Presentar algunas teorías matemáticas profundas y difíciles relacionadas con la filosofía, como las paradojas.
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Las paradojas incluyen principalmente paradojas lógicas, paradojas de probabilidad, paradojas geométricas, paradojas estadísticas y paradojas del tiempo.
La paradoja de Russell conmocionó a todo el campo de las matemáticas por su simplicidad y claridad, lo que condujo a la tercera crisis matemática. Sin embargo, la paradoja de Russell no es la primera paradoja. No hace falta decir que Cantor y Brary cuarenta habían descubierto la contradicción en la teoría de conjuntos poco antes que Russell. Después de la publicación de la Paradoja de Russell, aparecieron una serie de paradojas lógicas. Estas paradojas me recuerdan la antigua paradoja del mentiroso. Es decir, "estoy mintiendo" y "esta frase es mentira". La combinación de estas paradojas crea problemas importantes y suscita preocupación sobre cómo resolverlos.
La primera paradoja publicada fue la Paradoja Cuarenta de Brary, que hace referencia a que los números ordinales forman un conjunto ordenado según su orden natural. Este conjunto bien ordenado también tiene un número ordinal ω por definición, y debería pertenecer a este conjunto bien ordenado por definición. Pero de acuerdo con la definición de números ordinales, si el número ordinal de cualquier segmento de la secuencia ordinal es mayor que cualquier número ordinal del segmento, entonces ω debe ser mayor que cualquier número ordinal, por lo que no pertenece a ω. Esto fue propuesto por Brary Foti en un artículo presentado en la Conferencia de Matemáticas de Palomo el 28 de marzo de 1997. Fue la primera paradoja moderna que se publicó, lo que despertó el interés en la comunidad matemática y dio lugar a un animado debate durante muchos años después. Hay docenas de artículos que discuten las paradojas, que han contribuido en gran medida al reexamen de los fundamentos de la teoría de conjuntos.
El propio Blary Foday cree que esta contradicción prueba que el orden natural de los números ordinales es sólo un orden parcial, lo que contradice el conjunto ordinal resultante demostrado por Cantor hace unos meses. Posteriormente, Blary Foday no realizó ningún trabajo en este ámbito.
Russell argumentó en sus "Principios de Matemáticas" que aunque el conjunto de números ordinales está completamente ordenado, no está bien ordenado, pero esta afirmación no es confiable porque el primer segmento de cualquier número ordinal dado Todo en buen orden. El lógico francés Jourdain encontró una salida. Distinguió entre conjuntos compatibles y conjuntos incompatibles. De hecho, Cantor había utilizado esta distinción en privado durante muchos años. Poco después, Russell cuestionó la existencia de conjuntos ordinales en un artículo de 1905. Zemelo tuvo la misma idea, y muchos otros en el campo sostuvieron más tarde la misma idea.
Paradojas de las matemáticas clásicas
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Hay muchas paradojas famosas en el país y en el extranjero en los tiempos antiguos y modernos que impactan los fundamentos de la matemática clásica. lógica y matemáticas e inspiración Ha estimulado la curiosidad y el pensamiento preciso de las personas, y ha atraído la atención de muchos pensadores y entusiastas a lo largo de los siglos. Resolver problemas de paradojas requiere pensamiento creativo y la solución de paradojas a menudo aporta nuevas ideas a las personas.
Este artículo divide a grandes rasgos las paradojas en seis tipos, divididos en tres partes: superior, media e inferior. Esta es la primera parte: Paradojas provocadas por el concepto de autorreferencia y paradojas provocadas por la introducción del infinito
(1) Paradojas provocadas por la autorreferencia
Una de las siguientes ejemplos El problema de la autorreferencia o autorrelevancia del concepto: si partimos de una proposición positiva, obtendremos su proposición negativa; si partimos de una proposición negativa, obtendremos su proposición positiva;
1-1 La paradoja del mentiroso
En el siglo VI a. C., el filósofo Epiménides, un cretense, dijo: "Todos los cretenses mienten", dijo uno de los poetas. "Ahí es donde De donde proviene esta famosa paradoja.
Se menciona en la Biblia: "Un profeta local entre el pueblo Pu Yongsu dijo: 'Los celtas mienten a menudo, pero son bestias malvadas, codiciosas y perezosas'" (Tito 1). Se puede ver que esta paradoja es famosa, pero a Pablo no le interesa su solución lógica.
La gente se preguntará: ¿Epimínides miente? La forma más simple de esta paradoja es:
1-2 "Estoy mintiendo"
Si él está mintiendo, entonces "estoy mintiendo" es una mentira, entonces lo que dijo es La verdad; pero si fuera verdad, estaba mintiendo de nuevo. Los conflictos son inevitables. Su copia:
1-3 "Esta oración es incorrecta"
Una forma estándar de esta paradoja es: si ocurre el evento A, entonces se deduce que no A, si no Si A ocurre, entonces se deduce A. Este es un bucle lógico infinito autocontradictorio. El cuerpo unilateral en topología es una expresión de imagen.
El filósofo Russell una vez pensó detenidamente en esta paradoja y trató de encontrar una solución.
Dijo en el capítulo 7 "Principios matemáticos" de "El desarrollo de mi filosofía": "Desde Aristóteles, los lógicos de cualquier escuela parecen ser capaces de deducir algunas contradicciones a partir de sus premisas aceptadas. Esto demuestra que había un problema, pero no podía No señalo una manera de corregirlo. En la primavera de 1903, un descubrimiento contradictorio interrumpió la luna de miel lógica que estaba disfrutando."
