¿Cuál es el componente de hacer lo mejor que pueda en la oración y qué le sigue?

Hacer lo mejor que pueda puede usarse como predicado en una oración y puede ir seguido de un infinitivo, que puede considerarse como un adverbial de propósito.

Es decir, hacer lo mejor que puedas para hacer algo

Hacer lo mejor que puedas puede considerarse como una frase fija, lo que significa hacer lo mejor que puedas.

Si tienes que analizarlo, puedes pensar en do como un verbo predicado y my best como un objeto. Mejor es un sustantivo que significa: el estándar más alto o el mejor estado que una persona o cosa puede alcanzar.