¿Qué es el análisis funcional?

Un espacio compuesto de funciones. El análisis funcional se desarrolla a partir del estudio de las propiedades de las transformaciones (como las transformadas de Fourier, etc.) y del estudio de ecuaciones diferenciales y ecuaciones integrales. El uso de funcionales como representación proviene del cálculo de variaciones y representa funciones que actúan sobre funciones.

Stefan Banach es uno de los principales fundadores de la teoría del análisis funcional, y el matemático y físico Vito Volterra contribuyó de manera importante a la aplicación generalizada del análisis funcional.

El análisis funcional es una rama de las matemáticas formada en la década de 1930. Se desarrolló a partir del estudio de problemas de variación, ecuaciones integrales y física teórica. Utiliza de manera integral las perspectivas de la teoría de funciones,

geometría y

álgebra para estudiar funciones,

operadores y teoría de límites en espacios vectoriales de dimensión infinita. Puede considerarse como la geometría analítica y el análisis matemático del espacio vectorial de dimensión infinita. Los contenidos principales incluyen espacios lineales topológicos, etc. El análisis funcional tiene aplicaciones en ecuaciones de física matemática, teoría de probabilidad, matemáticas computacionales y otras materias. También es una herramienta matemática para estudiar sistemas físicos con infinitos grados de libertad. El análisis funcional es una rama de la ciencia que estudia asignaciones desde espacios lineales topológicos a espacios lineales topológicos que satisfacen diversas condiciones topológicas y algebraicas.

La base de la descripción matemática de la mecánica cuántica. Un análisis funcional más general también estudia espacios sin normas definidas, como los espacios de Fréchet y los espacios vectoriales topológicos.

Un objeto importante estudiado en el análisis funcional son los operadores lineales continuos en espacios de Banach y

espacios de Hilbert

. Este tipo de operador puede derivar los conceptos básicos del álgebra C* y otras álgebras de operadores.

1. Espacio de Hilbert

El espacio de Hilbert se puede clasificar completamente usando la siguiente conclusión, es decir, para dos espacios de Hilbert cualesquiera, si las cardinalidades de sus bases son iguales, entonces deben ser isomórficos entre sí. Para un espacio de Hilbert de dimensión finita, los operadores lineales continuos son las transformaciones lineales estudiadas en álgebra lineal. Para el espacio de Hilbert de dimensión infinita, cualquier morfismo en él se puede descomponer en morfismos en dimensiones contables (la base es 50), por lo que el análisis funcional estudia principalmente el espacio de Hilbert en dimensiones contables. Un problema sin resolver en el espacio de Hilbert es si existe un subespacio invariante verdadero para cada operador en el espacio de Hilbert. La respuesta a esta pregunta es sí en determinadas circunstancias.

2. Espacio de Banach

El espacio de Banach general es relativamente complejo. Por ejemplo, no existe una forma general de construir un conjunto de bases sobre él.

Para todo número real p, si p ≥ 1, un ejemplo de espacio de Banach es el espacio formado por "las funciones medibles de Lebesgue cuyas integrales convergen sobre todos los valores absolutos elevados a la potencia p". (Ver espacio Lp)

En el espacio de Banach, una parte considerable de la investigación involucra el concepto de espacio dual, es decir, el espacio compuesto por todos los funcionales lineales continuos en el espacio de Banach. El espacio dual de un espacio dual puede no ser isomorfo al espacio original, pero siempre es posible construir un monomorfismo desde un espacio de Banach al espacio dual de su espacio dual.

El concepto de diferencial se puede generalizar en el espacio de Banach. Los operadores diferenciales actúan sobre todas las funciones que hay en él. El diferencial de una función en un punto dado es un mapa lineal continuo.

Leema de Zorn. Además, la mayoría de los teoremas importantes en el análisis funcional se basan en el teorema de Hann-Banach, y el teorema en sí es que el axioma de elección es más débil que el teorema del ideal primo booleano.

La Física Matemática

, desde una perspectiva más amplia, abarca la mayoría de los tipos de problemas de la teoría de la representación, tal como lo describe Israel Gelfand.

En los trabajos publicados por Adama se encuentran semillas de la generalización del análisis. Más tarde, Hilbert y Heringer crearon la investigación sobre el "espacio de Hilbert". En la década de 1920, el análisis general, es decir, el concepto básico de análisis funcional, se había formado gradualmente en la comunidad matemática.

Debido a la formación de muchos departamentos nuevos en análisis, se revela que muchos conceptos y métodos de análisis, álgebra y conjuntos a menudo tienen similitudes.

Por ejemplo, el método de aproximación sucesiva se puede aplicar tanto a la búsqueda de raíces de ecuaciones algebraicas como a la solución de ecuaciones diferenciales, y las condiciones de existencia y unicidad de las soluciones también son muy similares. Esta similitud es aún más prominente en la teoría de ecuaciones integrales. El surgimiento del análisis funcional está relacionado con esta situación. Algunas cosas que pueden parecer irrelevantes a primera vista tienen aspectos similares. Por lo tanto, inspira a las personas a explorar las cosas generales y verdaderamente esenciales a partir de cosas similares.

El establecimiento de la geometría no euclidiana ha ampliado la comprensión de la gente sobre el espacio. El surgimiento de la geometría espacial n-dimensional nos permite interpretar funciones multivariables en la influencia del espacio multidimensional en el lenguaje de la geometría. De esta manera se muestran las similitudes entre análisis y geometría, y al mismo tiempo existe la posibilidad de geometrizar el análisis. Esta posibilidad requiere una mayor generalización de los conceptos geométricos y, finalmente, la expansión del espacio euclidiano a un espacio de infinitas dimensiones.

En esta época se le dio un significado más general al concepto de función. El concepto de función en el análisis clásico hace referencia a una relación de correspondencia que se establece entre dos conjuntos de números. El desarrollo de las matemáticas modernas requiere el establecimiento de una cierta correspondencia entre dos conjuntos arbitrarios.

Aquí primero presentamos el concepto de operadores. El operador también se llama operador. En matemáticas, la transformación de un espacio de dimensiones infinitas a un espacio de dimensiones infinitas se llama operador.

El estudio de la teoría de funciones funcionales y operadores en espacios lineales de dimensión infinita ha producido una nueva matemática analítica llamada análisis funcional. En la década de 1930, el análisis funcional ya se había convertido en una disciplina independiente de las matemáticas.

Disciplinas como la teoría de la probabilidad, las matemáticas computacionales, la mecánica del continuo y la física cuántica tienen una amplia gama de aplicaciones. En la última década, el análisis funcional se ha aplicado de manera más efectiva en la tecnología de ingeniería. También penetra en diversas ramas de las matemáticas y juega un papel importante.