Cómo demostrar el teorema de Pitágoras (se requiere imagen)
Existe un teorema muy importante en trigonometría. En nuestro país lo llama teorema de Pitágoras, también conocido como teorema de Shang-Gao. Porque "Zhou Bi Suan Jing" mencionó que Shang Gao dijo "enganche tres hilos, cuatro hilos y cinco". Varias de estas pruebas se presentan a continuación.
La prueba original era del tipo dividida. Sean a y b los lados rectángulos de un triángulo rectángulo y c la hipotenusa. Considere los dos cuadrados A y B en la siguiente figura con longitudes de lados a+b. Divida A en seis partes y B en cinco partes. Dado que ocho triángulos rectángulos pequeños son congruentes, al restar cantidades iguales de cantidades iguales, podemos deducir que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados derechos. El cuadrilátero en B aquí es un cuadrado con longitud de lado c porque la suma de los tres ángulos interiores de un triángulo rectángulo es igual a dos ángulos rectos. El método de prueba anterior se llama método de prueba de congruencia por resta. La imagen B es la "imagen de cuerda" del "Zhou Bi Suan Jing" de mi país.
La imagen de abajo es H. La prueba dada por Perigal en 1873 es una prueba de congruencia aditiva. De hecho, esta prueba fue redescubierta porque este método de división ya era conocido por labitibn Qorra (826-901). (Por ejemplo: la imagen de la derecha) La siguiente prueba fue dada por S.E. Dudeney en 1917. También utiliza un método de prueba de congruencia aditiva.
Como se muestra en la figura de la derecha, el área del cuadrado con longitud de lado b más el área del cuadrado con longitud de lado a es igual al área del cuadrado con longitud del lado c.
Se dice que el método de prueba de la figura siguiente fue diseñado por Leonardo da Vinci (da Vinci, 1452～1519) y utiliza el método de prueba de congruencia por resta.
Euclides dio una demostración extremadamente inteligente del Teorema de Pitágoras en la Proposición 47 del Volumen 1 de sus Elementos, como se muestra en la imagen de la página siguiente. Debido a los hermosos gráficos, algunas personas lo llaman "el turbante del monje", mientras que otros lo llaman "la silla de manos de la novia", lo cual es realmente interesante. El profesor Hua Luogeng sugirió una vez enviar esta imagen al universo para comunicarse con los "extraterrestres". El esquema de la prueba es:
(AC)2=2△JAB=2△CAD=ADKL.
De manera similar, (BC)2=KEBL
Entonces
(AC)2+(BC)2=ADKL+KEBL=(BC)2< / p>
El matemático y astrónomo indio Bhaskara (activo alrededor de 1150) dio una maravillosa demostración del teorema de Pitágoras, que también es una prueba segmentada. Como se muestra en la siguiente imagen, divide el cuadrado de la hipotenusa en cinco partes. Cuatro de las partes son triángulos que son congruentes con el triángulo rectángulo dado; una parte es un cuadrado pequeño y la diferencia entre los dos lados rectángulos es la longitud del lado. Es fácil volver a juntar las cinco partes para obtener la suma de los cuadrados con dos lados rectángulos. De hecho,
Bashikara también dio un método de prueba como se muestra a continuación. Dibuja la altura de la hipotenusa del triángulo rectángulo para obtener dos pares de triángulos semejantes, de modo que
c/b=b/m,
c/a=a/n,
c/a=a/n,
p>
cm=b2
cn=a2
Agrega ambos lados obtener
a2+b2=c(m+n)=c2
p>Esta prueba fue demostrada en el siglo XVII por el matemático británico J. Redescubierto por Wallis (1616～1703).
Varios presidentes estadounidenses tienen conexiones sutiles con las matemáticas. G. Washington fue una vez un famoso topógrafo. T. Jefferson había promovido vigorosamente la educación matemática superior en los Estados Unidos. A. Lincoln aprendió lógica estudiando los Elementos de Euclides. Aún más creativo fue el decimoséptimo presidente J. A. Garfield (1831～1888) tenía un gran interés y un talento extraordinario en las matemáticas elementales cuando era estudiante. En 1876 (cuando era miembro de la Cámara de Representantes y cinco años más tarde elegido Presidente de los Estados Unidos) dio una hermosa demostración del Teorema de Pitágoras, que se publicó en el New England Journal of Education. La idea de la prueba es utilizar las fórmulas de áreas de trapecios y triángulos rectángulos. Como se muestra en la imagen de la página siguiente, es un trapecio rectángulo compuesto por tres triángulos rectángulos. Usa diferentes fórmulas para encontrar la misma área
Es decir
a2+2ab+b2=2ab+c2
a2+b2=c2
Este tipo de demostración suele ser de interés para los estudiantes de secundaria cuando aprenden geometría.
