La forma principal de la ecuación de Lanchester
Las formas principales de la ecuación de Lanchester son: En las condiciones de combate modernas, los ejércitos rojo y azul luchan. Cada bando está equipado con armas similares, pueden verse entre sí y apuntan directamente dentro del alcance de. las armas; cada unidad de combate de ambos bandos tiene aproximadamente las mismas posibilidades de disparar a cada unidad de combate del otro bando. El número de unidades de combate supervivientes de ambos bandos en la batalla se utiliza como variable de estado continua, y m(t), n(t) representa el número de unidades de combate del bando azul y del bando rojo que todavía están vivas en la batalla. batalla en el momento t después del inicio de la batalla. Se puede utilizar El siguiente conjunto de ecuaciones diferenciales describe la relación de pérdida entre las fuerzas de los dos bandos a lo largo del tiempo durante la batalla:
donde α y β son respectivamente. el número de unidades de combate del lado azul y rojo que dañan las unidades de combate del oponente en una unidad de tiempo, denominado coeficiente de tasa de daño del lado azul y del lado rojo. Cuando ambos bandos utilizan armas de infantería para disparar directamente, el coeficiente de tasa de daño es igual a la velocidad de disparo del arma multiplicada por la probabilidad de que un solo proyectil alcance el objetivo multiplicada por la probabilidad de dañar el objetivo en las condiciones de alcanzar el objetivo. . Supongamos que el número inicial de unidades de combate del lado azul y del lado rojo al comienzo del enfrentamiento es m (0) = M, n (0) = N. De las ecuaciones diferenciales anteriores, se puede ver que el número. de unidades de combate de ambos bandos durante el enfrentamiento se ajusta a la siguiente ecuación de estado:
α[M^2- m(t)^2]=β[N^2- n(t)^2]
Cuando el número inicial de unidades de combate y el daño de ambas partes son Cuando los coeficientes de tasa satisfacen αM^2=βN^2, m(t) y n(t) tienden a cero al mismo tiempo, y no hay ganador en la batalla. Cuando αM^2lt;βN^2, el lado azul se eliminará primero. Lanchester resumió la relación anterior como "en condiciones de apuntar y disparar directamente, la efectividad de combate efectiva de una parte beligerante es proporcional al producto del cuadrado del número de sus unidades de combate y la efectividad de combate promedio (coeficiente de tasa de daño promedio) de cada una". unidad de combate", y dijo que se llama "ley del cuadrado".
Según esta ley, si la eficiencia promedio de una unidad de combate individual del sistema de armas del lado azul es 4 veces mayor que la del lado rojo, entonces el lado rojo debe concentrar el doble de tropas que el lado azul. para compensar el lado azul La ventaja de calidad de las armas Fang.
Lanchester utilizó el siguiente ejemplo para ilustrar que la ley del cuadrado es consistente con el principio de combate de concentrar fuerzas superiores: "Si 1.000 hombres del lado azul están luchando contra 1.000 hombres del lado rojo, el combate promedio La efectividad de las unidades de combate individuales en ambos lados es la misma, y el lado rojo tiene la misma efectividad de combate. El lado azul se divide en dos mitades con 500 hombres cada una, suponiendo que el lado azul ataca primero a los 500 hombres del lado rojo con 1.000 hombres. , el lado azul aniquilará a la mitad del lado rojo a costa de perder 134 hombres, y luego el lado azul usará a los 500 hombres restantes, 866 personas, luego aniquilará a la otra mitad del lado rojo, y el lado azul perdió una. total de 293 personas en estas dos batallas."
Resolver directamente las ecuaciones diferenciales anteriores puede obtener la fuerza de los lados azul y rojo con el tiempo. Relación cambiada:
Fuerza de tropas del lado azul =A1=1000
Fuerza de tropas del lado rojo=B1=B2=500
Eficiencia de combate=1
Eficacia de combate del lado azul=Fuerza militar del lado azul × combate eficiencia=1000
Eficacia de combate del lado rojo=Fuerza militar del lado rojo×eficiencia de combate=500
Unidad de tiempo=1
Si el lado azul concentra 1.000 hombres para atacar a los 500 hombres del lado rojo, se puede obtener según la fórmula
Primera ronda
Las tropas restantes del lado azul =√Poder de combate del lado azul^2-Combate del lado rojo power^ 2=√750000≈866.02
Segunda ronda
La fuerza restante del equipo azul=√499956≈707.07
De esto podemos ver que en En el enfrentamiento entre los dos ejércitos, si las armas y el equipo están 4 veces por detrás del nivel del oponente, debes aumentar el número de tropas a 4 veces el número para compensar la presión sobre el equipo del oponente. Es decir, cuando el número total de tropas de ambos bandos se acerca a un cuello de botella, la calidad del equipo es el factor principal que afecta la situación de la batalla.
En la fórmula, ch(·) y sh(·) son la función coseno hiperbólica y la función seno hiperbólica. Se supone que los ejércitos rojo y azul utilizan armas (como artillería) para realizar disparos indirectos de largo alcance contra el otro lado. La potencia de fuego se concentra en el área de reunión conocida de las unidades de combate del oponente. del área no tiene nada que ver con el número de tropas del oponente. En este momento, la tasa de daño de un lado es proporcional al número de unidades de combate disparadas por el otro lado, y también proporcional al número de tropas propias en la zona de defensa.
En este momento, se pueden utilizar las siguientes ecuaciones diferenciales para describir los cambios en el número de unidades de combate en ambos bandos a lo largo del tiempo: (t), n(t) tienen el mismo significado que la ley del cuadrado. A través de una simple derivación, se puede ver que la fuerza militar de ambos bandos durante la batalla se ajusta a la siguiente ecuación de estado:
α[M - m(t)]=β[N - n(t) ]
M en la fórmula, el significado de N es el mismo que el de la ley de los cuadrados. La condición para que las dos partes en conflicto sean indiferentes es αM=βN. Si αMlt;βN, el lado azul será eliminado primero. Lanchester resumió la relación anterior como "en las condiciones de apuntar y disparar indirectamente al objetivo, la efectividad de combate efectiva de una parte beligerante es proporcional al producto del número de sus unidades de combate y la efectividad de combate promedio de cada unidad de combate de esa partido", y lo llamó ley lineal.
En la era de las armas blancas, el formato de batalla suele ser una lucha uno a uno entre soldados individuales. El resultado de la batalla depende del nivel de lucha de ambos bandos y la tasa de daño promedio del azul. y los lados rojos son un valor constante, respectivamente. α y β indican que los cambios en la fuerza de ambos lados durante la batalla se pueden describir mediante las siguientes ecuaciones diferenciales:
Los significados de m(t) y n(t) en la fórmula son los mismos que la ley del cuadrado. En este momento, la ecuación de estado entre las fuerzas de ambos bandos durante la batalla es exactamente la misma que la ecuación de estado descrita por la ley lineal cuando se dispara indirectamente al objetivo. Esta relación se puede resumir como "En las condiciones de combate uno a uno, la efectividad de combate efectiva de una parte beligerante es proporcional al producto del número de sus unidades de combate y la efectividad de combate promedio de cada unidad de combate de ese lado". ." Así es como se describe el combate en la era de las armas frías. Ley lineal de.
Para hacer una distinción, la ley lineal que describe el uso de armas blancas en combate a veces se denomina "primera ley lineal", mientras que la ley lineal que describe el uso de armas de fuego para disparos indirectos a objetivos se denomina ley lineal. "Tercera ley lineal".