Conocimientos sobre la circunferencia de un círculo.
1. Calcular el valor de pi es un tema de investigación muy importante y difícil en matemáticas. Muchos matemáticos de la antigua China se dedicaron al cálculo de pi, y se puede decir que los logros alcanzados por Zu Chongzhi en el siglo V d.C. fueron un salto adelante en el cálculo de pi. Después de un arduo estudio, Zu Chongzhi heredó y desarrolló los excelentes logros de científicos anteriores. Su investigación sobre pi es su destacada contribución a nuestro país e incluso al mundo. El cálculo preciso de Zu Chongzhi del valor de pi recibió el nombre de "Pi de Zu Chongzhi" en su honor, o "Tasa Zu" para abreviar.
Pi es la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro. Es una constante, representada por la letra griega "π", y se obtiene mediante la fórmula 355÷113. En términos de astronomía, calendario y práctica de producción, todas las cuestiones relacionadas con círculos deben calcularse utilizando pi.
Cómo derivar correctamente el valor de pi es una cuestión importante en la historia de las matemáticas mundiales. Los antiguos matemáticos chinos concedieron gran importancia a este tema y lo estudiaron desde muy temprano. En "Zhou Bi Suan Jing" y "Nueve capítulos de aritmética", se propone que el diámetro de un círculo es tres veces la relación pi fija es tres, es decir, la circunferencia de un círculo es tres veces el diámetro. Desde entonces, gracias a sucesivas exploraciones realizadas por matemáticos de todas las generaciones, el valor de pi calculado se ha vuelto cada vez más preciso. Al final de la dinastía Han Occidental, cuando Liu Xin estaba diseñando y fabricando un dendrobium redondo de cobre (un instrumento de medición) para Wang Mang, descubrió que la antigua proporción de un diámetro y tres circunferencias era demasiado aproximada. Se encontró que el valor de pi era 3,1547. Zhang Heng, un famoso científico de la dinastía Han del Este, calculó el valor pi en 3,162. Durante el período de los Tres Reinos, el matemático Wang Fan calculó el valor de pi en 3,155. Liu Hui, un matemático famoso durante las dinastías Wei y Jin, creó un nuevo método para calcular el corte del círculo pi cuando estaba anotando "Nueve capítulos sobre aritmética". Estableció el radio del círculo en 1, dividió el círculo en seis partes iguales y construyó un hexágono regular inscrito del círculo. Usó el teorema de Pitágoras para encontrar la circunferencia del hexágono regular inscrito y luego construyó sucesivamente el inscrito; dodecágono, veinticuatro polígonos..., cuando el círculo está inscrito en ciento noventa y dos polígonos, la suma de las longitudes de sus lados es 6.282048, y cuantos más lados inscribe un círculo en un polígono regular, más cercanas se acercan las longitudes de sus lados son la circunferencia real del círculo, por lo que el valor de pi en este momento es la longitud del lado dividido por 2, y su valor aproximado es 3,14 y muestra que este valor es menor que el valor real de pi. En el arte de cortar círculos, Liu Hui ha realizado el concepto de límite en las matemáticas modernas. La técnica de corte circular que creó fue un gran avance en el proceso de exploración del valor numérico de pi. Para conmemorar los logros de Liu Hui, las generaciones posteriores llamaron al valor pi que obtuvo "Hui Rate" o "Hui Shu".
Después de Liu Hui, los eruditos que lograron grandes logros en la exploración de pi incluyen a He Chengtian, Pi Yanzong y otros de las dinastías del sur. El valor de pi obtenido por He Chengtian es 3,1428; el valor de pi obtenido por Pi Yanzong es 22/7≈3,14. Todos los científicos mencionados anteriormente han hecho grandes contribuciones a la investigación y el cálculo de pi, pero en comparación con el pi de Zu Chongzhi, son muy inferiores.