Hay muchas formas ingeniosas de demostrar este teorema (se dice que hay casi 400 tipos). Aquí se presentan algunas a los estudiantes. Todas se demuestran utilizando el método del rompecabezas.
Prueba 1 Como se muestra en la Figura 26-2, dibuja los cuadrados ABDE, ACFG y BCHK fuera del triángulo rectángulo ABC. Sus áreas son c2, b2 y a2 respectivamente. Sólo nos falta demostrar que el área del cuadrado grande es igual a la suma de las áreas de los dos cuadrados pequeños.
Cruza C con CM‖BD, cruza AB con L y conecta BC y CE.
Porque
AB=AE, AC=AG ∠CAE=∠BAG,
Entonces △ACE≌△AGB
SAEML=SACFG (1)
El mismo método puede probar
SBLMD=SBKHC (2)
(1)+(2), obtenemos
SABDE=SACFG+ SBKHC,
Es decir, c2=a2+b2
Prueba 2 Como se muestra en la Figura 26-3 (diagrama de Zhao Junqing), se utilizan ocho triángulos rectángulos ABC para formar un cuadrado grande CFGH su longitud de lado es a+b, hay un cuadrado inscrito ABED dentro de él, su longitud de lado es c, como se puede ver en la figura.
SCFGH=SABED+4×SABC,
Entonces a2+b2=c2
El método de prueba 3 se muestra en la Figura 26-4 (diagrama de Mei Wending) .
Construye un cuadrado ABDE hacia afuera sobre la hipotenusa AB del ángulo recto △ABC, y un cuadrado ACGF sobre el ángulo recto AC. Se puede probar (omitir) que extender GF debe pasar E; extender CG a K de modo que GK=BC=a, conectar KD y construir DH⊥CF en H, entonces DHCK es un cuadrado con una longitud de lado a. Supongamos
el área del pentágono ACKDE = S
Por un lado,
S = el área del cuadrado ABDE + 2 veces el área de △ABC
=c2+ab (1)
Por otro lado,
S=área del cuadrado ACGF+área del cuadrado DHGK
+2 veces el área de △ABC
p>=b2+a2+ab (2)
De ( 1), (2) obtenemos
c2=a2+b2
Prueba 4 Como se muestra en la Figura 26-5 (diagrama de Xianmingda), dibuje un cuadrado ABDE en la hipotenusa del triángulo rectángulo ABC, y luego use los dos lados rectángulos CA y CB del triángulo rectángulo ABC como base para completar un cuadrado con longitud de lado b BFGJ (Figura 26-5). Se puede probar (omitir) que la línea de extensión de GF debe pasar por D. Extienda AG a K de modo que GK=a, y deje EH⊥GF en H, entonces EKGH debe ser un cuadrado con una longitud de lado igual a a.
Supongamos que el área del pentágono EKJBD es S. Por un lado
S=SABDE+2SABC=c2+ab (1)
Por otro lado,
S=SBEFG+2?S△ ABC+SGHFK
=b2+ab+a2
El argumento se extrae de (1) y (2)
son todo basado en el área Verificar: Un área grande es igual a la suma de varias áreas pequeñas. Use diferentes representaciones de la misma área para obtener la ecuación y luego simplifique para obtener el teorema de Pitágoras) Como se muestra en la figura = a2
Suma ambos lados para obtener
a2+b2 =c(m +n)=c2
Esta demostración fue dada por el matemático británico J. Redescubierto por Wallis (1616～1703).
