¿Qué son los conjuntos finitos, los conjuntos contables y los conjuntos finitos contables? Después de leer la definición a continuación, no la entiendo del todo. Por favor explique, gracias. ¿Puedes dar un ejemplo?
(1) Los conjuntos finitos se pueden relacionar con {1, 2, 3, 4,..., n} (n es cualquier número natural). En pocas palabras, es una colección de números que se pueden contar para siempre. Por ejemplo, (1, 2, 3, 4..., 100) es un conjunto finito.
(2) Conjunto finito o conjunto infinito.
(3) Los conjuntos contables son conjuntos infinitos que pueden ser biyectivos con el conjunto de los números naturales, también llamados conjuntos contables. Un conjunto contable es el conjunto infinito más pequeño.
(4) Un conjunto incontable es un conjunto infinito que no puede representarse mediante números naturales.
En primer lugar, conjuntos finitos y conjuntos infinitos
(1) El punto popular (pero no lo suficientemente científico) es el número de elementos en un conjunto. Representado por números, 1, 2,... Por ejemplo, el conjunto {1, 2, 3} tiene tres elementos y la base es 3. El número base también se llama número base. Cuando la cardinalidad de un conjunto es cualquier número específico, se le llama conjunto finito.
(2) Cuando la cardinalidad del conjunto excede el rango de los números naturales, es mayor que cualquier número natural. es un conjunto infinito.
Por ejemplo, todos los números naturales son el primer conjunto infinito. Su base se llama aleph cero, Alef, que es la primera letra del alfabeto hebreo.
Segunda cuestión, contables e incontables
(1) No todos los conjuntos infinitos pueden formar una correspondencia uno a uno con todos los números naturales, es decir, la base (aleph) es número infinito cero. Como los números reales. Por supuesto, todos los números reales son infinitos, pero no existe una correspondencia uno a uno entre ellos y los números naturales. Por tanto, por encima de los infinitos de todos los números reales, hay un infinito aún mayor.
En otras palabras, (aleph cero)
(2) no puede enumerar todos los números reales, ni siquiera enumerar indirectamente un conjunto infinito. Aunque no se pueden enumerar todos los números racionales en sí, podemos establecer una relación de mapeo uno a uno entre todos los números naturales y ellos.
Por ejemplo, todos los números racionales se expresan como,...q(0), q(1), q(2),..., por lo que también se pueden enumerar. Esto se puede demostrar estrictamente, pero no se puede dar para todos los números reales. Por tanto, no está incluido en esta lista.
Datos ampliados:
Un conjunto finito es un conjunto compuesto por un número finito de elementos, también llamado conjunto finito. Por ejemplo, el conjunto compuesto por Beijing, Tianjin y Shanghai, y el conjunto compuesto por todos los números primos menores que 10.000 es un conjunto finito. Un conjunto que contiene solo un elemento es un conjunto finito especial llamado conjunto de un solo elemento, y un conjunto que contiene al menos un elemento se llama conjunto no vacío.
Un conjunto sin ningún elemento se llama conjunto vacío. Sólo hay un conjunto vacío, generalmente representado por la letra griega φ (o {}). Por ejemplo, si un conjunto se basa en estudiantes que no aprobaron el examen de matemáticas en una clase, pero en realidad todos los estudiantes de la clase aprobaron el examen de matemáticas, entonces el conjunto es el conjunto vacío φ.
En teoría de conjuntos, se reconoce que el conjunto vacío φ es un conjunto finito, y el conjunto vacío es un subconjunto de todos los conjuntos.
Existen dos formas de definir conjuntos finitos.
(1) Uno es un conjunto de segmentos de línea equivalente a una cadena de números naturales y el otro es un conjunto vacío. Ambos se llaman conjuntos finitos; el conjunto que no es un conjunto finito se llama conjunto. conjunto infinito.
(2) Otra definición es que los conjuntos no vacíos y los conjuntos vacíos que no son equivalentes a sus propios subconjuntos propios se denominan conjuntos finitos, y los conjuntos de conjuntos no finitos se denominan conjuntos infinitos.
Si un conjunto tiene una correspondencia uno a uno con un conjunto de números enteros positivos, entonces el conjunto se llama conjunto contable (o conjunto contable, es decir, hay un conjunto doble de este conjunto); al conjunto de números enteros positivos (también llamado mapeo reversible).
(1) El conjunto de los números naturales, el conjunto de los números racionales y el conjunto de los números algebraicos son todos conjuntos contables.
(2) El conjunto de los números reales, el conjunto de los números complejos, el conjunto de las rectas y el conjunto de los puntos planos son todos conjuntos incontables (o conjuntos incontables).
El conjunto contable es el conjunto infinito más pequeño; su conjunto potencia es incontable: se corresponde uno a uno con el conjunto de números reales (también llamado el mismo potencial). El llamado conjunto potencia es la familia de conjuntos compuesta por todos los subconjuntos del conjunto original (incluido el conjunto completo y el conjunto vacío).
Demostrar que el conjunto Q de números racionales es un conjunto contable.
Certificado: Dado que el intervalo (?∞, ∞) se puede expresar como la unión (n∈Z) de intervalos contables (n, n 1), sólo nos falta demostrar que en el intervalo (0 , 1) Los números racionales son un conjunto contable.
Porque los números racionales en el intervalo (0, 1) se pueden expresar de forma única como fracciones reducidas q/p, donde p∈N, q∈N, q≤p, p y q son primos relativos. Ordenamos estos números racionales de la siguiente manera:
El denominador p=1 tiene solo una fracción descendente: x 11 = 1;
El denominador p=2 tiene solo una fracción descendente : x21? =1/2;
Hay dos fracciones irreducibles con denominador p=3: x31=1/3, x32? =2/3;
Sólo existen dos fracciones descendentes del denominador p=4: x41=1/4, x42 = 3/4;
En general, el denominador p =n La fracción irreducible de no excede n-1 como máximo, lo que se puede registrar como xn1, xn2,..., xnk(n), donde k (n) ≤ n.
Así que todos los números racionales en el intervalo (0, 1) se pueden ordenar.
x11, x21, x31, x32, x41, x42,..., xn1, xn2,..., xnk(n),....
Esto demuestra que el número racional Q es un conjunto contable.
Se puede demostrar que los conjuntos contables tienen las siguientes propiedades importantes:
1. La unión de conjuntos contables finitos es contable.
2. Los conjuntos contables son conjuntos contables.
3. Cualquier subconjunto infinito de un conjunto contable es un conjunto contable.
4. Cualquier conjunto infinito contiene un subconjunto propio contable.
5. La unión de un conjunto infinito y el último conjunto contable también es equipotencial consigo mismo.
6. El conjunto potencia de los conjuntos contables es igual al conjunto de los números reales.
Materiales de referencia:
Se puede configurar_Enciclopedia Baidu
Conjunto limitado_Enciclopedia Baidu