Zu Chongzhi creía que Liu Hui fue el erudito que logró los mayores logros en el estudio de pi en los cientos de años desde las dinastías Qin y Han hasta las dinastías Wei y Jin, pero no alcanzó un nivel preciso. , por lo que estudió más a fondo para encontrar un valor más preciso. Los resultados de su investigación y cálculos demuestran que pi debería estar entre 3,1415926 y 3,1415927. Se convirtió en la primera persona en el mundo en calcular el valor exacto de pi con siete dígitos después del punto decimal. No fue hasta mil años después que el matemático árabe Al Qasi y el matemático francés Viette batieron este récord. La "relación de densidad" propuesta por Zu Chongzhi no fue llamada "relación de Antoninz" en Alemania hasta mil años después. Algunas personas con motivos ocultos dijeron que Zu Chongzhi forjó la relación pi después de que las matemáticas occidentales se introdujeran en China a finales de la dinastía Ming. . Esta es una invención intencional. El libro antiguo que registra la investigación de Zu Chongzhi sobre pi es el "Sui Shu", un libro de historia escrito en la dinastía Tang. El "Sui Shu" moderno tiene una versión publicada en el año Bingwu de la dinastía Yuan (1306 d.C.), que incluye. y otras versiones modernas. El mismo registro sobre el pi de Zu Chongzhi ocurrió más de 300 años antes del final de la dinastía Ming. Además, muchos matemáticos anteriores a la dinastía Ming citaron el pi de Zu Chongzhi en sus trabajos. Estos hechos demuestran los logros sobresalientes de Zu Chongzhi en la investigación del pi.
Zu Chongzhi siguió el método de Liu Hui de cortar círculos y estableció un círculo con un diámetro de un pie, y lo cortó y calculó dentro del círculo. Cuando cortó los ciento noventa y dos polígonos inscritos en el círculo, obtuvo el valor de "hui rate". Pero no quedó satisfecho y continuó cortando, haciendo 384 polígonos, 768 polígonos... hasta que cortó a 24576 polígonos, y encontró cada polígono regular inscrito por turno, la longitud del lado del polígono. Finalmente, encuentre un círculo con un diámetro de un pie y su circunferencia esté entre tres pies, un pie, cuatro pulgadas, un minuto, cinco centímetros, dos segundos, siete segundos y tres pies, un pie, cuatro pulgadas, un minuto, cinco. centímetros, nueve milímetros, dos segundos, seis segundos, las unidades de longitud anteriores ya no son comunes para nosotros, pero en otras palabras: si el diámetro de un círculo es 1, entonces la circunferencia es menor que 3,1415927, que es menor que uno. diezmillonésima. Su introducción facilita enormemente el cálculo y la aplicación práctica.
Realizar cálculos tan precisos es un trabajo mental extremadamente detallado y arduo. Sabemos que en la época de Zu Chongzhi, el ábaco aún no había aparecido. La herramienta de cálculo comúnmente utilizada por la gente se llamaba ábaco. Era un pequeño palo cuadrado o plano de unos pocos centímetros de largo, y había varios tipos de bambú, madera y hierro. , jade, etc. Se pueden representar varios números mediante diferentes formas de colocar las fichas, lo que se denomina método de conteo.
