Acerca del proceso de demostración del teorema de Pitágoras

El Teorema de Pitágoras (también llamado "Teorema de Pitágoras") dice: "En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los dos rectángulos". lados en ángulo." Según la investigación, los humanos ¡La comprensión de este teorema se remonta al menos a 4.000 años! Según los registros, ¡actualmente existen más de 300 demostraciones de este teorema en el mundo!

Creo que tener muchas pruebas ciertamente significa que este teorema es muy importante, mucha gente lo ha estudiado pero las muchas pruebas son deslumbrantes al mismo tiempo y no reflejan el teorema en sí ni el significado; prueba de una manera clara y precisa en el significado matemático. Por eso, en este artículo he seleccionado 7 pruebas que creo que son importantes para que puedas analizar y apreciar las características de estas pruebas y comprender sus antecedentes históricos.

Prueba 1

Figura 1

En la Figura 1, D ABC es un triángulo rectángulo, en el que ? Dibujamos tres cuadrados ABFG, BCED y ACKH de lados AB, BC y AC respectivamente. Dibuje una línea recta AL que pase por el punto A perpendicular a DE y que corte a DE en L y BC en M. No es difícil demostrar que D FBC es igual a D ABD (S.A.S.). Entonces área del cuadrado ABFG = 2 ? Área de D FBC = 2 ? De manera similar, área del cuadrado ACKH = área del rectángulo MCEL. Es decir, el área del cuadrado BCED = el área del cuadrado ABFG + el área del cuadrado ACKH, es decir, AB2 + AC2 = BC2. Esto prueba el teorema de Pitágoras.

Esta prueba utiliza inteligentemente triángulos congruentes y la relación entre el área de un triángulo y el área de un rectángulo. No solo eso, explica más específicamente el significado geométrico de "la suma de los cuadrados de las longitudes de dos lados en ángulo recto", que consiste en usar ML para dividir el cuadrado en dos partes, ¡BMLD y MCEL!

Otro significado importante de esta prueba reside en su origen. Esta prueba provino del antiguo matemático griego Euclides.

Euclides de Alejandría nació hacia el 325 a.C. y murió hacia el 265 a.C. Trabajó en Alejandría, el centro cultural de la antigua Grecia, y completó su libro "Elementos de geometría". "Elementos de geometría" es una obra que hizo época. Recopiló el conocimiento humano pasado sobre las matemáticas y estableció un sistema deductivo utilizando métodos axiomáticos, que tuvo un profundo impacto en el desarrollo de las matemáticas en las generaciones posteriores. La proposición 47 del primer volumen del libro registra la demostración anterior del teorema de Pitágoras.

Prueba 2

Figura 2

En la Figura 2, colocamos cuatro triángulos rectángulos del mismo tamaño dentro de un cuadrado grande. Presta atención al centro del. cuadrado grande. La parte amarilla clara también es un cuadrado. Supongamos que la longitud de la hipotenusa del triángulo rectángulo es c, y las longitudes de los otros dos lados son a y b, ya que el área del cuadrado grande debe ser igual a la suma de las áreas de los cuatro triángulos rectángulos. y el cuadrado amarillo claro en el medio, tenemos

(a + b)2 = 4(1/2 ab) + c2

Expande para obtener a2 + 2ab + b2 = 2ab + c2

Simplifica para obtener a2 + b2 = c2

De esto sabemos que el teorema de Pitágoras está establecido.

La prueba 2 puede considerarse una prueba muy sencilla. Lo más interesante es que si volteamos el triángulo rectángulo de la imagen y lo colocamos en la Figura 3 a continuación, aún podemos usar un método similar para demostrar el Teorema de Pitágoras. El método es el siguiente:

Figura. 3

Calculado a partir del área, podemos obtener c2 = 4(1/2 ab) + (b - a)2

Ampliado para obtener = 2ab + b2 - 2ab + a2

Simplifique para obtener c2 = a2 + b2 (demostración del teorema)

Otro significado importante de la Figura 3 es que esta prueba fue propuesta por primera vez por un chino. Según los registros, esto provino de Zhao Shuang del estado de Wu durante el Período de los Tres Reinos (alrededor del siglo III d.C.). Cuando Zhao Shuang estaba anotando el "Zhou Bi Suan Jing", agregó una ilustración que llamó "Diagrama cuadrado pitagórico" (o "Diagrama de cuerdas") en el libro, que es la figura de la Figura 3 arriba.

