¿Quién recuerda todavía la última pregunta de matemáticas del examen de ingreso a la universidad de Hunan de 2011? ¿Puedes darme una idea aproximada?
Prueba simulada nacional unificada de 2011 para el ingreso a la universidad general (documento de Hunan)
Matemáticas (ciencias, ingeniería, agricultura y medicina)
Preguntas de opción múltiple: Esta Universidad Hay 8 preguntas, cada pregunta vale 5 puntos y la puntuación es de 40 puntos. Entre las cuatro opciones dadas en cada pregunta, solo una cumple con los requisitos de la pregunta.
1． Si a<0, >1, entonces (D)
A. a>1,b>0 B． a>1, b<0 C. 0 2. Para direcciones distintas de cero a, b, "a//b" es realmente bueno (A) A. Condiciones suficientes e innecesarias B. Condiciones necesarias e insuficientes C. Condiciones necesarias y suficientes D. Condiciones ni suficientes ni necesarias 3. Después de desplazar la gráfica de la función y=senx hacia la izquierda 0 <2 unidades, se obtiene la gráfica de la función y=sinx, entonces igual a (D) A. B. C.D. 4. Como se muestra en la Figura 1, cuando los parámetros Si se seleccionan 3 graduados para servir como asistentes del jefe de la aldea, entonces se selecciona al menos uno de A y B, pero no se selecciona C. El número de métodos de selección diferentes w.w.w.k.s.5.u.c.o.m [. C] A 85 B 56 C 49 D 28 6. Se sabe que D es el área del plano determinada por el conjunto de desigualdades, luego la longitud del arco del círculo en. el área D es [ B] A B C D 7． El número de puntos que equidistan de la arista del cubo ABCD- a las rectas fuera del plano AB y C es (C) A. 2B. 3 C. 4 D. 5 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 8. Supongamos que la función está definida en (, +). Para un número positivo K dado, define la función Toma la función = . Si para cualquiera siempre existe =, entonces w.w.w.k.s.5.u.c.o.m A. El valor máximo de K es 2 B. El valor mínimo de K es 2 C. El valor máximo de K es 1 D. El valor mínimo de K es 1 D 2 preguntas para completar en blanco: hay 7 preguntas pequeñas en esta gran pregunta, cada pregunta tiene 5 puntos. , ***35 puntos Complete la respuesta en la línea después del número de pregunta correspondiente en la hoja de respuestas 9. Hay 30 personas en una clase, a 15 de las cuales les gusta el baloncesto, a 10 les gusta el tenis de mesa y a 8 no les gusta ninguno de los deportes. El número de personas a las que les gusta el baloncesto pero no el tenis de mesa es _12__
11 Si x∈(0, ), entonces el valor mínimo de 2tanx+tan(-x) es 2. w.w.w.k.s.5. u.c.o.m
12. Se sabe que en el cuadrilátero con los dos focos de la hipérbola C y los dos extremos del eje imaginario como origen, existe un ángulo interior de 60, entonces la excentricidad del La hipérbola C es
13. Una población se divide en dos capas, A y B. La proporción del número de individuos es 4:1. Utilice el método de muestreo estratificado para seleccionar una muestra con una capacidad de 10. la población Se sabe que tanto A como B en la capa B son La probabilidad de ser extraído es, entonces el número de dígitos en la población es 50.
