Acerca de la Copa Esperanza de la Olimpiada de Matemáticas de primer grado
El 17º Concurso Nacional de Matemáticas por Invitación "Hope Cup"
La segunda prueba del primer año de la escuela secundaria
16 de abril de 2006, 8:30 a 10 am :30 Puntuación________
1. Preguntas de opción múltiple (cada pregunta tiene 4 puntos, ***40 puntos). Entre las cuatro opciones para cada pregunta a continuación, solo una es correcta. respuesta correcta Las letras en inglés de la respuesta se completan entre paréntesis después de cada pregunta
1 a y b son números racionales que satisfacen ab≠0. El opuesto de ①. El número es;
②El opuesto de a-b es la diferencia entre el opuesto de a y el opuesto de b
③El opuesto de ab es el opuesto de a; y el opuesto de b El producto de (B) 2. (C) 3. (D) 4.
[Respuesta] C
[Análisis] El opuesto de ab en ③ es -ab, y el opuesto de a es -a, el opuesto de b es -a y el opuesto de su producto es ab
[Punto de prueba] Esta pregunta examina el uso flexible de la definición. de opuestos y recíprocos
p>
2 En la siguiente figura, el diagrama de expansión plano del cubo es ( )
[Respuesta]C
[Análisis] Utilice el diagrama expandido en la pregunta Reducción, solo la respuesta B no se puede reducir a un cubo
[Puntos de prueba] Las características del gráfico de expansión del cubo examinadas en esta pregunta
3. En la expresión algebraica, los valores de x e y se reducen cada uno en un 25. %, luego el valor de la expresión algebraica se reduce en ( )
(A)50% (B)75% (C) (D)
[Respuesta] C
[Análisis] Supongamos que la fórmula algebraica obtenida después de la reducción es m, entonces hay m= =.
[Punto de prueba] Esta pregunta examina la operación y la aplicación flexible de la multiplicación de enteros
4. , el correcto es ( )
(A)a+b+c+d debe ser un número positivo (B. )d+c-a-b puede ser un número negativo
(. C)d-c-b-a debe ser un número positivo. (D)c-d-b-a debe ser un número positivo
[Respuesta]C
[ Análisis] Esta pregunta aplica el método de eliminación de valores especiales. A, si a=-2, b=-1, c=1, d=2, entonces a+b+c+d=0 es un número no positivo para B, d +c>0, -a >; -b>0, entonces d+c-a-b debe ser mayor que cero para D, sea a=-2, b=-1, c=1, d=5, luego c-d-b-a=-1. Punto de prueba] Operaciones de números racionales.
5． En la Figura 1, DA=DB=DC, entonces el valor de x es ( )
(A)10. (B)20. (C)30． (D)40．
[Respuesta] A
[Análisis] Según la suma de los ángulos interiores de un triángulo es , encuentra x=
[Punto de prueba] Examina la cálculo de ángulos de triángulos.
6. Se sabe que a, b, c son todos números enteros, m=|a+b|+|b-c|+|a-c|, entonces ( )
(A)m debe ser un número impar. (B)m debe ser un número par.
(C) m es un número par sólo cuando a, b y c son pares o impares. (D) No se puede determinar la paridad de m.
[Respuesta] B
[Análisis] Utilice el método de valor especial para configurar números específicos y sustituirlos en expresiones algebraicas para clasificar las opciones A, C y D.
[Puntos de prueba] Operaciones de números racionales.
7. Las longitudes a, b y c de los tres lados del triángulo son todas enteras y [a, b, c] = 60, (a, b) = 4, (b, c) = 3. (Nota: [a, b, c] representa el mínimo común múltiplo de a, b, c, (a, b) representa el máximo común divisor de a, b), entonces el valor mínimo de a+b+c es ( )
(A)30． (B)31． (C)32． (D)33．
[Respuesta] B
[Análisis] A partir del mínimo común múltiplo, se puede ver por el significado de la pregunta que debe haber 15 y 4 entre los tres números. Según el máximo común divisor, son 4 y 3 respectivamente, y otras condiciones conocidas, más inferencias
[Puntos de prueba] La convención de máximo común, mínimo común múltiplo y lados del triángulo.
8. Como se muestra en la Figura 2, el rectángulo ABCD se compone de cuadrados pequeños de 3 × 4. En esta imagen hay () 40 rectángulos que no son cuadrados
(A) (B)38． (C)36． (D)34．
[Respuesta] A
[Análisis] Esta pregunta se puede considerar desde dos aspectos. Uno es considerarla desde el frente y contar el número de rectángulos con una cuadrícula, dos cuadrículas. y tres cuadrículas como lados El número se puede sumar; el segundo es pensar desde el lado opuesto, primero encontrar el número total de cuadrados y rectángulos, y luego encontrar el número de cuadrados, el número total - el número de cuadrados = número de rectángulos.