Prueba 3

Figura 4

La Figura 41*** dibuja dos triángulos rectángulos verdes congruentes y un triángulo rectángulo isósceles de color amarillo claro. No es difícil ver que toda la imagen se convierte en un trapezoide.

Usando la fórmula del área del trapezoide, obtenemos:

1/2(a + b)(b + a) = 2(1/2 ab) + 1/2 c2

Expandir para obtener 1/2 a2 + ab + 1/2 b2 = ab + 1/2 c2

Simplifica para obtener a2 + b2 = c2 (demuestra el teorema)

Hay algunos libros sobre la prueba ¡Treinta puntos de refutación, porque este certificado fue escrito por un presidente estadounidense!

En 1881, James A. Garfield (1831-1881) fue elegido como el vigésimo presidente de los Estados Unidos. Lamentablemente, fue asesinado cinco meses después de ser elegido. En cuanto a la prueba relevante del teorema de Pitágoras, la propuso en 1876.

Personalmente creo que la Prueba 3 no es superior. En realidad, es lo mismo que la Prueba 2, ¡excepto que reduce la figura de la Prueba 2 a la mitad! Es más, ¡no creo que la fórmula para el área de un trapezoide sea más simple que la fórmula para el área de un cuadrado!

Además, desde la perspectiva de un profesor, la Prueba 2 y la Prueba 3 tienen el mismo defecto, que es que requieren la identidad (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2. Aunque esta identidad generalmente se incluye en el plan de estudios de secundaria 2, muchos estudiantes no la comprenden por completo. Dado que se utiliza en las dos pruebas anteriores, a menudo hay problemas en la enseñanza, como que los estudiantes no comprendan y no puedan seguir el ritmo.

Prueba 4

(a) (b) (c)

Figura 5

La prueba 4 es la siguiente: Cinco (a ), primero dibujamos un triángulo rectángulo y luego agregamos un cuadrado al lado del triángulo al lado del lado derecho más corto, que se muestra en rojo para mayor claridad. Agrega otro cuadrado debajo del otro lado en ángulo recto, que se muestra en azul. Luego, dibuja un cuadrado con la longitud de la hipotenusa, como se muestra en la Figura 5(b). Vamos a demostrar que la suma de las áreas de los cuadrados rojo y azul es exactamente igual al área del cuadrado dibujado con la hipotenusa.

Observe que en la Figura 5(b), cuando se suma el cuadrado de la hipotenusa, partes de las áreas roja y azul exceden el alcance del cuadrado de la hipotenusa. Ahora mostraré las partes fuera de rango en amarillo, morado y verde. Al mismo tiempo, dentro del cuadrado de la hipotenusa, hay algunas partes que no han sido rellenadas con color. Ahora siga el método de la Figura 5(c) para mover los triángulos fuera de rango a áreas vacías. ¡Descubrimos que las partes fuera del rango simplemente llenaban las áreas sin colorear! De esto encontramos que la suma de las áreas de las partes roja y azul en la Figura 5(a) debe ser igual al área del cuadrado de la hipotenusa en la Figura 5(c). A partir de esto, hemos confirmado el teorema de Pitágoras.

Esta prueba fue propuesta por Liu Hui, un matemático del estado de Wei durante la era de los Tres Reinos. En el cuarto año de Wei Jingyuan (263 d. C.), Liu Hui escribió anotaciones para el antiguo libro "Nueve capítulos de aritmética". En la anotación, dibujó una gráfica como la de la Figura 5(b) para demostrar el teorema de Pitágoras. Porque usó "green out" y "zhu out" para representar las tres partes de amarillo, morado y verde en la imagen, y también usó "green in" y "zhu in" para explicar cómo llenar las partes en blanco de la hipotenusa. cuadrado, por lo que las generaciones posteriores de matemáticos llaman a esta imagen la "imagen de entrada y salida verde y bermellón". Algunas personas también utilizan el término "lo entrante y lo saliente se complementan" para expresar el principio de esta prueba.

