¿Para qué sirve la transformada de Fourier?

La transformada de Fourier es un algoritmo muy importante en el campo del procesamiento de señales digitales. Para conocer el significado del algoritmo de transformada de Fourier, primero debemos comprender el significado del principio de Fourier.

El principio de Fourier muestra que cualquier secuencia o señal medida continuamente puede expresarse como una superposición infinita de señales de onda sinusoidal de diferentes frecuencias. El algoritmo de transformada de Fourier creado en base a este principio utiliza la señal original medida directamente para calcular acumulativamente la frecuencia, amplitud y fase de diferentes señales de onda sinusoidal en la señal.

Correspondiente al algoritmo de transformada de Fourier está el algoritmo de transformada de Fourier inversa. Esta transformación inversa también es esencialmente un proceso de acumulación, de modo que las señales de onda sinusoidal que cambian individualmente se pueden convertir en una única señal.

Por lo tanto, se puede decir que la transformada de Fourier convierte la señal en el dominio del tiempo originalmente difícil de procesar en una señal en el dominio de la frecuencia fácil de analizar (se pueden utilizar algunas herramientas para el espectro de la señal). procesar estas señales en el dominio de la frecuencia, procesamiento. Finalmente, se puede utilizar la transformada inversa de Fourier para convertir estas señales en el dominio de la frecuencia en señales en el dominio del tiempo.

Desde la perspectiva de las matemáticas modernas, la transformada de Fourier es una transformación integral especial. Puede expresar una función que cumple ciertas condiciones como una combinación lineal o integral de funciones de base sinusoidal. Existen muchas variaciones diferentes de la transformada de Fourier en diferentes campos de investigación, como la transformada de Fourier continua y la transformada de Fourier discreta.

En el campo de las matemáticas, aunque el análisis de Fourier se utilizó originalmente como una herramienta para el análisis analítico de procesos térmicos, su método de pensamiento todavía tiene las características del reduccionismo y el análisis típicos. "Cualquier" función se puede expresar como una combinación lineal de funciones seno a través de ciertas descomposiciones, y las funciones seno son una clase de función relativamente simple y completamente estudiada en física:

1. y si se le da una norma apropiada, también es un operador unitario;

2 La transformada inversa de la transformada de Fourier es fácil de encontrar y su forma es muy similar a la transformada directa;

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3. La función de base seno es una función intrínseca de las operaciones diferenciales, de modo que la solución de ecuaciones diferenciales lineales se puede transformar en la solución de ecuaciones algebraicas con coeficientes constantes. en tiempo lineal es una operación de producto simple, proporcionando así un medio simple para calcular la convolución;

4. En el sistema físico de Fourier discreto, la frecuencia es una propiedad invariante, por lo que la respuesta del sistema a excitaciones complejas puede ser Se obtiene combinando sus respuestas a señales sinusoidales de diferentes frecuencias;

5. El famoso teorema de convolución señala que la transformada de Fourier se puede transformar en una transformada compleja y se puede calcular rápidamente usando una computadora digital ( el algoritmo se llama transformada rápida de Fourier (algoritmo de transformación de hoja (FFT)).

Debido a las buenas propiedades mencionadas anteriormente, la transformada de Fourier se ha utilizado ampliamente en física, teoría de números, matemáticas combinatorias, procesamiento de señales, probabilidad, estadística, criptografía, acústica, óptica y otros campos.

Información ampliada

Fourier nació en una familia de sastres en Auxerre, en el centro de Francia. Quedó huérfano a la edad de nueve años y fue adoptado por un obispo local. Estudió en la academia militar local en 1780 y se desempeñó como profesor asistente en la Escuela Politécnica de París en 1795. En 1798, acompañó al ejército de Napoleón en una expedición a Egipto y fue muy valorado por Napoleón. Después de regresar a China, fue. nombrado gobernador de Glenoble en Isère en 1801.

Fourier escribió el artículo básico "La propagación del calor" sobre la conducción del calor ya en 1807 y lo presentó a la Academia de Ciencias de París, sin embargo, después de ser revisado por Lagrange, Laplace y Legendre, fue rechazado por la Academia. Academia de Ciencias, presentó un artículo revisado en 1811. El artículo ganó el Gran Premio de la Academia de Ciencias, pero no se publicó oficialmente.

Fourier dedujo en su artículo la famosa ecuación de conducción de calor, y al resolver la ecuación descubrió que la función solución se puede expresar en forma de una serie compuesta de funciones trigonométricas, proponiendo así que cualquier función puede expandirse en una serie infinita de funciones. A partir de aquí se originaron las series de Fourier (es decir, series trigonométricas), el análisis de Fourier y otras teorías.

Fourier fue elegido académico de la Academia de Ciencias de París en 1817 por su contribución a la teoría de la transferencia de calor.

En 1822, Fourier finalmente publicó la monografía "Theorieanalytique de la Chaleur, Didot, Paris, 1822". Este trabajo clásico desarrolló el método de series trigonométricas aplicado por Euler, Bernoulli y otros en algunas situaciones especiales hasta convertirlo en una rica teoría general. La serie trigonométrica recibió más tarde el nombre de Fourier.

Fourier aplicó series trigonométricas para resolver la ecuación de conducción de calor. Para abordar el problema de la conducción de calor en la región infinita, derivó lo que actualmente se llama "integral de Fourier". Todo esto impulsó en gran medida la parcial. Lado de la ecuación diferencial Estudio de cuestiones de valor.

Sin embargo, la importancia del trabajo de Fourier va mucho más allá de eso: obliga a la gente a revisar y generalizar el concepto de funciones, especialmente conduciendo a la discusión de funciones discontinuas que estimulan aún más la colección; de El nacimiento de la teoría. Por tanto, “La Teoría Analítica del Calor” influyó en el proceso de rigor analítico a lo largo del siglo XIX. Fourier se convirtió en secretario vitalicio de la Academia de Ciencias en 1822.

Como Fourier estaba extremadamente obsesionado con la ciencia térmica, creía que el calor podía curar todas las enfermedades, por lo que un verano cerró las puertas y ventanas de su casa, se puso ropa gruesa y se sentó junto al fuego. Como resultado, murió de CO. Desafortunadamente, murió envenenado y murió en París, Francia, el 16 de mayo de 1830.

Enciclopedia Baidu-Transformada de Fourier

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