Libro de Matemáticas Junior Volumen 1 Desigualdades y grupos de desigualdad (desigualdades y sus conjuntos de soluciones)

Capítulo 8: Desigualdades de primer grado de una variable

----Revisión especial

Resumen de este capítulo

1. En En este capítulo hemos aprendido sobre las desigualdades. Se estudian las propiedades de las desigualdades. Aprendí a usar las propiedades de las desigualdades para resolver desigualdades lineales (grupos) de una variable, expresar el conjunto solución de desigualdades lineales de una variable en el eje numérico y usar el eje numérico para obtener intuitivamente el conjunto solución del grupo de desigualdades lineales. de una variable.

2. El conocimiento de las desigualdades proviene de la realidad de la vida. Debemos aprender a analizar la relación desigual entre cantidades en problemas prácticos, abstraer las desigualdades (grupos) y utilizar las desigualdades obtenidas (grupos). resolver problemas prácticos.

3. El proceso de resolver desigualdades lineales de una variable es similar a resolver ecuaciones lineales de una variable. Incluye los siguientes pasos: (1) eliminar denominadores; (2) eliminar corchetes; (3) mover términos; (4) fusionar términos similares; Al resolver desigualdades, se deben hacer arreglos flexibles de acuerdo con los requisitos del problema real y una selección razonable de los pasos para resolver el problema. Cabe señalar que cuando el coeficiente se convierte a 1, si ambos lados de la desigualdad se multiplican o dividen por el mismo número positivo, la dirección del signo de desigualdad no cambiará, pero cuando se multiplican o dividen ambos lados de la desigualdad; por el mismo número negativo, se debe cambiar la dirección del signo de desigualdad.

4. Al resolver un conjunto de desigualdades lineales de una variable, primero encuentra el conjunto solución de cada desigualdad y luego encuentra sus partes comunes. Esto último generalmente se determina usando la recta numérica o memorizando las cuatro situaciones básicas, y adoptando el método de "tomar el más grande si es igual de grande, tomar el pequeño si es igual, elegir el del medio si es grande o pequeño, no hay solución para grandes ni para pequeños".

5. Expresar el conjunto solución de desigualdades lineales de una variable en el eje numérico no solo puede profundizar nuestra comprensión del conjunto solución de desigualdades lineales (grupos) de una variable, sino que también nos facilita obtener la solución de conjuntos de desigualdades lineales de una variable de forma más intuitiva. Solución de problemas especiales de números iguales y solución de conjuntos de ecuaciones lineales de una variable.

Explicación completa del tema

El tema 1 utiliza las propiedades de las desigualdades para transformar desigualdades

Ejemplo 1 Preguntas de opción múltiple

(1 ) Si - a<2, entonces la correcta de las siguientes fórmulas es (　)

A, a<-2 B, a>2 C, -a+1<3 D, -a-1 >1

(2) Si a>b, entonces la siguiente desigualdad debe ser verdadera (　)

A, B, C, -a>-b D, a-b>0

(3) (2003·Suizhou) Si a<0, el conjunto solución de la desigualdad ax+1>0 sobre x es (　)

A, x> B, x< C, x> D, x ＜

(4) Si x es cualquier número real, las siguientes desigualdades siempre son verdaderas (　)

A, 3x>2x B, 3x2>2x2 C, 3+x>2 D , 3+x2>2

Solución: (1) C (2) D (3) D (4) D

Comentarios: (1 ) La clave para resolver esta pregunta es comprender las propiedades básicas de las desigualdades, nivel de comprensión y dominio. Después de utilizar las tres propiedades básicas de la desigualdad para resolverla, se examina.

(2) Para algunas preguntas de opción múltiple, si es difícil o demasiado complicado resolverlas directamente, se pueden usar valores especiales para ayudar a filtrarlas y reducir el tiempo de respuesta. Por ejemplo (4), se puede tomar x = -1,0 y eliminar A, C y B respectivamente, por lo que se selecciona D.

Ejemplo 2 Determina si la transformación de la siguiente desigualdad es correcta.

(1) De ay y m≠0

(3) De x>y, obtenemos xz2> yz2 (4 ) De xz2>yz2, obtenemos x>y

Solución: (1) Incorrecta, C puede ser cero o un número negativo y la relación de tamaño no se puede determinar después de la deformación.

(2) Incorrecto. -m no es necesariamente un número negativo y la dirección de la desigualdad no se puede determinar después de la deformación.

(3) Incorrecto. Z puede ser 0.

(4) Correcto. Se puede ver a partir de la condición de que z2>0.

Comentarios: Comprender con precisión las propiedades de las desigualdades es la clave para resolver problemas. Preste atención a considerar el problema de manera integral. Preste especial atención a la aplicación de la propiedad 3.

