2017 Ejercicios de matemáticas básicas para el examen de ingreso a la universidad del Tíbet (6)

1. Preguntas de opción múltiple

1. Una diagonal del paralelogramo ABCD está fijada en dos puntos A(3,-1), C(2,-3) y el punto D Moviéndose en la línea recta 3x-y+1=0, la ecuación de trayectoria del punto B es (　)

A.3x-y-20=0 B.3x-y+10=0

C.3x-y-9=0 D.3x-y-12=0

Respuesta: Una idea para resolver problemas: Sea O el punto medio de AC, es decir. B(x, y) El punto de simetría con respecto al punto O es (x0, y0), es decir, D (x0, y0), luego de 3x0-y1=0, obtenemos 3x-y-20=0.

2 .Se traza una tangente desde un punto de la recta y=x+1 al círculo (x-3)2+y2=1, entonces el valor mínimo de la longitud de la tangente es (　)

A.1 B.2

C. -2D.3

Respuesta: C Idea para resolver problemas: Cuando el punto es la intersección de las perpendiculares que conducen a la línea recta que pasa por el centro del círculo, la longitud tangente es la más pequeña. Debido a que la distancia al centro del círculo (3, 0) a la línea recta es d==2, el valor mínimo de la longitud tangente es. l==.

3. La recta y=x+b y la curva x= tienen un y solo un punto de intersección, entonces b El rango de valores es (　)

A .{b||b|=}

B.{b|-1

C.{b| -1≤b<1}

D No es la respuesta anterior

Respuesta:

B Idea para resolver problemas: en el mismo sistema de coordenadas, dibuja y= La imagen de x+b y la curva x= (es decir. , x2+y2=1, x≥0) es como se muestra en la figura Cuando es tangente, b=-, y cuando otras posiciones cumplen las condiciones, se requiere -1

4. Si el círculo C: x2+y2+2x-4y+3=0 es simétrica con respecto a la línea recta 2ax+by+6=0, entonces la longitud mínima de la línea tangente trazada desde el punto (a, b) al círculo es (　)

A.2 B.3

C.4 D.6

Respuesta: C Idea para resolver problemas: La ecuación estándar de un círculo es (x+1) 2+ (y-2)2=2, entonces el centro del círculo es (-1,2) y el radio es. Debido a que el círculo es simétrico con respecto a la línea recta 2ax+by+6=0, el centro de la. El círculo está en la línea recta 2ax+by+6=0, entonces - 2a+2b+6=0, es decir, b=a-3, la distancia desde el punto (a, b) al centro del círculo es

d==

==.

Entonces, cuando a=2, d tiene un valor mínimo = 3. En este momento, la longitud tangente es la más pequeña , que es == 4, así que elige C.

5. Se sabe que el punto móvil P está hacia los dos puntos fijos A, la suma de las distancias de B es 8 y |AB| =4, el punto medio del segmento AB es O, entre los segmentos formados por la intersección de todas las rectas que pasan por el punto O y la trayectoria del punto P, los que tienen longitud entera son (　)

A .5 ítems B.6 ítems

C.7 ítems D.8 ítems

Respuesta: D Intención proposicional: esta pregunta prueba la definición y las propiedades de la elipse, dificultad Media.

Ideas para resolver problemas: Según el significado de la pregunta, la trayectoria del punto en movimiento P es una elipse con A y B como foco, la longitud del eje mayor es 8 y la longitud del El eje menor es 2 = 4. Tenga en cuenta que la longitud de la cuerda más corta del centro O de la elipse es igual a 4, y la longitud de la cuerda más larga es 8. Por lo tanto, la longitud del segmento de línea formado por todas las líneas rectas que pasan. a través del punto O e intersectando la trayectoria del punto P pueden haber números enteros 4, 5, 6, 7, 8, incluido uno con longitudes 4 y 8, y dos con longitudes 5, 6 y 7. Por lo tanto, hay 8 cadenas que satisfacen el significado de la pregunta, así que elija D.

6. Suponga m, nR, si la línea recta (m+1)x+(n+1)y-2=0 es tangente al círculo ( x-1)2+(y-1)2=1, entonces el valor de m+n El rango es (　)

A. B.

C. D.

Respuesta: D Análisis: De la pregunta, en OPQ, =, es decir, =, |OP|≤2 y P(x0, x0-2), entonces x+(x0-2)2≤4, la solución es x0 , entonces elige D.

