Resumen de puntos de conocimiento sobre secciones cónicas
Uno de los problemas básicos de la geometría analítica: cómo encontrar la ecuación de una curva (la trayectoria de un punto). Generalmente se divide en dos tipos básicos de preguntas: una es encontrar la ecuación de un tipo de trayectoria conocida, y el método de coeficiente indeterminado se usa comúnmente, como encontrar la ecuación de una línea recta y un círculo es un ejemplo típico; el otro es un tipo de trayectoria desconocido, en este caso, además de usar el método de sustitución, intersección Además de los métodos para encontrar trayectorias como el método de órbita y el método de parámetros, generalmente intentamos usar la definición de trayectorias conocidas para resolver problemas y reducirlos a ecuaciones de trayectoria de tipos de trayectoria conocidos. Por lo tanto, en el proceso de encontrar la ecuación de la trayectoria del punto en movimiento, uno es encontrar la ecuación (relación equivalente) relacionada con las coordenadas del punto en movimiento, enfocándose en el cálculo de números, el otro es encontrar las condiciones geométricas relacionadas con el punto en movimiento; , centrándose en la forma y prestando atención a los gráficos Uso de propiedades geométricas.
En la trayectoria básica, además de las rectas y las circunferencias, existen tres tipos de cónicas: elipse, hipérbola y parábola.
1. Investigación sobre tres tipos de secciones cónicas
(1) Definición unificada, los tres tipos de secciones cónicas pueden considerarse como conjuntos de puntos como este:
, donde F es un punto fijo, d es la distancia l desde P hasta la línea recta fija, F
l, como se muestra en la figura.
Debido a que los tres tienen definiciones unificadas, algunas de sus propiedades y algunos métodos para estudiarlos son regulares.
Cuando 0lt;elt;1, la trayectoria del punto P es una elipse; cuando egt;1, la trayectoria del punto P es una hipérbola; cuando e=1, la trayectoria del punto P es una parábola; .
(2) Definición geométrica de elipse e hipérbola: Elipse: {P||PF1 |PF2|=2a, 2agt|gt;0, F1 y F2 son puntos fijos}, hipérbola { P|||PF1|-|PF2||=2a, |F1F2|gt;2agt;0, F1 y F2 son puntos fijos}.
(3) Propiedades geométricas de las secciones cónicas: Las propiedades geométricas son propiedades intrínsecas e inherentes de las secciones cónicas y no cambian debido a cambios de posición.
①Cualitativa: El foco está en el eje de simetría perpendicular a la directriz.
En elipses e hipérbolas: el centro es el punto medio de los dos focos, y las dos directrices son simétricas respecto a el centro; elipses e hipérbolas. La curva es axialmente simétrica respecto del eje mayor, eje menor o eje real y eje imaginario, y es centralmente simétrica respecto del centro.
②Cuantitativo:
Elipse
Círculo
Doble
Línea Curva
Lanzar
Objeto
Línea
Enfoque
Distancia
2c
p>Longitud del eje mayor
2a
——
Longitud del eje real
——
2a
Longitud del eje menor
2b
Enfoque a la correspondiente
Distancia de la directriz
P=2
p
Longitud del camino
2·
2p
Excentricidad
1
Relación cuantitativa básica
a2=b2 c2
C2=a2 b2
(4) Ecuación estándar de secciones cónicas y cantidad analítica (cambia a medida que cambian las coordenadas)
La ecuación con el foco en el eje x es la siguiente:
Elipse
Círculo
Doble
Curva
Línea
Lanzamiento
Objeto
Línea
Estándar Ecuación
（agt; bgt; 0）
（agt; 0, bgt;
Punto Superior
(±a,0)
(0,±b)
(±a,0 )
(0,0)
Punto de enfoque
Punto
(±c,0)
(
p>
, 0)
cuasi
línea
X=±
x=
Centro
Centro
(0,0)
Delimitación
|x|≤a
|y|≤b
|x|≥a
x≥0
Radio focal
P( x0, y0) está en un punto de la sección cónica, F1 y F2 son los focos izquierdo y derecho respectivamente
|PF1|=a ex0
|PF2|=a-ex0
P es Cuando P está en la rama derecha:
|PF1|=a ex0
|PF2|=-a ex0
Cuando P está en la rama izquierda:
|PF1|=-a-ex0
|PF2|=a-ex0
|PF|=x0
En resumen, al estudiar las secciones cónicas, hay que prestar atención a la definición, esta es la forma de pensar más importante para aprender bien las secciones cónicas. En segundo lugar, es necesario combinar números y formas, no solo dominar las. Teoría de ecuaciones, pero también prestar atención a las propiedades geométricas de las figuras para simplificar operaciones.
2. Relación posicional entre líneas rectas y secciones cónicas
(1) Juicio de relación posicional: método △ (△ es aplicable a ecuaciones cuadráticas y el coeficiente del término cuadrático es no 0).
La recta y la curva tienen un solo punto común ***, incluyendo dos situaciones: la tangente entre la recta y la hipérbola y el paralelo entre la recta y la asíntota de la hipérbola; el último caso, después de la eliminación, con respecto a x O el coeficiente del término cuadrático de la ecuación y es 0.
Solo existe un punto común entre una recta y una parábola, incluyendo dos casos donde la recta y la parábola son tangentes y la recta es paralela al eje de simetría de la parábola; caso, la ecuación de x o y después de la eliminación El coeficiente del término cuadrático es 0.
(2) Cuando una línea recta y una sección cónica se cruzan, las coordenadas del punto de intersección son las soluciones del sistema de ecuaciones.
Cuando se trata del punto medio de una cuerda, generalmente hay dos formas de tratarlo: una es el teorema de Vedic; la otra es el método de diferencia de puntos.
4. El problema del rango de valores de parámetros en secciones cónicas generalmente se considera de dos maneras: una es establecer una función y utilizar el método de evaluación del dominio para encontrar el rango; desigualdad y encuentre el rango resolviendo la desigualdad.