Tema 2 Solución de Desigualdades o Grupos de Desigualdades

Ejemplo 1 Desigualdad

Solución: Convertir decimales en fracciones, obtenemos,

Eliminamos el denominador, obtenemos 4(2x-1)-6(3x-5)-2(x+1)+3×5>0,

Eliminamos los corchetes y obtenemos 8x-4-18x +30-2x-2+15>0,

p>

Combina términos similares, obtiene -12x+39>0,

Mueve los términos, obtiene -12x+ 39>0

Cambie el coeficiente a 1, obtenga x<

Comentarios: Para desigualdades que contienen denominadores y decimales, los decimales se pueden convertir en fracciones o las fracciones se pueden convertir en decimales Sin embargo, pueden aparecer infinitos decimales en este último, lo que hará que la respuesta del cálculo sea incorrecta. Todos los decimales a menudo se convierten a Resuelva después de fracciones.

Ejemplo 2 Resolviendo el grupo de desigualdades

Solución: Resolviendo la desigualdad (1), obtenemos x<-3; Resolviendo la desigualdad (2), obtenemos x≥-4,

∴El conjunto solución del grupo de desigualdad es -4≤x<-3.

Comentarios: Al resolver la desigualdad (2), preste atención al uso correcto de los corchetes del denominador, como 0,2(x-3)- 0,5(x+4)≤-1,4; esta pregunta también se puede resolver convirtiendo los coeficientes decimales en coeficientes enteros, como ≤-14.

Tema 3: Encontrar soluciones especiales a desigualdades (grupos)

Ejemplo 1 Encontrar soluciones enteras positivas a la desigualdad.

Solución: Quitar el denominador y obtener 2(y+1)-3(y-1)≥y-1 (tenga cuidado de no olvidarse de sumar los paréntesis)

Quitar los corchetes 2y+2-3y+3≥y- 1 (preste atención al cambio de signo)

Mover términos y fusionar -2y≥-6

Cambiar el coeficiente a 1, y≤3 (preste atención a cambiar la dirección del signo de desigualdad en este paso)

Dado que hay tres números enteros positivos no mayores que 3, 1, 2 y 3,

entonces la solución entera positiva de la desigualdad es 1, 2, 3.

Comentarios: Para determinar una solución especial a una desigualdad, primero determine el rango del conjunto de soluciones de la desigualdad y luego encuentre los números calificados dentro de este rango.

Ejemplo 2: Encuentra la solución entera no negativa del sistema de desigualdades.

Solución: De la desigualdad 2x+1<3x+3, obtenemos x>-2 de la desigualdad, obtenemos x≤5, por lo que el conjunto solución del grupo de desigualdad original es -2<; x≤5, y su solución entera no negativa es 0, los seis números 1, 2, 3, 4, 5.

Comentarios: El conjunto de soluciones de las desigualdades resueltas (grupo) se expresa en el eje numérico, lo que puede resolver completamente el problema de las soluciones faltantes. Como en este ejemplo, el conjunto de soluciones del grupo de desigualdad obtenido se representa en el eje numérico como se muestra en la figura. Obviamente, su solución entera no negativa se puede entender de un vistazo, que es 0, 1, 2, 3. 4, 5.

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

El tema 4 utiliza el concepto de conjunto de soluciones de desigualdad para resolver problemas relacionados

Ejemplo 1 Conocido desigualdades Las soluciones del grupo y son iguales, encuentra el valor de a.

Solución: Se puede reducir a resolver el grupo de desigualdades para obtener -2

Ejemplo 2 (2003·Ciudad de Chongqing) Se sabe que el conjunto de desigualdades respecto de x no tiene solución, entonces el rango de valores de a es .

Solución: El grupo de desigualdad original se puede reducir a: Debido a que el grupo de desigualdad no tiene solución, x≤3, x>a no tiene parte común, es decir, a≥3.

Ejemplo 3 Si las soluciones a la desigualdad acerca de x (ax-5)>x-a son todas soluciones a la desigualdad 1-2x<3, encuentre el rango de valores de a.

Solución: De la desigualdad (ax-5)>x-a, obtenemos (a-2)x>5-2a

De la desigualdad 1-2x<3, tenemos obtener x >-1; según el significado de la pregunta, 2

El tema cinco desigualdades (grupos) se combinan con cálculos, estimaciones y ecuaciones para resolver problemas prácticos

Las preguntas de aplicación integral de ecuaciones y desigualdades son tipos comunes de preguntas en el ingreso a la escuela secundaria. examen en los últimos años Resolver este tipo de problemas La clave es comprender la relación entre las cantidades en el problema, enumerar las ecuaciones y desigualdades y resolverlas.

Ejemplo 1 (2003·Heilongjiang) En un concurso de conocimientos sobre la prevención del SARS, una escuela secundaria otorgó 4 primeros premios, 6 segundos premios y 20 terceros premios. La escuela decidió dar a todos los ganadores cada estudiante. dado un premio, y los premios por el mismo premio serán los mismos.