[Puntos de prueba] Pon a prueba tu comprensión de los gráficos.
9． Suponga que a es un número racional y use [a] para representar el número entero más grande que no exceda a, como [1.7] = 1, [-1] = -1, [0] = 0, [-1.2]
= -2, entonces entre las siguientes cuatro conclusiones, la correcta es ( )
[Respuesta] D.
[Análisis] Usando el método de valor especial, suponiendo a=0, luego suponiendo a=-1.2, luego
[Puntos de prueba] Uso flexible de números racionales.
10． En el eje numérico, hay dos puntos A y B correspondientes a los números 7 y b respectivamente, y la distancia entre A y B es menor que 10． Sea m=5-2b. entonces el rango del valor de m es ()
(Diccionario inglés-chino: eje numérico eje numérico; punto punto; correspondiente a correspondiente a...; respectivamente; distancia distancia; 1menos que menos que; valor valor, valor numérico rango rango)
[Respuesta] C
[Análisis] Primero enumere el grupo de desigualdad según el significado de la pregunta y luego resuelva el rango de b. según m=5-2b, se obtiene la relación entre myb:, es decir, el rango de valores de m se obtiene resolviendo la desigualdad.
[Puntos de prueba] Aplicación flexible de soluciones a desigualdades lineales y combinaciones infinitivas.
2. Preguntas para completar en blanco (cada pregunta vale 4 puntos, ***40 puntos).
[Respuesta]
[Análisis ] Convertir el original en = = =
[Puntos de prueba] Esta pregunta examina el algoritmo simple de fracciones.
[Respuesta] -3
[Análisis] De lo que se sabe, podemos obtener la fórmula original = = y luego deformarla aún más.
[Puntos de prueba] Esta pregunta prueba las operaciones de números enteros.
13. La figura 3 es un callejero de una comunidad A, B, C,...,. Ahora bien, si queremos que los centinelas vean todas las calles de la comunidad, se deben configurar al menos ______ centinelas.
[Respuesta] 4
[Análisis] Encuentra los puntos que cumplen con las condiciones de la pregunta, y es el que menos cumple con los requisitos.
[Puntos de prueba] Esta pregunta pone a prueba el reconocimiento y la comprensión de los gráficos.
[Respuesta] -36
[Análisis] Se puede ver por el significado de la pregunta, la fórmula original = = =-36
[ Punto de prueba] Esta pregunta examina la diferencia cúbica Uso flexible de fórmulas.
=_________.
[Respuesta]4026042
[Análisis] Calcula el numerador y denominador de la fórmula original respectivamente. El numerador es 2007 y el denominador. , es decir, la fórmula original es 2006.
[Puntos de prueba] Examina las ideas de operaciones simples en operaciones con fracciones.
16. Una vez finalizado el juego de tenis de mesa, se distribuirán varias pelotas de tenis de mesa a los ganadores. Tome la mitad y agregue la mitad al primer lugar; tome la mitad restante y agregue la mitad al segundo lugar; tome la mitad restante y agregue la mitad al tercer lugar; Finalmente toma la mitad más la mitad restante y dásela al quinto lugar, y se han repartido todas las pelotas de tenis de mesa. Hay *** ______ de estas pelotas de tenis de mesa.
[Respuesta] 31
[Análisis] La clave para resolver este problema es expresar el número de pelotas de tenis de mesa entregadas a cada ganador y encontrar las reglas generales.
[Explicación detallada] Solución: Supongamos que hay x pelotas de tenis de mesa. Según la pregunta, el número de pelotas entregadas al primer lugar es: ; >
Por analogía, el quinto lugar: ., entonces queda: , la solución es 31.
17． Hay cuatro personas A, B, C y D. La suma de la edad promedio de cada tres personas más la edad de la persona restante es 29, 23, 21 y 17 años respectivamente. La edad más joven entre estas cuatro personas es_ ____edad.
[Respuesta] 18
[Análisis] Suponga las edades de cuatro personas, y según el significado de la pregunta, exprese la suma de la edad promedio de las tres personas y la edad de la otra persona.
[Explicación detallada] Supongamos que las edades de cuatro personas son , según el significado de la pregunta, y luego compare las cuatro fórmulas por parejas para obtener: , , , .
Entonces la diferencia entre la edad máxima y la edad mínima es 18 años.
18． Los estudiantes de la clase de primer grado (2) se pararon en una fila. Primero comenzaron a contar desde "1" de izquierda a derecha, y luego comenzaron a contar desde "1" de derecha a izquierda. dos veces, informaron "Si hay exactamente 15 personas entre los dos 20" compañeros de clase (incluidos estos dos compañeros de clase), entonces hay ***______ personas en toda la clase.
