aciba

Demostración:

Las rectas auxiliares son como se muestra en la figura:

∵O es el circuncentro

∴∠AOB=2 ∠C= 60°

∴△AOB es un triángulo equilátero

∵I es el centro del cuerpo

∴∠IAB=∠IAE

Y ∵AB =AE

Utilizando SAS, podemos saber: △IAB≌△IAE

De manera similar, se puede demostrar: △IAB≌△IDB

∴∠EIA=∠DIB=∠ AIB

=180°-(∠IAB+∠IBA)=180°-(∠CAB+∠CBA)/2

= 180°-(180°-30°)/2 =105°

∴∠EID=360°-3∠EIA=360°-3×105°=45°

∠EFD

=(∠ AEO-∠ECF)+(∠BDI-∠DCF)=∠AEO+∠BDI-(∠ECF+∠DCF)

=(90°-∠ EAO/2)+∠BAI-30°=60°+(∠BAE-∠EAO)/2

=60°+∠BAO/2=60°+30°

=90°

∴ EO⊥DI

De manera similar, podemos saber: DO⊥EI

∴O es el centro vertical de △EID

∴IO⊥ED

∴ ∠OID+∠EDI=∠DEO+∠EDI=90°

∴∠OID=∠DEO

Y ∵ ∠EID=45°

∴△EFI es un triángulo rectángulo isósceles

∴EF=IF

Según ASA: △OIF≌△DEF

∴OI=ED

Resumen Como se mencionó anteriormente: OI⊥ED y OI=ED

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