En la historia, Liu Hui no fue el único en demostrar el teorema de Pitágoras basado en el principio de "complementos entrantes y salientes". Por ejemplo, han aparecido demostraciones similares en la India, el mundo árabe e incluso. en Europa, pero la apariencia de los dibujos que dibujaron puede ser ligeramente diferente a la de Liu Hui. La Figura 6 a continuación es una combinación de la Figura 5(b) y la Figura 5(c). Observe que he vuelto a dibujar el pequeño cuadrado fuera del triángulo. Eche un vistazo a la Figura 6. ¿Hemos visto alguna vez algo como esto antes?

Imagen 6

De hecho, ¿no es la Imagen 6 lo mismo que la Imagen 1? Simplemente dibuja la Figura 1 desde otro ángulo. Por supuesto, los métodos para dividir el cuadrado son diferentes.

Por cierto, existe una diferencia obvia entre la Prueba Cuatro y la prueba anterior. La Prueba Cuatro no tiene parte de cálculo. La prueba completa se obtiene simplemente moviendo algunos gráficos. No sé si todo el mundo acepta estas "pruebas" sin ningún paso de cálculo, pero a mí me gustan mucho estas "pruebas sin palabras".

Figura 7

Dentro de las diversas "pruebas sin palabras", hay dos que me gustan más. La figura 7 es una de ellas. Esto se hace dividiendo el cuadrado con el lado más grande en ángulo recto en 4 partes, usando una línea vertical y una horizontal. Luego completa los dos cuadrados con ángulos rectos en el cuadrado con hipotenusa según los colores de la Figura 7 para completar la demostración del teorema.

De hecho, hay muchas pruebas realizadas con un método de "rompecabezas" similar, pero no tenemos la intención de enumerarlas todas aquí.

Otra "prueba sin palabras" puede considerarse la más ingeniosa y sencilla. El método es el siguiente:

Prueba 5

(a) (b).

Figura 8

La Figura 8(a) es igual a la Figura 2, ambas están en un cuadrado grande con cuatro triángulos rectángulos colocados. Observe que el área de la parte amarilla clara del diagrama es igual a c2.

Ahora desplazamos los cuatro triángulos rectángulos de la Figura 8(a) para convertirlos en la Figura 8(b). Obviamente, la suma de las áreas de los dos cuadrados amarillo claro en la Figura 8(b) debería ser a2 + b2. Sin embargo, dado que los cuadrados grandes en las dos imágenes (a) y (b) permanecen sin cambios y los cuatro triángulos rectángulos son iguales, las áreas de las dos partes restantes de color amarillo claro también deben ser iguales, por lo que obtenemos a2 + b2 = c2, es decir, demuestra el teorema de Pitágoras.

Hay muchas opiniones sobre el origen de esta prueba: algunos dicen que proviene de antiguos libros de matemáticas chinos; otros creen que Pitágoras hizo esta prueba y sacrificó cien vacas. En resumen, creo que esta es la prueba más sencilla y rápida entre muchas.

No subestimes esta prueba. En realidad, contiene otro significado, que no todo el mundo puede detectar fácilmente. Ahora "aplano" las dos imágenes anteriores en la Figura 9:

(a) (b)

Figura 9

Figura 9 (a) El amarillo claro La parte del medio es un paralelogramo y su área se puede calcular usando la siguiente fórmula: mn sin(a + b), donde myn son las longitudes de las hipotenusas de los dos triángulos rectángulos. Las partes de color amarillo claro en la Figura 9(b) son dos rectángulos, y la suma de sus áreas es: (m cos a)(n sin b) + (m sin a)(n cos b). Como arriba, las áreas de las partes de color amarillo claro de las dos imágenes (a) y (b) son iguales, por lo que combinando las dos ecuaciones y eliminando todos los múltiplos, obtenemos: sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a, ¡esta es la fórmula de ángulo compuesto más importante en trigonometría! ¡Resulta que el teorema de Pitágoras y esta fórmula de ángulo compuesto provienen de la misma prueba!

En la Prueba 2, después de presentar el método de expandir (a + b)2, propuse el "diagrama de cuerdas" de Zhao Shuang, que es un método de expandir (a - b)2. La prueba 5 también tiene una situación similar. Aquí, además de una "prueba sin palabras" similar a (a + b), también tenemos una "prueba sin palabras" similar a (a - b). Este método fue propuesto por el matemático indio Bhaskara (1114-1185), ver Figura 10.