Cuantos más dígitos haya que calcular, mayor será el área necesaria para su colocación. Calcular con un chip aritmético no es como usar un bolígrafo. El cálculo con bolígrafo se puede dejar en el papel, pero la aritmética debe volver a girarse para realizar un nuevo cálculo después de cada cálculo. Los resultados del cálculo solo se pueden anotar con un cuaderno. Y no se pueden obtener gráficos y fórmulas de cálculo más intuitivos. Por lo tanto, siempre que haya un error, como un error de cálculo o un error en el cálculo, solo se puede empezar desde el principio. Para obtener el valor del pi de Zu Chongzhi, es necesario realizar más de diez pasos de cálculo con decimales con nueve cifras significativas, como suma, resta, multiplicación, división y raíz cuadrada, y cada paso debe repetirse más de diez veces para calcular la raíz cuadrada Hay 50 operaciones y el número calculado final llega a dieciséis o siete decimales. Hoy en día, incluso utilizar un ábaco, lápiz y papel para completar estos cálculos no es una tarea fácil. Pensemos en ello, durante la dinastía del Sur, hace más de 1.500 años, un hombre de mediana edad seguía contando y memorizando en sus manos bajo una lámpara de aceite tenue, y con frecuencia tenía que reorganizar decenas de miles de elementos. Es una tarea ardua y debe repetirse día tras día. Si una persona no tiene gran perseverancia, nunca podrá completar este trabajo. Este glorioso logro también refleja plenamente el alto nivel de desarrollo de las matemáticas antiguas en nuestro país.
La investigación de Zu Chongzhi sobre pi tuvo una importancia práctica positiva y se adaptó a las necesidades de la práctica de producción en ese momento. Él personalmente estudió pesos y medidas y utilizó los últimos resultados de pi para corregir el cálculo del volumen de medición antiguo.
En la antigüedad, existía un dispositivo de medición llamado "caldero". Generalmente tenía un pie de profundidad y tenía forma cilíndrica. Para encontrar este valor, necesitas usar pi. Zu Chongzhi utilizó su investigación para encontrar el valor preciso. También recalculó el "Lüjia Liang" creado por Liu Xin de la dinastía Han (otro tipo de instrumento de medición, similar al instrumento de medición igual de "litros" que usamos ahora, pero ambos son cilindros...), porque el método de cálculo y El valor de pi utilizado por Liu Xin no es lo suficientemente preciso, el valor de volumen que obtuvo es diferente del valor real. Zu Chongzhi encontró su error y corrigió el valor usando "Zu Rate".
Después de eso, la gente utilizó el valor "zu rate" de Zu Chongzhi al fabricar instrumentos de medición. Basándose en el trabajo de sus predecesores, Zu Chongzhi, después de un minucioso estudio y repetidos cálculos, calculó pi con 7 dígitos después del punto decimal y obtuvo una aproximación de pi en forma fraccionaria. Actualmente es imposible investigar qué método utilizó Zu Chongzhi para obtener este resultado; si asumimos que siguió el método de "corte de círculos" de Liu Hui, tendría que calcular 16.000 polígonos inscritos en el círculo. ¿Cuánto tiempo y esfuerzo tomaría? ? ¡Gran trabajo!
Según "Sui Shu·Lü Li Zhi", Zu Chongzhi usó un hu (cienmillonésima parte de un zhang) como unidad para encontrar la circunferencia de un círculo con un diámetro de un zhang, y encontró el número excedente es 3.1415927, el número es 3.1415926, el verdadero valor de pi está entre los dos números. El "Libro de Sui" no especifica el método utilizado por Zu Chongzhi para calcular el número de Ying y Xie. En general, se cree que Zu Chongzhi utilizó la técnica de corte de círculos de Liu Hui, pero también hay muchas otras especulaciones. Estas dos aproximaciones tenían una precisión del séptimo decimal y fueron los logros más avanzados del mundo en ese momento. No fue hasta más de mil años después que la matemática árabe del siglo XV Cassie y el matemático francés del siglo XVI F. Veda obtuvieron resultados más precisos. Zu Chongzhi determinó dos fracciones asintóticas de π, la tasa aproximada 22/7 y la densidad 355/113. Entre ellos, la densidad es 355/113 (≈3,1415929). Occidente no fue descubierto hasta el siglo XVI por el alemán V. Otto. Se compone de tres pares de números impares 113355 y luego se dobla en dos secciones. Es bonito, regular y fácil de recordar. Para conmemorar la destacada contribución de Zu Chongzhi, algunos historiadores matemáticos extranjeros llaman a la densidad de pi "tasa Zu".