeños recién agregadas no pueden ser 10 en cada fila, porque 102 32=100 9gt; 52=64 25=89lt; 10.052, y 92 52=81 25=106gt; 10.052.
Por lo tanto, se pueden disponer 8 cuadrados pequeños más encima y debajo del rectángulo EFGH, por lo que ahora hay 5 capas de pequeños cuadrados.
(4) Sobre la base del original, agregue otra capa hacia arriba y hacia abajo, hasta 7 capas. La altura del nuevo rectángulo se puede considerar como 7, luego las dos filas recién agregadas, cada fila. Pueden ser 7 pero no 8.
∵72 72=49 49=98lt; 10.052
Y 82 72=64 49=113gt;
(5) Sobre la base de 7 capas Agregue otra capa arriba y abajo. La altura del nuevo rectángulo puede considerarse como 9, y cada fila puede ser 4, pero no 5. ∵42 92=16 81=97lt; 10.052, y 52 92=25 81=106gt; 10.052.
Ahora el *** total está dispuesto en 9 pisos, la altura llega a 9, y alrededor de 0.5 es Deje cm de espacio en la parte superior e inferior, porque la posición del rectángulo ABCD no se puede ajustar y no hay espacio para un cuadrado pequeño.
Por lo tanto, 10 2*9 2*8 2*7 2*4=66 (piezas).
Comentarios: La clave para resolver este problema es ① colocar pequeños cuadrados en filas y ② usar el conocimiento de que la diagonal del rectángulo inscrito de un círculo es el diámetro del círculo.