Varios presidentes estadounidenses tienen conexiones sutiles con las matemáticas. G. Washington fue una vez un famoso topógrafo. T. Jefferson había promovido vigorosamente la educación matemática superior en los Estados Unidos. A. Lincoln aprendió lógica estudiando los Elementos de Euclides. Aún más creativo fue el decimoséptimo presidente J. A. Garfield (1831～1888) tenía un gran interés y un talento extraordinario en las matemáticas elementales cuando era estudiante. En 1876 (cuando era miembro de la Cámara de Representantes y cinco años más tarde elegido Presidente de los Estados Unidos) dio una hermosa demostración del Teorema de Pitágoras, que se publicó en el New England Journal of Education. La idea de la prueba es utilizar las fórmulas de áreas de trapecios y triángulos rectángulos. Como se muestra en la imagen de la página siguiente, es un trapecio rectángulo compuesto por tres triángulos rectángulos. Usa diferentes fórmulas para encontrar la misma área
Es decir
a2+2ab+b2=2ab+c2
a2+b2=c2
Este tipo de demostración suele ser de interés para los estudiantes de secundaria cuando aprenden geometría.
Hay muchas formas ingeniosas de demostrar este teorema (se dice que hay casi 400 tipos). Aquí se presentan algunas a los estudiantes. Todas se demuestran utilizando el método del rompecabezas.
Prueba 1 Como se muestra en la Figura 26-2, dibuja los cuadrados ABDE, ACFG y BCHK fuera del triángulo rectángulo ABC. Sus áreas son c2, b2 y a2 respectivamente. Sólo nos falta demostrar que el área del cuadrado grande es igual a la suma de las áreas de los dos cuadrados pequeños.
Cruza C con CM‖BD, cruza AB con L y conecta BC y CE.
Porque
AB=AE, AC=AG ∠CAE=∠BAG,
Entonces △ACE≌△AGB
SAEML=SACFG (1)
El mismo método puede probar
SBLMD=SBKHC (2)
(1)+(2), obtenemos
SABDE=SACFG+ SBKHC,
Es decir, c2=a2+b2
Prueba 2 Como se muestra en la Figura 26-3 (diagrama de Zhao Junqing), se utilizan ocho triángulos rectángulos ABC para formar un cuadrado grande CFGH su longitud de lado es a+b, hay un cuadrado inscrito ABED dentro de él, su longitud de lado es c, como se puede ver en la figura.
SCFGH=SABED+4×SABC,
Entonces a2+b2=c2
El método de prueba 3 se muestra en la Figura 26-4 (diagrama de Mei Wending) .
Construye un cuadrado ABDE hacia afuera sobre la hipotenusa AB del ángulo recto △ABC, y un cuadrado ACGF sobre el ángulo recto AC. Se puede probar (omitir) que extender GF debe pasar E; extender CG a K de modo que GK=BC=a, conectar KD y construir DH⊥CF en H, entonces DHCK es un cuadrado con una longitud de lado a. Supongamos
el área del pentágono ACKDE = S
Por un lado,
S = el área del cuadrado ABDE + 2 veces el área de △ABC
=c2+ab (1)
Por otro lado,
S=área del cuadrado ACGF+área del cuadrado DHGK
+2 veces el área de △ABC
p>=b2+a2+ab (2)
De ( 1), (2) obtenemos
c2=a2+b2
Prueba 4 Como se muestra en la Figura 26-5 (diagrama de Xianmingda), dibuje un cuadrado ABDE en la hipotenusa del triángulo rectángulo ABC, y luego use los dos lados rectángulos CA y CB del triángulo rectángulo ABC como base para completar un cuadrado con longitud de lado b BFGJ (Figura 26-5). Se puede probar (omitir) que la línea de extensión de GF debe pasar por D. Extienda AG a K de modo que GK=a, y deje EH⊥GF en H, entonces EKGH debe ser un cuadrado con una longitud de lado igual a a.
Supongamos que el área del pentágono EKJBD es S. Por un lado
S=SABDE+2SABC=c2+ab (1)
Por otro lado,
S=SBEFG+2?S△ ABC+SGHFK
=b2+ab+a2
El argumento se extrae de (1) y (2)
son todo basado en el área Verificar: Un área grande es igual a la suma de varias áreas pequeñas. Use diferentes representaciones de la misma área para obtener la ecuación y luego simplifique para obtener el teorema de Pitágoras) Como se muestra en la figura = a2
Suma ambos lados para obtener
a2+b2 =c(m +n)=c2
Esta demostración fue dada por el matemático británico J. Redescubierto por Wallis (1616～1703).