14. Hay tres puntos A, B y C en una esfera con un radio de 13, AB=6, BC=8, CA=10, entonces w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（ 1) La distancia desde el centro de la esfera al plano ABC es 12;
(2) El ángulo diédrico formado por el círculo máximo que pasa por los puntos A y B es el plano ABC. El valor tangente del (ángulo agudo) es 3
p>15. Divida ⊿ABC positivo en (≥2, n∈N) pequeños triángulos equiláteros congruentes (La Figura 2 y la Figura 3 muestran los casos de n= 2 y 3 respectivamente). En cada uno Coloca un número en cada vértice del triángulo de manera que los tres números ubicados en ⊿ABC y cualquier recta paralela a un determinado lado (cuando el número de números no sea menor a 3) formen un secuencia aritmética a la vez Si el vértice A, los tres números en B y C son diferentes entre sí y la suma es 1. Sea la suma de los números en todos los vértices f (n), entonces f (2) = 2. , f(3)= ,...,f(n) )= (n+1)(n+2)
3. Responda preguntas: hay 6 preguntas pequeñas en esta gran pregunta y la puntuación es de 75 puntos. La respuesta debe incluir una explicación escrita, el proceso de prueba o los pasos de cálculo.
16. (Esta pregunta vale 12 puntos)
En , dado, encuentra los tamaños de los ángulos A, B y C.
Solución: Supongamos
Se deduce que, entonces
Y por lo tanto w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
Se deduce que, entonces
Entonces, , por lo tanto
, ambos
De A= sabemos, entonces, , así
O, ambos o por lo tanto
o.
17. (La puntuación total para esta pregunta es 12 puntos)
Para estimular el crecimiento económico, una ciudad decidió construir una serie de nuevos proyectos clave, incluidos proyectos de infraestructura, proyectos de medios de vida de las personas y proyectos de construcción industrial Tres categorías, el número de proyectos incluidos en estas tres categorías de proyectos representan respectivamente. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(I) Encuentre la probabilidad de que los proyectos que elijan pertenezcan a diferentes categorías
(II) Regístrelo como el proyecto seleccionado por 3 personas pertenece a ingeniería de infraestructura; , Para el número de personas en proyectos de medios de vida y proyectos de construcción industrial, encuentre las columnas de distribución y las expectativas matemáticas.
Explicación: Tenga en cuenta que los proyectos elegidos por el primer trabajador pertenecen a proyectos de infraestructura, proyectos de medios de vida de las personas y proyectos de construcción industrial como eventos, , , i=1, 2, 3 respectivamente. , sabemos que son independientes entre sí Independientes, independientes entre sí, , , (i, j, k=1, 2, 3, y i, j, k son diferentes entre sí) independientes entre sí, y P ( ) =, P ( ) = , P ( ) =
(1) La probabilidad de que los artículos que elijan pertenezcan a diferentes categorías
P=3! P( )=6P( )P( )P( )=6 =
(2) Solución 1 Supongamos que el número de personas que eligen el proyecto entre los 3 trabajadores es un proyecto de medios de vida. que -B( 3, ) y =3.
Entonces P ( =0) = P ( =3) = = ,
P ( =1) = P ( =2) = = w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
P（ =2）=P（ =1）==
P（ =3）=P（ =0）==
Entonces la distribución es
0 1 2 3
P
expectativa matemática E =0 +1 +2 +3 =2
Solución 2 para la i -ésimo trabajador Los proyectos seleccionados pertenecientes a ingeniería básica o ingeniería industrial son eventos respectivamente,
i=1,2,3. Se sabe que ?D, son independientes entre sí, y
.P( ) - ( , ) = P ( ) + P ( ) = + =
Entonces-- , es decir, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
Entonces la columna de distribución es
1 2 3
18 (Esta pregunta vale 12 puntos)
Como se muestra en la Figura 4, en un prisma triangular regular,
D es el punto medio de, el punto E está en y.
(I) Demostrar plano plano
(II) Hallar el seno del ángulo formado por la recta y el plano. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
Solución (I) Como se muestra en la figura, el plano se conoce por las propiedades de un prisma triangular regular
Y DE es el plano A B C, entonces DE AA.
Y DE AE. AA AE=A Entonces DE es el plano AC C A y DE es el plano ADE, entonces el plano ADE es el plano AC C A .