9. La línea recta que pasa por el punto P(1,1), divide el área circular {(x, y)|x2+y2≤4} en dos partes, entonces que la diferencia entre las áreas de las dos partes, entonces la ecuación de la recta es (　)

A.x+y -2=0 B.y-1=0<

/p>

C.x-y=0 D.x+3y-4=0

Respuesta: A. Intención de la proposición: Esta pregunta prueba la aplicación integral de líneas rectas, programación lineal y círculos y la idea de combinar números y formas. Dificultad moderada.

Ideas para resolver problemas: para dividir la diferencia de área entre las dos partes por una línea recta, la longitud de la cuerda del círculo que pasa por el punto. P debe minimizarse, por lo que la línea recta debe ser perpendicular a la línea recta OP. El punto P (1,1) también se conoce, entonces kOP = 1, por lo que la pendiente de la línea recta deseada es -1. la línea recta deseada pasa por el punto P (1,1), por lo que se obtiene a partir de la fórmula de pendiente del punto, y la línea recta deseada La ecuación de es y-1=-(x-1), es decir, x+ y-2=0.

10. La recta y=kx+3 y el círculo (x-2)2+(y- 3) 2=4 se cruzan en dos puntos M y N. Si |MN| ≥2, el rango de valores de k es (　)

A. B.

C.[-, ] D.

Respuesta: B Concepto de la proposición: Esta La pregunta prueba la relación posicional entre una línea recta y un círculo, con dificultad media.

Ideas para resolver problemas: dada por la distancia cuerda-centro d, radio r y semicorda En el triángulo rectángulo formado por de largo |MN|, según el teorema de Pitágoras, |MN|=≥, obtenemos 4-d2≥3, la solución es d2≤1, y d==, la solución es k2≤, entonces -≤k≤ .

2. Completa los espacios en blanco

11. Se sabe que la recta l: y=-(x-1) y el círculo O: x2+y2=1 se cortan en el primer cuadrante del punto M, y los ejes l e y se cruzan en el punto A, entonces el área de MOA es igual a ________.

Respuesta: Intención de la proposición: Esta pregunta prueba la aplicación del posicional. relación entre una línea recta y un círculo, que es relativamente difícil.

p>

Ideas para resolver problemas: combinando las ecuaciones de una línea recta y un círculo, podemos obtener xM=, entonces SMOA=×|OA|×xM=××=.

12. En ABC, ángulo A, los lados opuestos de B y C son a, b, c respectivamente. Si a2+b2=c2, entonces la longitud de la cuerda de la recta ax-by+c=0 interceptada por el círculo x2+y2=9 es ________.

Respuesta: 2 Concepto de la proposición: Esta pregunta examina la aplicación de la ecuación posicional relación entre una línea recta y un círculo. El método geométrico se usa generalmente para resolver la longitud de la cuerda, que es menos difícil.

Ideas para resolver problemas: la distancia desde el centro del círculo a la línea recta. d===, entonces la longitud de la cuerda de la línea recta interceptada por el círculo es 2=2=2.

13. Dados dos puntos A(-2,0) y B(1,0) , el punto P en movimiento no está en el eje x y satisface APO=BPO, donde O es el origen, entonces la ecuación de trayectoria del punto P es ________.

Respuesta: (x-2)2 +y2=4(y≠ 0) Concepto de la proposición: Esta pregunta prueba las propiedades de las bisectrices de ángulos y el método directo para encontrar ecuaciones de trayectorias. La dificultad es media.

Ideas para resolver problemas: Porque las hay. son dos puntos A(-2,0) y B(1,0), el punto en movimiento P no está en el eje x y satisface APO=BPO, por lo que el punto P está en la bisectriz del ángulo APB, luego use PAPB=AOOB=21, establezca el punto P(x, y), luego use la expresión de relación para saber que = 2 se puede simplificar a (x-2)2+y2=4(y≠0).

14. Si la recta m se divide por dos rectas paralelas l1: x-y+1=0 y l2: x La longitud del segmento de recta interceptado por -y+3=0 es 2, entonces la inclinación El ángulo de m puede ser

15°　30°　45°　60°　75°

La respuesta correcta es El número de serie es ________ (Escribe los números de serie de todas las respuestas correctas)

Respuesta: Idea para resolver problemas: supongamos que la línea recta m se cruza con l1 y l2 en dos puntos A y B respectivamente,

Dibuja ACl2 en C a través de A, entonces |AC|== .