Varios presidentes estadounidenses tienen conexiones sutiles con las matemáticas. G. Washington fue una vez un famoso topógrafo. T. Jefferson había promovido vigorosamente la educación matemática superior en los Estados Unidos. A. Lincoln aprendió lógica estudiando los Elementos de Euclides. Aún más creativo fue el decimoséptimo presidente J. A. Garfield (1831～1888) tenía un gran interés y un talento extraordinario en las matemáticas elementales cuando era estudiante. En 1876 (cuando era miembro de la Cámara de Representantes y cinco años más tarde elegido Presidente de los Estados Unidos) dio una hermosa demostración del Teorema de Pitágoras, que se publicó en el New England Journal of Education. La idea de la prueba es utilizar las fórmulas de áreas de trapecios y triángulos rectángulos. Como se muestra en la imagen de la página siguiente, es un trapecio rectángulo compuesto por tres triángulos rectángulos. Usa diferentes fórmulas para encontrar la misma área
Es decir
a2+2ab+b2=2ab+c2
a2+b2=c2
Este tipo de demostración suele ser de interés para los estudiantes de secundaria cuando aprenden geometría.
Hay muchas formas ingeniosas de demostrar este teorema (se dice que hay casi 400 tipos). Aquí se presentan algunas a los estudiantes. Todas se demuestran utilizando el método del rompecabezas.
Prueba 1 Como se muestra en la Figura 26-2, dibuja los cuadrados ABDE, ACFG y BCHK fuera del triángulo rectángulo ABC. Sus áreas son c2, b2 y a2 respectivamente. Sólo nos falta demostrar que el área del cuadrado grande es igual a la suma de las áreas de los dos cuadrados pequeños.
Cruza C con CM‖BD, cruza AB con L y conecta BC y CE.
Porque
AB=AE, AC=AG ∠CAE=∠BAG,
Entonces △ACE≌△AGB
SAEML=SACFG (1)
El mismo método puede probar
SBLMD=SBKHC (2)
(1)+(2), obtenemos
SABDE=SACFG+ SBKHC,
Es decir, c2=a2+b2
Prueba 2 Como se muestra en la Figura 26-3 (diagrama de Zhao Junqing), se utilizan ocho triángulos rectángulos ABC para formar un cuadrado grande CFGH su longitud de lado es a+b, hay un cuadrado inscrito ABED dentro de él, su longitud de lado es c, como se puede ver en la figura.
SCFGH=SABED+4×SABC,
Entonces a2+b2=c2
El método de prueba 3 se muestra en la Figura 26-4 (diagrama de Mei Wending) .
Construye un cuadrado ABDE hacia afuera sobre la hipotenusa AB del ángulo recto △ABC, y un cuadrado ACGF sobre el ángulo recto AC. Se puede probar (omitir) que extender GF debe pasar E; extender CG a K de modo que GK=BC=a, conectar KD y construir DH⊥CF en H, entonces DHCK es un cuadrado con una longitud de lado a. Supongamos
el área del pentágono ACKDE = S
Por un lado,
S = el área del cuadrado ABDE + 2 veces el área de △ABC
=c2+ab (1)
Por otro lado,
S=área del cuadrado ACGF+área del cuadrado DHGK
+2 veces el área de △ABC
p>=b2+a2+ab (2)
De ( 1), (2) obtenemos
c2=a2+b2
Prueba 4 Como se muestra en la Figura 26-5 (diagrama de Xianmingda), dibuje un cuadrado ABDE en la hipotenusa del triángulo rectángulo ABC, y luego use los dos lados rectángulos CA y CB del triángulo rectángulo ABC como base para completar un cuadrado con longitud de lado b BFGJ (Figura 26-5). Se puede probar (omitir) que la línea de extensión de GF debe pasar por D. Extienda AG a K de modo que GK=a, y deje EH⊥GF en H, entonces EKGH debe ser un cuadrado con una longitud de lado igual a a.
