Puntos de conocimiento sobre los teoremas de propiedades de los triángulos isósceles en el primer volumen de matemáticas para octavo grado

1. Preguntas de opción múltiple (***8 preguntas)

1. Como se muestra en la figura, en △ABC, AB=AC, los puntos D y E están en BC, conectando AD y AE. Si solo se agrega una condición para hacer ∠DAB=∠EAC, la condición agregada no puede ser (　)

A． BD=CE B． ANUNCIO=AE C. DA=DED. BE=CD　

2. Un ángulo de un triángulo isósceles mide 80°, entonces la medida de su ángulo en el vértice es (　)

A. 80°B． 80° o 20°C. 80° o 50° D. 20°

3. Se sabe que los números reales x e y satisfacen, entonces el perímetro de un triángulo isósceles con los valores de x e y como longitudes de ambos lados es (　)

A. 20 o 16 B. 20C． 16D. Ninguna de las respuestas anteriores es correcta

4. Como se muestra en la figura, en △ABC, AB=AC, ∠A=40°,

BD es la bisectriz de ∠ABC, entonces el grado de ∠BDC es (　)

A. 60°B． 70°C. 75° D． 80°

5. Se sabe que las longitudes de los dos lados de un triángulo isósceles son 3 y 5 respectivamente, entonces el perímetro del triángulo es (　)

A. 8b. 9C． 10 o 12D. 11 o 13

6. Como se muestra en la figura, en isósceles △ABC, AB=AC, ∠A=20°. La bisectriz perpendicular del segmento de línea AB corta a AB en D, corta a AC en E y conecta a BE, entonces ∠CBE es igual a (　)

A. 80°B． 70°C. 60°D. 50°

7． En isósceles △ABC, AB=AC, la línea central BD divide el perímetro de este triángulo en dos partes, 15 y 12.

Entonces la longitud de la base de este triángulo isósceles es (　)

A. 7b. 11C. 7 o 11D. 7 o 10

8. El ángulo entre la altura de una cintura de un triángulo isósceles y la otra cintura es 30°, entonces la medida del ángulo del vértice es (　)

A. 60°B． 120°C. 60° o 150° D. 60° o 120°

2. Rellena los espacios en blanco (***10 preguntas)

9. Se sabe que un ángulo interior de un triángulo isósceles es de 80°, entonces las medidas de los otros dos ángulos son _________.

10. Como se muestra en la figura, se sabe que AB∥CD, AB=AC, ∠ABC=68°, entonces ∠ACD=____________.

Pregunta 10 Pregunta 11 Pregunta 12 Pregunta 13

11. Como se muestra en la figura, en △ABC, AB=AC, el ángulo exterior de △ABC es ∠DAC=130°, entonces ∠B = ________°.

12. Como se muestra en la figura, AB∥CD, AE=AF, CE cruza AB en el punto F, ∠C=110°, luego ∠A=________°.

13. Como se muestra en la figura, en △ABC, AB=AC, BC=6, AD⊥BC está en D, luego BD=_________.

14. Como se muestra en la figura, en △ABC, AB=AD=DC, ∠BAD=32°, luego ∠BAC=________°.

15. Como se muestra en la figura, en isósceles △ABC, AB=AC, AD biseca ∠BAC, el punto E es un punto en la extensión del segmento de línea BC, que conecta AE, el punto C está en la bisectriz vertical de AE, si DE=10cm , entonces AB+BD =_________cm.

16. Como se muestra en la figura, en △ABC, AB=AC, CD biseca ∠ACB, ∠A=36°, entonces el grado de ∠BDC es _________.

17． Como se muestra en la figura, en △ABC, AB=AC, el punto D es el punto medio del lado BC, ∠BAD=20°, entonces ∠C=_________.

18. Como se muestra en la figura, en △ABC, AB=AC, ∠A=80°, E, F y P son puntos en los lados de AB, AC y BC respectivamente, y BE=BP, CP=CF, entonces ∠EPF=_________ grado.

3. Responder preguntas (***5 preguntas)

19. (2005? Yunnan) Conocido: Como se muestra en la figura, en isósceles △ABC, AB=AC, O es el punto medio de la base BC, OD⊥AB está en D, OE⊥AC está en E. Verificar: AD=AE.

20. (2012? Suizhou) Como se muestra en la figura, en △ABC, AB = AC, el punto D es el punto medio de BC y el punto E está en AD.

Verificar: (1) △ABD≌△ACD;

(2) BE=CE.