(a) (b)

Figura 10

Prueba 6

Figura 11

Figura 10 1 , dividimos el triángulo rectángulo del medio ABC en dos partes por CD, donde ?C es un ángulo recto, D está encima de AB y CD^AB. Sea a = CB, b = AC, c = AB, x = BD, y = AD. Tenga en cuenta que los tres triángulos en la imagen son similares entre sí, y D DBC ~ D CBA ~ D DCA, entonces

= y =

De esto obtenemos a2 = cx y b2 = cy

Combinando las dos ecuaciones, obtenemos a2 + b2 = cx + cy = c(x + y) = c2. El teorema está demostrado.

Se puede decir que la prueba 6 es muy especial, porque es la única entre todas las pruebas de este artículo que no utiliza el concepto de área. Creo que la prueba 6 también se ha utilizado como prueba del teorema de Pitágoras en algunos libros de texto antiguos. Sin embargo, debido a que esta prueba requiere el concepto de triángulos similares y también requiere girar dos triángulos una y otra vez, es bastante complicado. Hoy en día, pocos libros de texto lo usan y parece que la gente lo ha olvidado gradualmente.

Sin embargo, si lo piensas detenidamente, descubrirás que esta prueba en realidad no es diferente de la Prueba 1 (es decir, la prueba de Euclides). Aunque esta prueba no menciona el área, a2 = cx en realidad significa que el área del cuadrado en BC es igual al área del rectángulo compuesto por los lados AB y BD, que es la parte amarilla en la Figura 1. De manera similar, b2 = cy es la parte verde oscuro en la Figura 1. Desde este punto de vista, ¡ambas pruebas se basan en el mismo principio!

Prueba 7

(a) (b) (c)

Figura 12

En la Figura 12(a), hacemos Aún no conocemos ninguna relación directa entre las áreas de tres cuadrados, pero como la razón de las áreas de dos figuras semejantes es igual al cuadrado de la razón de sus lados correspondientes, y todos los cuadrados son semejantes, sabemos que área I : área II : Área III = a2 : b2 : c2.

Sin embargo, si lo piensa detenidamente, encontrará que en la inferencia anterior, el requisito de "cuadrado" es de hecho redundante, siempre que sea una figura similar, como un semicírculo. en la Figura 12 (b), o las formas extrañas en la Figura 12 (c), siempre que sean similares entre sí, entonces el área I: área II: área III deben ser iguales a a2: b2: c2.

Entre las muchas figuras similares, la más útil es el triángulo rectángulo que es similar al triángulo original.

(a) (b)

Figura 13

En la Figura 13(a), dibujé en los tres lados del triángulo rectángulo en el medio. Los tres triángulos rectángulos superiores son similares al triángulo del medio. Nota: La parte III es en realidad del mismo tamaño que el triángulo original, por lo que el área también es la misma si trazamos una línea vertical desde el vértice del ángulo recto del triángulo hasta la hipotenusa y dividimos el triángulo del medio en dos partes; entonces encontraremos que Figura 13(a) El área I de es exactamente igual al área del lado izquierdo del triángulo del medio, y el área II también es exactamente igual al área del lado derecho. De la Figura 13(b) podemos saber: Área I + Área II = Área III. Al mismo tiempo, dado que área I : área II : área III = a2 : b2 : c2, entonces a2 + b2 = c2.

Entre las siete pruebas, creo que ésta tiene el diseño más ingenioso y las técnicas matemáticas utilizadas también son maravillosas. Desafortunadamente, para un estudiante de secundaria, esta prueba es más difícil de dominar.

No estoy seguro de dónde viene esta prueba. La primera vez que conocí esta prueba fue cuando estaba en la universidad. Un compañero me habló de ella después de verla en la biblioteca. Me dejó una impresión tan profunda que todavía hoy está fresca en mi memoria.

La proposición 31 del volumen 6 de "Elementos de geometría" de Euclides dice: "En un triángulo rectángulo, la figura dibujada en el lado del ángulo recto es igual a la figura dibujada en el lado con el ángulo recto , que es similar a la figura anterior. Y la suma de dos figuras con posiciones similares "Creo que la persona que ideó la Prueba 7 debe haberse referido a esta proposición.

============================================ === =======

Haga clic en el enlace a continuación para ver las imágenes