(2) Solución 1 Como se muestra en la figura, sea F el punto medio de AB, conectando DF, DC y CF. De las propiedades del prisma triangular regular ABC-A B C y D son el punto medio de. A B, sabemos A B C D, A B DF w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
Y C D DF=D, entonces A B plano C DF,
Y AB∥A B, entonces
AB plano C DF, Y AB es el plano ABC, entonces
El plano AB C es el plano C DF.
Por el punto D, hacer DH perpendicular a C F y al punto H, entonces DH es el plano AB C. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
Conecta AH, entonces HAD es el ángulo formado por AD y el plano ABC.
Basándonos en el AB= A A conocido, también podríamos suponer A A = , entonces AB=2, DF= , D C = ,
C F= , AD= = , DH= = — ,
Entonces el pecado TENÍA= = .
Es decir, el valor del seno del ángulo formado por la recta AD y el plano ABC es .
Solución 2 Como se muestra en la figura, sea O el punto medio de AC y use O como origen para establecer un sistema de coordenadas espacial rectangular. También puede establecer
A A. = , entonces AB=2, relacionado Las coordenadas de cada punto son
A(0,-1,0), B(,0,0), C(0,1,), D(, -,).
Fácil de saber=(,1,0), =(0,2,), =(,-,)w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
Supongamos el vector normal del plano ABC es n = (x, y, z), entonces tenemos
La solución es x=- y, z=-,
Entonces n=(1, -, ) puede ser tomado.
Entonces, (n? )= = = .
De esto se desprende que el valor del seno del ángulo formado por la recta AD y el plano ABC es .
19. (La puntuación total de esta pregunta es 13 puntos)
Se construye un puente en un lugar determinado. Se han construido los pilares en ambos extremos. aparte, el proyecto restante solo necesita construir los dos extremos para la plataforma del puente y los pilares entre los pilares del puente, se prevé que el costo de ingeniería de un muelle del puente sea de 2,56 millones de yuanes, y el costo de ingeniería de la plataforma del puente entre dos pilares adyacentes. con una distancia de 10.000 yuanes. Suponiendo que los pilares del puente están distribuidos a distancias iguales, todos los pilares del puente se consideran puntos y no se consideran otros factores, el costo del proyecto restante se registra en 10.000 yuanes.
(Ⅰ) Intente escribir la expresión de relación funcional sobre ;
(Ⅱ) Cuando = 640 metros, ¿cuántas pilas de puente nuevas se deben construir para minimizar?
Solución para (I) Suponer que es necesario construir un nuevo muelle de puente,
Entonces
(II) De (I),
Sea, obtenido, entonces =64
Cuando 0<<64<0, es una función decreciente en el intervalo (0, 64); En ese momento, >0. El intervalo (64, 640) es una función creciente,
Por lo que el valor mínimo se obtiene en =64,
Es necesario. construir 9 nuevos pilares de puente para alcanzar el valor mínimo.
20 (la puntuación total para esta pregunta es 13 puntos)
En el sistema de coordenadas plano rectangular xOy, 4 veces la distancia del punto P al punto F (3, 0) es igual que la distancia desde él hasta la línea recta La suma de tres veces la distancia de x=2 se registra como d Cuando el punto P se mueve, d siempre es igual a la suma de la abscisa del punto P y 18 w.w.w.k.s.5. u.c.o.m
(Ⅰ) Encuentre la distancia del punto P Trayectoria C;
(II) Suponga que la recta I que pasa por el punto F corta la trayectoria C en dos puntos M y N y encuentre la longitud máxima del segmento de línea MN.
Solución (I) Sean las coordenadas del punto P (x, y), luego 3︳x-2︳
Supongamos a partir de la pregunta
Cuándo x>En 2, obtenemos de ①
Simplificar para obtener
En ese momento, obtenemos de ①
Simplificar para obtener
La trayectoria C del punto P es una curva compuesta por la parte de la elipse del lado derecho de la recta x=2 y la parte de la parábola del lado izquierdo de la recta x=2 (incluyendo su intersección con la recta x=2), ver Figura 1
(II ) Como se muestra en la Figura 2, es fácil saber que los puntos de intersección de la recta x=2 y , son todos A ( 2, ),
B (2, ), y las pendientes de las rectas AF y BF son = , =
Cuando el punto P está arriba, lo sabemos por ②.