Y |AB|=2, ABC=30°.

Y el ángulo de inclinación de la recta l1 es 45°,

El ángulo de inclinación de La recta m es 45°+30°=75° o 45°-30°=15°.

Grupo B

1. Preguntas de opción múltiple

1. Se sabe que el foco de la parábola C: y2=4x es F, y la recta y=2x-4 corta a C en dos puntos A y B, entonces cos AFB=(　)

A. B.

C.- D.-

Respuesta: D Idea de resolución de problemas: eliminar y simultáneamente para obtener x2-5x+4=0, la solución es x=1 o x= 4.

Establezcamos el punto A debajo del eje x, por lo que A

(1,-2), B(4,4).

Porque F(1,0), entonces =(0,-2), =(3,4).

Por lo tanto cos AFB=

==- Entonces elija D.

2. Se sabe que hay una cuerda AB en movimiento con una longitud de 6 en la parábola x2=. 4y, entonces AB La distancia más corta desde el punto medio al eje x es (　)

A. B.

C.1 D.2

Respuesta: D Problema -Idea de resolución: sepa por el significado de la pregunta, la directriz l de la parábola es y = -1, pasar A es AA1l en A1, pasar B es BB1l en B1, sea M el punto medio de la cuerda AB, pasar M es dibujando MM1l en M1, entonces |MM1|=, |AB |≤|AF|+|BF (F es el foco de la parábola), es decir, |AF|+|BF|≥6, es decir, |AA1 |+|BB1|≥6, es decir, 2|MM1|≥6, |MM1 ≥3, es decir, la distancia d desde M al eje x es ≥2, así que elija D.

3. Sean F1 respectivamente los puntos de enfoque izquierdo y derecho de la hipérbola -=1 (a>0, b>0), F2, A es un punto en la asíntota de la hipérbola, AF2F1F2, la distancia desde la hipérbola. origen O de la recta AF1 es |OF1|, entonces la pendiente de la asíntota es (　)

A. o - B. O -

C.1 o -1 D O -

Respuesta: D Intención proposicional: esta pregunta examina la exploración de las propiedades geométricas de las hipérbolas y encarna las ideas matemáticas de la geometría analítica. Aplicación inteligente del método, dificultad media.

> Ideas para resolver problemas: como se muestra en la figura, también se puede suponer que el punto A es un punto en la asíntota hiperbólica y=x en el primer cuadrante. De AF2F1F2, podemos obtener el punto Las coordenadas de A son, y. de OBAF1 y |OB|=|OF1|, obtenemos sen OF1B=, luego tan OF1B=, podemos obtener =, =, obtenemos =, de donde podemos obtener la pendiente de la asíntota de la hipérbola es o -, entonces D debe ser seleccionado.

4. Sean F1 y F2 los focos izquierdo y derecho de la elipse +=1 (a>b>0) respectivamente, y F2 que es tangente a la línea recta y=b Intersecta la elipse en el punto E. E es exactamente el punto tangente de las rectas EF1 y F2 Entonces la excentricidad de la elipse es (　)

A. B.

C.D.

<. p> Respuesta: C. Ideas para resolver problemas: Según el significado de la pregunta, EF1F2 es un triángulo rectángulo y F1EF2=90°,

|F1F2|=2c, |EF2|=b,

Por la elipse La definición de |EF1|=2a-b,

y |EF1|2+|EF2|2=|F1F2|2,

significa (2a-b)2+b2 =(2c)2, obtenemos b=a,

Entonces e2===, entonces e=, entonces elige C.

5. El centro de la hipérbola equiaxial C está en el origen, el foco está en el eje x, C se cruza con la directriz de la parábola y2=16x en dos puntos A y B, |AB|=4, entonces el real la longitud del eje de C es (　)

A. B.2 C .4 D.8

Respuesta: C Idea para resolver problemas: Según la pregunta, sea la ecuación de la hipérbola equiaxial -=1, y la ecuación de la directriz de la parábola y2=16x es x=-4, sustituida en la ecuación de la hipérbola, obtenemos y2=16-a2y=±, entonces 2=4, y la solución es a =2, entonces la longitud real del eje de la hipérbola es 2a=4, así que elige C.