[Respuesta] 53 o 25
[Análisis] Esta pregunta es divergente y debe considerarse en dos situaciones.
[Explicación Detallada] Solución: Supongamos que hay x personas en la clase Según el significado de la pregunta, hay dos situaciones: 1. Al contar de derecha a izquierda, el estudiante que reportó 20 lo hizo. no alcanzar el primer lugar La posición del estudiante que reportó 20 en el primer pase es: 2. Al contar de derecha a izquierda, si el estudiante que reportó 20 excede la posición del estudiante que reportó 20 en el primer pase, entonces los hay.
El último dígito es___________.
[Respuesta] 0
[Análisis] Transforme la fórmula original y aproveche al máximo el método de valor especial.
[Explicación detallada] La fórmula original =, deja, la fórmula original =, porque los últimos dígitos de la potencia de 2 son el ciclo de cuatro números: 2, 4, 8 y 6, por lo que El último dígito es 8, por lo que el último dígito de la fórmula original es 0.
20. Supongamos que a, b, c, d son todos números enteros y cuatro ecuaciones (a-2b)x=1, (b-3c)y=1,
(c-4d)z=1, w+100=d siempre tienen soluciones x, y, z, w de números positivos respectivamente, entonces el mínimo de a es_____________．
(Diccionario inglés-chino: asumir hipótesis; número entero; ecuación ecuación; solución (solución de ecuación); positivo; respectivamente; valor mínimo mínimo)
[Respuesta] 2433
[Puntos de prueba] Esta pregunta examina las ideas de discusión de ecuaciones indefinidas.
3. Responde las preguntas (***3 preguntas pequeñas para esta gran pregunta, ***40 puntos.) Requisito: Anota el proceso de cálculo.
21． (La puntuación total de esta pregunta es 10 puntos)
(1) Demuestre: El cuadrado de un número impar dividido por 8 deja un resto de 1.
(2) Demuestre además: 2006 no se puede expresar como la suma de los cuadrados de 10 números impares.
(1) [Análisis] Establezca la fórmula general de los números impares.
Prueba: supongamos que cualquier número impar es, entonces, según el significado de la pregunta, podemos obtener =. = ,
La multiplicación de dos enteros consecutivos debe ser un número par, por lo que 4k(k+1) puede ser divisible por 8,
Así se obtiene la prueba.
(2) Supongamos que 2006 se puede expresar como la suma de los cuadrados de 10 números impares, es decir,
(donde , , ,…, son todos números impares).
El lado izquierdo de la ecuación se divide por 8 con un resto de 2, y 2006 se divide por 8 con un resto de 6. ¡Contradicción!
Por lo tanto, 2006 no se puede expresar como la suma de los cuadrados de 10 números impares
22. (La puntuación total para esta pregunta es 15 puntos)
Como se muestra en la Figura 4, el área del triángulo ABC es 1, E es el punto medio de AC y O es el punto medio de BE. Conecte AO y extienda BC a D. Conecte CO y extienda AB a F. Encuentra el área del cuadrilátero BDOF.
Supongamos
Porque E es el punto medio de AC y 0 es el punto medio de BE,
Entonces
Entonces
Derivando
es decir
y
derivando
es decir
23. (La puntuación total de esta pregunta es 15 puntos)
La profesora llevó a dos alumnos a visitar un museo a 33 kilómetros de la escuela. El profesor conduce una motocicleta a una velocidad de 25 kilómetros/hora. Esta motocicleta puede transportar a un estudiante en el asiento trasero y la velocidad después de transportar a la persona es de 20 kilómetros por hora. La velocidad al caminar del estudiante es de 5 kilómetros/hora. Diseñe un plan para que los tres profesores y estudiantes no tarden más de 3 horas en llegar al museo después de partir al mismo tiempo.
[Análisis] La clave para resolver este problema es analizar que el maestro lleva a un estudiante a un lugar determinado y luego regresa para recoger a otro estudiante. Y ordene la distancia recorrida en cada período de tiempo.
[Explicación detallada] Solución: Supongamos que el maestro toma a un estudiante y camina x metros, lo deja y regresa para recoger a otro estudiante. Según la sugerencia, todo el proceso se divide en tres períodos de tiempo. El profesor toma La hora en que el primer alumno sale, la hora en que el profesor regresa a recoger al segundo alumno, la hora en que el profesor lleva al segundo alumno al museo, , , ,
La solución es = 24, entonces el maestro lleva a un estudiante. Cuando camines 24 metros, regresa y trae a otro estudiante. Esto asegurará que los tres no tarden más de 3 horas en llegar al museo después de comenzar al mismo tiempo. .