Dijo: La paradoja del mentiroso simplemente resumió la contradicción que descubrió. : " El mentiroso dijo: 'Todo lo que dije es falso'. De hecho, esto es lo que dijo, pero esta frase se refiere a todo lo que dijo. Sólo incluyendo esta frase en ese grupo de personas, habrá una contradicción "(ibid. )
Russell intentó resolverlo mediante proposiciones jerárquicas: "Se puede decir que las proposiciones de primer nivel son aquellas que no involucran la proposición general; las proposiciones de segundo nivel son aquellas que involucran la totalidad de la proposición global; proposición de nivel; el resto son así, incluso infinitos”. "Durante todos los años 1903 y 1904 me dediqué casi por completo a este asunto, pero fracasé por completo." (ibid.)
Principia Mathematica intenta deducir la totalidad de la matemática pura a partir de las premisas de la matemática pura. lógica, explicar conceptos en términos lógicos y evitar la ambigüedad del lenguaje natural. Pero en el prefacio del libro, lo llamó "la publicación de un libro que contiene tantas controversias no resueltas". Se puede ver que no es fácil resolver completamente esta paradoja desde la lógica de los fundamentos matemáticos.
Seguidamente señaló que en toda paradoja lógica, hay una "autorreferencia reflexiva", es decir, "contiene algo sobre el todo del que es parte" este punto de vista. es fácil de entender. Si alguien piensa que Park Jung-soo dice esta paradoja, se elimina automáticamente. Pero en la teoría de conjuntos el problema no es tan sencillo.
1-4 La paradoja de Barbour
En Savile Village, el barbero colgó un cartel: "Sólo hago cortes de pelo a aquellos del pueblo que no se cortan el pelo". Le preguntó: "¿Te cortas el pelo?" El barbero se quedó sin palabras.
Esto es una paradoja: si un barbero no corta el pelo, es el tipo de persona que aparece en el cartel. Como prometió, debería cortarse el pelo. Por otro lado, si el barbero se corta el pelo, según la marca, sólo puede cortar el pelo de las personas del pueblo que no se cortan el pelo, y no puede cortarlo él mismo.
Así que no importa cómo responda el barbero, no se pueden descartar contradicciones internas. Esta paradoja fue propuesta por Russell en 1902, por lo que también se la llama "paradoja de Russell". Ésta es una expresión popular y narrativa de la paradoja de la teoría de conjuntos. Evidentemente, existe también un problema "autorreferencial" inevitable.
1-5 Paradojas de la teoría de conjuntos
"R es el conjunto de todos los conjuntos que no se contiene a sí mismo".
La gente también preguntará: "R ¿Contiene a R?" Si no, según la definición de R, R debería pertenecer a R, y si R se contiene a sí mismo, entonces R no pertenece a R.
Después de que la paradoja de la teoría de conjuntos de Russell encontrara problemas con los fundamentos matemáticos, Kurt Gödel (checo, 1906-1978) propuso un "teorema incompleto" en 1931, rompiendo 19 El ideal de los matemáticos de fin de siècle de que "todos los matemáticos Los sistemas pueden derivarse de la lógica." Este teorema señala que cualquier sistema de postulados es incompleto y debe haber proposiciones que no pueden afirmarse ni negarse. Por ejemplo, la negación del "axioma de líneas paralelas" en la geometría euclidiana ha producido varias geometrías no euclidianas; la paradoja de Russell también muestra que el sistema de axiomas de la teoría de conjuntos es incompleto.
1-6 Paradoja bibliográfica
Una biblioteca compiló un diccionario de títulos de libros, que enumeraba todos los libros de la biblioteca que no incluían sus propios títulos. Entonces, ¿incluirá su propio título?
Esta paradoja es básicamente consistente con la paradoja de Barber.
1-7 La paradoja de Sócrates
Sócrates (470-399 a. C.), un ateniense, conocido como el "Confucio de Occidente", fue un gran filósofo de la antigua Grecia. se opusieron a los famosos sofistas Pruitt Goras, Gorges y otros. Desarrolló una "definición" para contrarrestar la retórica confusa de los sofistas, identificando cientos de teorías diversas. Pero sus conceptos morales no fueron aceptados por los griegos, y cuando tenía setenta años, fue considerado un representante de los sofistas. Doce años después de expulsar a Pruitt Golas y quemar libros, Sócrates también fue condenado a muerte, pero sus teorías fueron heredadas por Platón y Aristóteles.
Sócrates dijo la famosa frase: “Sólo sé una cosa, y es no saber nada.
"
Esto es una paradoja. No podemos inferir de esta frase si Sócrates no conoce el asunto en sí. Hay ejemplos similares en la antigua China:
1-7" Las palabras están llenas de contradicciones"
Esto es lo que dijo Zhuangzi en "Zhuangzi · La teoría de todas las cosas". Posteriormente los mohistas replicaron: Si "todas las cosas están en contra de la verdad", ¿no estaría la declaración de Zhuangzi en contra de la verdad? A menudo decimos:
1-7 "No existe una verdad absoluta en el mundo"
No sabemos si esta frase en sí es "una verdad absoluta"
1-8 "Absurdo. "Verdad"
Algunos diccionarios definen la paradoja como "verdad absurda". Este oxímoron en sí mismo es también una "paradoja comprimida". Paradoja proviene del griego "para+dokein", que significa "Piensa más".
Estos ejemplos ilustran que, lógicamente, no pueden escapar del círculo vicioso provocado por los conceptos autorreferenciales. Continuaremos en la última parte de la siguiente sección. >