21. (2009? Henan) Como se muestra en la figura, ∠BAC=∠ABD, AC=BD, el punto O es la intersección de AD y BC, y el punto E es el punto medio de AB. Intente juzgar la relación posicional entre OE y AB y dé la prueba.

22. Como se muestra en la figura, en △ABC, D y E son puntos en AC y AB respectivamente, y BD y CE se cruzan en el punto O. Se dan las siguientes cuatro condiciones:

①∠EBO=∠DCO ② ∠BEO=∠CDO; ③BE=CD ④OB=OC.

(1) Entre las cuatro condiciones anteriores, ¿cuáles dos condiciones pueden determinar AB=AC? (Escribe todas las situaciones con números de serie)

(2) Elige una de las situaciones de la pregunta (1) y explica que AB=AC.

23. (1) Como se muestra en la figura, en △ABC, las bisectrices de ∠ABC y ∠ACB se cruzan en F. Dibuje DE∥BC a través de F, y corte a AB y AC en los puntos D y E respectivamente. ¿Determinar si DE=DB+EC es cierto? ¿Por qué?

(2) Como se muestra en la figura, si el punto F es la intersección de la bisectriz de ∠ABC y la bisectriz del ángulo exterior ∠ACG, y otras condiciones permanecen sin cambios, adivine el número de segmentos de línea ¿Relación DE, DB y CE? Demuestra tu conjetura.

Lección 1 Propiedades de los triángulos isósceles

1. CBBCDCCD

2. 9, 50°, 50° u 80°, 20°; 11, 65; 12, 40; 13, 3; 18, 50;

3. 19. Demuestre: ∵AB=AC,

∴∠B=∠C.

∵OD⊥AB, OE⊥AC,

∴∠ODB=∠OEC=90°.

∵O es el punto medio de la base BC,

∴OB=OC,

En △OBD y △OCE,

∴△OBD≌△OCE（AAS）．

∴BD=CE.

∵AB=AC,

∴AB﹣BD=AC﹣CE.

Es decir, AD=AE.

20. Prueba: (1) ∵D es el punto medio de BC,

∴BD=CD,

Entre △ABD y △ACD, ,

∴△ABD≌△ACD (SSS); …(4 puntos)

(2) De (1) sabemos △ABD≌△ACD,

∴∠BAD=∠CAD, es decir, ∠BAE=∠CAE,

En △ABE y △ACE,

∴△ABE≌△ACE (SAS),

∴BE=CE (los lados correspondientes de triángulos congruentes son iguales).

(Otros métodos de prueba correctos también recibirán puntos)... (4 puntos)

21. Solución: OE⊥AB.

Prueba: En △BAC y △ABD, ,

∴△BAC≌△ABD (SAS).

∴∠OBA=∠OAB,

∴OA=OB.

También ∵AE=BE, ∴OE⊥AB.

Respuesta: OE⊥AB.

22. (1) Respuesta: Hay 4 situaciones: ①③, ①④, ②③, ②④***.

(2) Solución: Elija ①④ y demuestre lo siguiente:

∵OB=OC,

∴∠OBC=∠OCB,

Y ∵∠EBO=∠DCO,

∴∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB,

Es decir, ∠ABC=∠ACB,

∴AC =AB.

②④

El motivo es: en △BEO y △CDO

∵ ,

∴△BEO≌△CDO,

p>

∴∠EBO=∠DCO,

∵OB=OC,

∴∠OBC=∠OCB,

∴∠ABC=∠ ACB,

∴AB=AC,

23. Solución: (1) se establece

En ∵△ABC, BF y; CF divide en partes iguales ∠ABC y ∠ACB,

∴∠1=∠2, ∠5=∠4.

∵DE∥BC, ∴∠2=∠3, ∠4=∠6．

∴∠1=∠3, ∠6=∠5.

Según las propiedades de ángulos iguales y lados iguales en un mismo triángulo, se puede observar que: BD=DF, EF=CE.

∴DE=DF+EF=BD+CE.

Por tanto, queda establecido.

(2) ∵BF se divide en ∠ABC,

∴∠DBF=∠FBC．

∵DF∥BC, ∴∠DFB=∠FBC.

∴∠ABF=∠DFB,

∴BD=DF.

∵CF biseca a ∠ACG,

∴∠ACF=∠FCG.

∵DF∥BC,

∴∠DFC=∠FCG.

∴∠ACF=∠DFC,

∴CE=EF.

∵EF+DE=DF, es decir, DE+EC=BD.