¿La raíz de la palabra inter significa entrar?

Inter- significa "entre, uno y otro", sin el significado de "entrar".

internacional (inter+national national)

interpersonal (inter+personal)

interponer lugar, intervenir (inter+pose poner → poner entre los dos)

intersectar cruz (intersectar cortar → cortar por el medio → cruzar)

intervenir interferir (inter+vene ir → ir entre los dos→interferencia)

interacción influencia mutua (inter+acción acción→acción mutua→influencia)

intercambiable intercambiable (intercambiable+cambiable)

interludio (entre actividades) descanso (inter+ludio jugar → jugar en el medio → descanso entre actividades)

interrelacionar relación mutua (inter+relacionar relación)