¿Qué es una matriz ortogonal?

¿Qué es una matriz ortogonal de la siguiente manera:

Definición

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Si: AAT=E (E es la identidad matriz, AT significa "la matriz transpuesta de la matriz A") o ATA = E, entonces la matriz real A de orden n se llama matriz ortogonal. Si A es una matriz ortogonal, ¿se cumplen las siguientes condiciones? ]:

1)AT es una matriz ortogonal

2) (E es la matriz unitaria)

3) Cada fila de AT es un vector unitario y es ortogonal en pares

4) Cada columna de AT es un vector unitario y cada par es ortogonal

5) (Ax, Ay)=(x, y)x, y∈ R

6)|A|=1 o -1

7)

8) Las matrices ortogonales suelen representarse con la letra Q.

(9) Ejemplo:

Si A=[r11r12r13; r21r22r23; r31r32r33], entonces existe:

Teorema

En la matriz En teoría, la matriz ortogonal real es la matriz cuadrada Q, y su matriz transpuesta es su matriz inversa. Si el determinante de la matriz ortogonal es 1, se llama matriz ortogonal especial.

1. La condición necesaria y suficiente para que la matriz cuadrada A sea ortogonal es que el grupo de vectores de fila (columna) de A sea un grupo de vectores unitarios ortogonales

2. y condición suficiente para que la matriz cuadrada A sea ortogonal La condición necesaria y necesaria es que los n vectores de fila (columna) de A sean un conjunto de bases ortonormales estándar del espacio vectorial n-dimensional;

3. La condición necesaria y suficiente para que A sea una matriz ortogonal es: el conjunto de vectores fila de A. Cada par es ortogonal y ambos son vectores unitarios;

4. El grupo de vectores columna de A también es una unidad ortogonal. grupo de vectores.

5. La matriz cuadrada ortogonal es la matriz de transición de la base ortonormal estándar a la base ortonormal estándar en el espacio euclidiano.