(1) Si el primer, segundo y tercer premio son una regadera, una mascarilla y un termómetro respectivamente, el coste total de compra de estos tres premios es de 113 yuanes, de los cuales el coste total de compra del La regadera es La cantidad de dinero es 9 yuanes más que el precio total de la máscara, y el precio unitario de la máscara es 2 yuanes más que el precio unitario del termómetro ¿Cuál es el precio unitario de la regadera, la máscara y? ¿termómetro?

(2) Si los precios unitarios de los tres premios son todos números enteros y se requiere que el precio unitario del primer premio sea el doble del precio unitario del segundo premio, el precio unitario del segundo premio es el precio unitario del tercer premio 2 veces, bajo la premisa de que el costo total no es menos de 90 yuanes pero menos de 150 yuanes, al comprar el primer, segundo y tercer premio, ¿cuáles son los precios unitarios de ellos? Calcula el precio unitario del primer, segundo y tercer premio en cada caso.

Análisis: esta pregunta utiliza el concurso de conocimientos sobre prevención del SARS en una escuela secundaria como material básico y compila una pregunta verbal que combina ecuaciones y desigualdades.

Solución: (1) Supongamos que los precios unitarios de las regaderas y las máscaras son y yuanes yz yuanes respectivamente.

La solución es

∴z-2=2.5.

Respuesta: Los precios unitarios de regaderas, mascarillas y termómetros son 9 yuanes, 4,5 yuanes y 2,5 yuanes respectivamente.

(2) Supongamos que el precio unitario del tercer premio es x yuanes, luego el precio unitario del segundo premio es 2x yuanes y el precio unitario del primer premio es 4x yuanes, entonces 90≤4 ×4x+6×2x+20x<150 ,

∴≤x<. Los precios unitarios de los tres premios son todos números enteros, ∴x=2 o 3.

Cuando x=2, 2x=4, 4x=8; cuando x=3, 2x=6, 4x=12.

Respuesta: Al comprar premios de primer, segundo y tercer lugar, sus precios unitarios tienen dos situaciones: Situación 1: Los precios unitarios de los premios de primer, segundo y tercer lugar son 8 yuanes y 4 yuanes respectivamente, 2 yuanes; segundo caso: los precios unitarios del primer, segundo y tercer premio son 12 yuanes, 6 yuanes y 3 yuanes respectivamente.

Comentarios: Las desigualdades (grupos) se utilizan ampliamente, hay muchos tipos de preguntas y hay muchas preguntas que se combinan con ecuaciones. Ya se han dado una gran cantidad de ejemplos anteriormente y no los repetiremos aquí.

Ejemplo 2: Para fortalecer la enseñanza de cursos de tecnología de la información moderna, la escuela secundaria Huiming en Harbin planea invertir en la construcción de una sala de computación junior y una sala de computación avanzada. Cada sala de computación está equipada con un profesor. computadora y varias computadoras de estudiantes. Entre ellos, la computadora del profesor en la sala de informática junior cuesta 8.000 yuanes cada una, y la computadora del estudiante cuesta 3.500 yuanes cada una; la computadora del profesor en la sala de informática avanzada cuesta 11.500 yuanes cada una, y la computadora del estudiante cuesta 7.000 yuanes cada una. Se sabe que la cantidad total de dinero comprada por las dos salas de computadoras es igual, y la cantidad total de dinero comprada por cada sala de computadoras no es menos de 200.000 yuanes ni más de 210.000 yuanes. ¿Cuántas computadoras se deben configurar en la sala de computación primaria y en la sala de computación avanzada que planea construir la escuela?

Análisis: Al resolver este tipo de preguntas, debes captar las palabras clave de las preguntas de repaso y comprender sus significados, como "al menos", "como máximo", "más que", "mayor". que", "no mayor que", "no menor que", etc., y luego enumere los grupos de desigualdad según el significado de la pregunta.

Solución: supongamos que la sala de informática básica propuesta por la escuela está equipada con x ordenadores y la sala de informática avanzada está equipada con y ordenadores. Según el significado de la pregunta, obtenemos

0,8. +0.35(x-1) =1.15+0.7(y-1), x=2y,

20≤0.8+0.35(x-1)≤21, La solución es ≤x≤,

20 ≤1.15+0.7(y-1)≤21.

∵ xey son números enteros,

∴ x＝56, 58; y＝28, 29.

∴

Respuesta: Las salas de computación planificadas para junior y senior de la escuela tienen 56, 28 o 58 y 29 computadoras respectivamente.

Comentarios: Después de resolver el grupo de desigualdades, debe encontrar una respuesta que se ajuste al significado del problema de acuerdo con el significado del problema real. La solución es generalmente un número entero positivo.