Pregunta 21 del examen de ingreso a la Facultad de Ciencias de Zhejiang 2011

(21) (21) (Esta pregunta vale 15 puntos) Se sabe que la parábola =, el centro del círculo es el punto M.

(Ⅰ) Encuentra la distancia desde el punto M a la directriz de la parábola

(Ⅱ) Se sabe que el punto P es un punto de la parábola (diferente del origen; ), y trazar un círculo que pase por el punto P. Dos rectas tangentes que corten la parábola en dos puntos A y B. Si la recta que pasa por dos puntos M y P es perpendicular a AB, encuentre la ecuación de la recta.

(Ⅰ) Solución: Por el significado de la pregunta, podemos saber que, La ecuación directriz de la parábola es: Entonces, la distancia desde el centro del círculo M (0, 4) a la parábola es

(II) Solución: Sea P (x0,

x02), A () B (), por el significado de la pregunta, la ecuación tangente del círculo C2 que pasa por el punto P es y-x0=k(x-

x0)

Es decir,

①

Entonces

Es decir,

Supongamos que las pendientes de PA y PB son, entonces, son las dos raíces de la ecuación anterior, por lo que

Sustituyendo ①, obtenemos,

>Dado que es la raíz de esta ecuación,

de MP⊥AB, obtenemos, y la solución es:

Es decir, las coordenadas del punto P son , por lo que la ecuación de la recta l es.

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