④
Cuando el punto P está arriba, sabemos w.w.w.k.s.5.u.c.o.m de ③
⑤
Si la pendiente k de la recta l existe, entonces la ecuación de la recta l es
(i) Cuando k≤ , o k≥ , es decir, k≤-2 , los dos puntos de intersección M ( , ) y N ( , ) de la recta I y la trayectoria C están ambas en C. En este momento, se sabe por ④ que ∣MF∣= 6 - ∣NF∣= 6 - w.w.w.k.s.5 .u.c.o.m
Por lo tanto ∣MN∣= ∣MF∣+ ∣NF∣= (6 - ) + (6 - )=12 - ( + )
Entonces, estas son dos raíces de la ecuación, entonces + = *∣MN∣=12 - ( + )=12 -
Porque cuando
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
Cuando y Sólo entonces se mantiene el signo igual.
(2) En ese momento, los dos puntos de intersección de la línea recta L y la trayectoria C están respectivamente. También podríamos establecer el punto en y el punto en, entonces ④⑤ sabe,
Supongamos que la recta AF y la elipse El otro punto de intersección de es E
So. Los puntos A y E están ambos arriba, y
Tenemos (1) Sabemos w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
Si la pendiente de la recta no existe, entonces = =3 , en este momento
En resumen, el valor máximo de la longitud del segmento de línea MN es
21 (la puntuación total para esta pregunta es 13 puntos)
.Para una secuencia, si hay una constante M>0, para Arbitraria, siempre existe
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
Entonces se dice que la secuencia es una secuencia B
(1) El primer término es 1 y la razón común es igual a ¿Es la secuencia de razones una secuencia B? Explique el motivo;
Forme una proposición utilizando una condición de afirmación en un grupo y una afirmación en el otro grupo como conclusión
Juzgue si la proposición dada es verdadera o falsa. y pruébalo Tu conclusión;
(2) Supongamos que es la suma de los términos anteriores de la secuencia, da los siguientes dos conjuntos de conclusiones;
Grupo A: ①La secuencia es una secuencia B ②La secuencia no es una secuencia B
Grupo B: ③La secuencia es una secuencia B ④La secuencia no es una secuencia B
Por favor, tome una afirmación en una grupo como la condición, y una afirmación en el otro grupo es La conclusión forma una proposición.
Determina si la proposición dada es verdadera o falsa, y prueba tu conclusión;
(3) Si la secuencia es una secuencia, prueba: la secuencia también es una secuencia.
Solución (1) Supongamos que la secuencia geométrica que satisface el problema es , entonces
Por lo tanto - |+|+ - |+…+| >
Porque es w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
Por lo tanto, el primer término es 1, y la secuencia geométrica cuya razón común es es la secuencia B.
(2) Proposición 1: Si la secuencia es una secuencia B, entonces la secuencia es una secuencia B
La segunda proposición es una proposición falsa.
De hecho, asumiendo , es fácil saber que la secuencia es una secuencia B, pero
Por la arbitrariedad de , sabemos que la secuencia es una secuencia B. Esta propuesta lo es.
Proposición 2: Si la secuencia es una secuencia B, entonces la secuencia es una secuencia B
Esta proposición es verdadera
De hecho, porque la La secuencia es B- Secuencia, por lo que hay un número positivo M, para cualquier
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
Es decir. Entonces
Entonces la secuencia es una secuencia B.
(III) Si la secuencia { } es una secuencia, entonces hay un número positivo. Para cualquier
Tenga en cuenta que
De manera similar: w.w.w.k.s.5.u.c.o.m.
Recuerda, entonces tenemos
Por lo tanto
+
Entonces la secuencia es la secuencia w.w.w.k.s.5.u.c.o.m