Supongamos que el área del pentágono EKJBD es S. Por un lado
S=SABDE+2SABC=c2+ab (1)
Por otro lado,
S=SBEFG+2?S△ ABC+SGHFK
=b2+ab+a2
El argumento se extrae de (1) y (2)
son todo basado en el área Verificar: Un área grande es igual a la suma de varias áreas pequeñas. Utilice diferentes representaciones de la misma área para obtener la ecuación y luego simplifíquela para obtener el teorema de Pitágoras (Ver /21010000/vcm/0720ggdl.doc
El teorema de Pitágoras es uno de los teoremas con más). Métodos de demostración en matemáticas. Uno: ¡hay más de cuatrocientas formas de demostrarlo! Pero la primera prueba registrada, el método de Pitágoras, se ha perdido. El método de prueba más antiguo disponible actualmente pertenece al antiguo matemático griego Euclides. Su demostración fue en forma de razonamiento deductivo y quedó registrada en la obra maestra de matemáticas "Elementos de geometría". Entre los antiguos matemáticos chinos, la primera persona en demostrar el teorema de Pitágoras fue Zhao Shuang, un matemático del estado de Wu durante el período de los Tres Reinos. Zhao Shuang creó un "Diagrama de círculo y cuadrado de Pitágoras" y dio una prueba detallada del teorema de Pitágoras combinando números y formas. En este "Diagrama del cuadrado pitagórico", el cuadrado ABDE obtenido con la cuerda como longitud del lado se compone de 4 triángulos rectángulos iguales más el cuadrado pequeño en el medio. El área de cada triángulo rectángulo es ab/2; la longitud del lado del cuadrado pequeño en el medio es b-a, por lo que el área es (b-a) 2. Entonces podemos obtener la siguiente fórmula: 4×(ab/2)+(b-a) 2 =c 2 Después de la simplificación, podemos obtener: a 2 +b 2 =c 2 Es decir: c= (a 2 +b 2 ) (1/2) La prueba de Zhao Shuang es única y muy innovadora. Utilizó el truncamiento, el corte, la ortografía y el complemento de figuras geométricas para demostrar la relación de identidad entre expresiones algebraicas, que es a la vez rigurosa e intuitiva. Proporcionó la base para que la antigua China demostrara números, unificara formas y números, y combinara estrechamente el álgebra y el álgebra. La geometría es un estilo único e inseparable del otro. La siguiente URL es el "Diagrama cuadrado pitagórico" de Zhao Shuang: /catchpic/0/01/01F9D756BE31CE31F761A75CACC1410C.gif La mayoría de los matemáticos posteriores heredaron este estilo y lo desarrollaron, pero la división, unión, desplazamiento y complemento de los gráficos específicos son ligeramente diferentes. . Por ejemplo, cuando Liu Hui demostró el teorema de Pitágoras más tarde, también utilizó el método de prueba formal de números. Liu Hui utilizó el "método complementario de entrada y salida", es decir, el método de prueba de cortar y pegar. Ciertas áreas del cuadrado con Pitágoras como lado lo recortan (fuera) y lo mueven al área en blanco del cuadrado con la cuerda como lado (hacia adentro). El resultado es que simplemente se llena. se resuelve completamente utilizando el método del diagrama. La siguiente URL es la "Imagen de entrada de Green y Zhu" de Liu Hui: /catchpic/A/A7/A7070D771214459D67A75E8675AA4DCB.gif
El teorema de Pitágoras se utiliza ampliamente.
Otro libro antiguo del Período de los Reinos Combatientes en mi país, "Doce notas a la posdata de la historia del camino", contiene este registro: "Yu controlaba las inundaciones y cortaba los ríos. Observaba las formas de las montañas y ríos, determinó las tendencias altas y bajas, eliminó desastres monstruosos y dirigió las aguas hacia el Mar de China Oriental. No hay peligro de ahogamiento, por lo que este fenómeno pitagórico está relacionado con la vida "El significado de este pasaje es que para. Para controlar las inundaciones, Dayu hizo que los ríos fluyeran incontrolablemente. Determinó la dirección del flujo de agua de acuerdo con la altura del terreno y aprovechó la situación para hacer que la inundación fluyera hacia el mar, ya no habrá desastres por inundaciones. es el resultado de aplicar el teorema de Pitágoras.
El Teorema de Pitágoras es muy utilizado en nuestra vida.