6 .El área del triángulo rodeada por la directriz de la parábola y2=-12x y las dos asíntotas de la hipérbola -=1 es igual a (　)

A. B.3 C. D.3

Respuesta: B. Concepto de la proposición: Esta pregunta prueba principalmente conocimientos básicos como las propiedades de parábola e hipérbola, y está destinado a evaluar la capacidad informática de los candidatos.

Ideas para resolver problemas: según la pregunta, la ecuación directriz de la parábola y2=-12x es x=3, la ecuación asíntota de la hipérbola -=1 es y=±x, la coordenada de intersección de la recta x=3 y la recta y=±x es (3,±), por lo que el área del triángulo buscado es igual a × 2×3 =3, así que elige B.

7. Si el producto de las excentricidades de la hipérbola -=1 y la elipse +=1 (m>b>0) es mayor que 1, entonces a, b , un triángulo con longitud de lado m debe ser (　)

A. Triángulo isósceles B. Triángulo rectángulo

C. Triángulo agudo D. Triángulo obtuso

Respuesta: D Idea para resolver problemas: La excentricidad de la hipérbola es e1= y la excentricidad de la elipse es e2=. sabemos que e1·e2>1, es decir, b2 (m2-a2-b2)>0, entonces m2-a2-b2>0, es decir, m2>a2+b2 A partir del teorema del coseno, podemos saber que el. El triángulo es un triángulo obtuso, así que elige D.

8. F1, F2 son los focos izquierdo y derecho de la hipérbola -=1 (a>0, b>0) respectivamente. La línea recta l que pasa. a través de F1 intersecta las ramas izquierda y derecha de la hipérbola en los puntos A y B respectivamente. Si ABF2 es un triángulo de lados iguales, entonces la excentricidad de la hipérbola es (　)

A.2 B. C. D.

Respuesta: B Concepto de la proposición: Esta pregunta examina principalmente la definición, la ecuación estándar y la geometría de la hipérbola. Los conocimientos básicos, como las propiedades y el cálculo de cantidades básicas, ponen a prueba las habilidades de razonamiento y argumentación de los candidatos, así como sus habilidades de cálculo y resolución.

Ideas para resolver problemas: como se muestra en la figura, definida por una hipérbola, |BF1|-|BF2|= |AF2|-|AF1|=2a, debido a que ABF2 es un triángulo equilátero, entonces | BF2|=|AF2|=|AB|, por lo tanto |AF1|=2a, |AF2|=4a, y F1AF2=120°, en F1AF2, 4c2=4a2+16a2+2×2a×4a×=28a2, entonces e =, entonces elige B.

9. Se sabe que la recta l1: 4x-3y+6=0 y la recta l2: x =-1, el valor mínimo de la suma de las distancias desde el punto que se mueve P en la parábola y2=4x hacia las rectas l1 y l2 es (　)

A.2 B.3

C. D.

Respuesta: Una idea para resolver problemas: suponga que las distancias desde el punto móvil P en la parábola y2=4x hasta la recta l1 y la recta l2 son d1 y d2 respectivamente. Según la definición de parábola, se puede ver que. la recta l2: x=-1 es exactamente La directriz de la parábola y el foco de la parábola son F(1,0), entonces d2=|PF|. d1+d2=d1+|PF| obtiene el valor mínimo, es la distancia del punto F a l1. Usando la fórmula de distancia de un punto a una línea recta, el valor mínimo es =2, así que elija A.

10. Se sabe que la hipérbola -=1 (a>0, b>0), A y B son hipérbolas. Los dos vértices de , P es un punto de la hipérbola y está en la misma rama de la hipérbola. como el punto B. El punto de simetría de P con respecto al eje y es Q. Si las pendientes de las rectas AP y BQ son k1, k2 y k1 respectivamente ·k2=-, entonces la excentricidad de la hipérbola es (　)

A. B. C. D.

Respuesta: C Intención proposicional: Esta pregunta examina la solución de la ecuación de la hipérbola y su excentricidad, y examina la capacidad de simplificación y deformación, con dificultad media.

