f(x) es el primer polinomio irreducible en el campo F. La característica del campo es Char F = 0. Sea E un campo algebraico cerrado que contiene a F. Dado que f(x) es irreducible en el campo F,

Deberías poder encontrarlo en el libro de texto general de "Teoría algebraica de números". Por ejemplo, la página 15 de "Conferencias concisas sobre teoría algebraica de números" de Feng Keqin y Liu Fengmei.

La explicación general es la siguiente;

f(x) tiene raíces múltiples<=> f y f' no son primos entre sí (es decir, hay factores comunes con grado mayor que 0)

f' es la derivada formal de f (esto puede evitar la introducción del concepto de límite y ahorrar mucha discusión).

Cuando char F =0, f es irreducible => f'≠0 (el grado de f es al menos 2, y la función derivada no siempre será 0),

Dado que f es irreducible Aproximadamente, grados f'

Cuando char F ≠0, f es irreducible ≠> f'≠0,

De esta forma, cuando f'=0, f y f' no son primos entre sí (f |f ', el factor común es f), f tiene múltiples raíces.

"f es irreducible ≠> f'≠0" se explica a continuación,

Supongamos p = char F>0, f(x)=∑c_i * x^i ( i= 0 .. n), entonces f'(x)=∑i*c_i * x^i (i=1 .. n),

Cuando p no puede dividir i, sea c_i=0; p |i, i=0; por lo tanto, siempre hay i*c_i=0. Es decir, f≠0, pero f'=0.

Los ejemplos específicos son los siguientes:

Supongamos que F=F_p=Z/(pZ), p=char F, u es el elemento trascendental en F, K=F(u ) es F El dominio de extensión único de (grado infinito), entonces f(x)=x^p-u∈K[x], toma la raíz de f(x) α=u^(1/p), (α es de Por supuesto, no en F y K, en el campo extendido algebraicamente cerrado de K), entonces f(x)=x^p-u=x^p-α^p=(x-α)^p tiene p-raíces múltiples α, ( en el campo extendido de F_p, hay (a+b)^p=a^p+b^p), pero f(x) es irreducible en K[x].

(Si f(x) es reducible en K[x], es decir, f(x)=g(x)*h(x), g(x), h(x)∈K [x], sea g(x)=(x-α)^l, h(x)=(x-α)^s, 1≤l, s≤p-1, pero g(x) es (). -α)^l=(-1)^l*α^l=(-1)^l*u^(l/p), 1≤l≤p-1, l/p no es un número entero, según el definición de K, u^(l/p) no está en K, por lo que g(x) no está en K[x], lo cual es contradictorio con g(x)∈K[x])