Ideas para resolver problemas: supongamos A(0,-a), B(0,a), P(x1, y1), Q(-x1, y1), entonces k1k2=×=, ya que el punto P está en la hipérbola, entonces -=1, es decir, x=b2=, entonces k1k2==-=-, entonces e===, entonces elige C.

2. Completa los espacios en blanco

11. Se sabe que el foco de la parábola y2=4x es F, y la recta que pasa por el punto P(2,0) corta la parábola en A(x1, y1) y B(x2, y2 ) dos puntos, entonces (1) y1y2=________; (2) El valor mínimo del área del triángulo ABF es ________.

Respuesta: (1)-8　(2)2 Intención proposicional: Esta La pregunta prueba principalmente líneas rectas. La relación posicional con la parábola es de dificultad media.

Ideas para resolver problemas: suponga que la ecuación de la línea recta AB es x-2=m(y-0), es decir, x=my+2, y juntos obtenemos y2-4my -8=0.(1) De la relación entre raíces y coeficientes, sabemos y1y2=-8.(2) El área del triángulo ABF es S=| FP||y1-y2|=×1×=≥2.

Ampliación del conocimiento: divida el ABF y resuélvalo, lo que puede reducir efectivamente la cantidad de cálculo.

12. B1 y B2 son los dos puntos finales del eje menor de la elipse, O es el centro de la elipse y la longitud pasa por el foco izquierdo F1 La línea vertical del eje cruza la elipse en P. Si |F1B2| el término medio proporcional de |OF1| y |B1B2|, entonces el valor es ________.

Respuesta: Intención proposicional: Esta pregunta prueba las propiedades de la elipse Propiedades básicas y propiedades del término medio de proporciones iguales

, la dificultad es media.

Ideas para resolver problemas: suponga que la ecuación elíptica es +=1(a>b>0), sea x=-c, obtenga y2=, |PF1|=. =, y por |F1B2|2=|OF1|·|B1B2|, obtenemos a2=2bc, =.

13 .Se sabe que la directriz de la parábola C: y2=2px (p>0) es l, y la recta que pasa por M(1,0) con pendiente l se cruza con l en el punto A, y un punto de intersección con C es B. Si =, entonces p=________.

Respuesta: 2 Idea para resolver problemas: dibujar BE a través de B y perpendicular a la directriz l en E,

=, M es el punto medio de AB,

|BM|=|AB|, y la pendiente es,

BAE=30°, |BE|=|AB| ,

|BM|=|BE| , M es el foco de la parábola,

p=2.

14.

Como se muestra en la figura, el centro de la elipse está en el origen de coordenadas O, y los vértices son A1, A2, B1, B2, el foco es F1, F2 respectivamente, extendiendo B1F2 y A2B2 se cruzan en el punto P. Si B1PA2 es un ángulo obtuso, el rango de excentricidad de esta elipse es ________.

Respuesta: Ideas para resolver problemas: supongamos que la ecuación de la elipse es +=1 (a>b>0), B1PA2 es un ángulo obtuso, que se puede convertir en, y el ángulo incluido es un ángulo obtuso, entonces (a, -b)·(-c, -b)0 , e> o e<, y 0

15. En el sistema de coordenadas plano rectangular xOy, se sabe que la hipérbola C: -=1 Supongamos que la recta l que pasa por el punto M (0,1) y la doble Curva C se corta en dos puntos A y B. . Si = 2, entonces la pendiente de la recta l es ________.

Respuesta: ± Intención proposicional: Esta pregunta prueba la relación posicional entre una recta y una hipérbola. La dificultad es media.

Idea de resolución de problemas: combine la línea recta y la hipérbola, combine la relación entre raíces y coeficientes y la operación de coordenadas del vector para resolver el problema, podemos ver que la línea recta. l cruza las dos ramas de la hipérbola, así que sea la línea recta l: y=kx+1, k, sustitúyala en la ecuación de la hipérbola y obtenga (3-4k2)x2-8kx-16=0(*). (x1, y1), B(x2, y2), luego obtenemos =2 x1=-2x2, en (*), usamos la relación entre raíces y coeficientes para obtener x1+x2=, resolvemos para obtener x2=-, y2 =, sustituye en la ecuación hiperbólica para ordenar 16k4-16k2+3=0, resuelve para obtener k2=, por lo que la pendiente de la línea recta l es ±.