¿Qué es el cálculo? ¿Introducción al cálculo?

Cálculo

Cálculo es el término general para el cálculo diferencial y el cálculo integral.

Todo en el mundo objetivo, desde partículas hasta objetos tan grandes como el universo, está siempre en movimiento y cambiando. Por lo tanto, una vez introducido el concepto de variables en matemáticas, es posible describir los fenómenos de movimiento utilizando las matemáticas.

Debido al surgimiento y profundización de la aplicación del concepto de función, y también debido a las necesidades del desarrollo de la ciencia y la tecnología, surgió una nueva rama de las matemáticas después de la geometría analítica, que es el cálculo. La asignatura de cálculo juega un papel muy importante en el desarrollo de las matemáticas. Se puede decir que es la mayor creación de todas las matemáticas después de la geometría euclidiana.

El establecimiento del cálculo

El cálculo se convirtió en una materia en el siglo XVII, pero las ideas de cálculo diferencial y cálculo integral ya se habían producido en la antigüedad.

En el siglo III a.C., Arquímedes de la antigua Grecia resolvió implícitamente el problema del área del arco parabólico, el área de la esfera y la corona esférica, el área bajo la espiral y la Volumen del hiperboloide giratorio. Contiene las ideas del cálculo integral moderno. En cuanto a la teoría del límite, que es la base del cálculo diferencial, se ha discutido claramente en la antigüedad. Por ejemplo, en el "Capítulo Mundial" de "Zhuangzi" escrito por Zhuang Zhou de mi país, está registrado que "se tomará la mitad de un palo de un pie todos los días y será inagotable por la eternidad". Liu Hui durante el período de los Tres Reinos mencionó en su arte de cortar un círculo: "Si lo cortas lo más fino posible, no perderás nada. Si lo cortas una y otra vez hasta que no se pueda cortar, se integrará con el circunferencia y nada se perderá." Estos son todos. Un concepto simple y típico de límite.

En el siglo XVII, había muchos problemas científicos que debían resolverse, y estos problemas se convirtieron en los factores que impulsaron la creación del cálculo. En resumen, existen cuatro tipos principales de problemas: el primer tipo surge directamente al estudiar el movimiento, es decir, el problema de encontrar la velocidad instantánea. El segundo tipo de problema consiste en encontrar la tangente de una curva. El tercer tipo de problema consiste en encontrar los valores máximo y mínimo de una función. El cuarto tipo de problema es encontrar la longitud de la curva, el área encerrada por la curva, el volumen encerrado por la superficie curva, el centro de gravedad del objeto y la fuerza gravitacional de un objeto bastante grande sobre otro objeto.

Muchos matemáticos, astrónomos y físicos famosos del siglo XVII han realizado muchos trabajos de investigación para resolver los tipos de problemas anteriores, como Fermat, Descartes y Roboird en Francia, Desargues y. Wallis de Gran Bretaña; Kepler de Alemania; Cavalieri de Italia y otros han propuesto muchas teorías muy fructíferas. Contribuyó a la creación del cálculo.

En la segunda mitad del siglo XVII, basándose en el trabajo de sus predecesores, el gran científico británico Newton y el matemático alemán Leibniz investigaron y completaron de forma independiente la creación del cálculo en sus propios países. Es sólo un trabajo muy preliminar. Su mayor logro es conectar dos problemas aparentemente no relacionados, uno es el problema de la tangente (el problema central del cálculo diferencial) y el otro es el problema de la cuadratura (el problema central del cálculo integral).

El punto de partida de Newton y Leibniz para establecer el cálculo fue la cantidad infinitesimal intuitiva, por lo que esta disciplina también se llamó en sus inicios análisis infinitesimal. De ahí el nombre de la rama del análisis en matemáticas. hoy. . Newton estudió cálculo centrándose en cinemática, pero Leibniz se centró en geometría.

Newton escribió "El método de las corrientes y las series infinitas" en 1671. Este libro no se publicó hasta 1736. En este libro, señaló que las variables son variables continuas de puntos, líneas y superficies. es producido por el movimiento niega la creencia anterior de que las variables son colecciones estáticas de elementos infinitesimales. Llamó cantidades de flujo a las variables continuas, y a las derivadas de estas cantidades de flujo las llamó números de flujo. El problema central planteado por Newton en los flujos es: dada la trayectoria del movimiento continuo, encontrar la velocidad en un momento dado (método diferencial, dada la velocidad del movimiento, encontrar la distancia recorrida en un tiempo dado (método de integración);

El alemán Leibniz fue un erudito en matemáticas. En 1684, publicó lo que ahora se considera el documento de cálculo más antiguo del mundo. Este artículo tiene un título largo y extraño: "Un nuevo método para encontrar máximos y mínimos". y tangentes, que también es aplicable a fracciones y cantidades irracionales, y a maravillosos tipos de cálculos de este nuevo método." Incluso un artículo así, cuyo razonamiento es bastante vago, tiene un significado trascendental. Contiene notación diferencial moderna y leyes diferenciales básicas. En 1686 Leibniz publicó el primer documento sobre cálculo integral.

Es uno de los mayores estudiosos de símbolos de la historia. Los símbolos de cálculo que creó son muy superiores a los símbolos de Newton, que tuvieron una gran influencia en el desarrollo del cálculo. Leibniz eligió cuidadosamente la notación universal para el cálculo que utilizamos hoy en día.

La creación del cálculo ha promovido en gran medida el desarrollo de las matemáticas. Muchos problemas que las matemáticas elementales no podían resolver en el pasado a menudo pueden resolverse mediante el uso del cálculo, lo que demuestra el extraordinario poder del cálculo.

Como se mencionó anteriormente, la creación de una ciencia no es de ninguna manera la actuación de una sola persona, debe ser el resultado del esfuerzo de muchas personas y de la acumulación de una gran cantidad de resultados, y finalmente. por una o varias personas Resumen personal completado. Lo mismo ocurre con el cálculo.

Desafortunadamente, mientras la gente apreciaba los magníficos efectos del cálculo, cuando propusieron quién fue el fundador de esta materia, en realidad causaron un gran revuelo, causando un gran revuelo en las matemáticas en el continente europeo. -Rivalidad permanente entre matemáticos y matemáticos británicos. Durante un período de tiempo, las matemáticas británicas estuvieron cerradas al país, limitadas por prejuicios nacionales y estancadas en las "matemáticas fluidas" de Newton. Como resultado, el desarrollo de las matemáticas se quedó atrás durante cien años.

De hecho, Newton y Leibniz llevaron a cabo su propia investigación independiente y la completaron aproximadamente al mismo tiempo. Lo que es especial es que Newton fundó el cálculo unos 10 años antes que Leibniz, pero Leibniz publicó la teoría del cálculo tres años antes que Newton. Cada uno de sus estudios tiene fortalezas y debilidades. En aquella época, debido a los prejuicios nacionales, el debate sobre la prioridad de la invención se prolongó durante más de cien años a partir de 1699.

Cabe señalar que esto es como completar cualquier teoría importante de la historia, que lleva un período de tiempo, y el trabajo de Newton y Leibniz también es muy imperfecto. Sus opiniones sobre la cuestión de las cantidades infinitas e infinitesimales son inconsistentes y muy vagas. La cantidad infinitesimal de Newton a veces es cero y otras veces no es cero, pero la cantidad finita y pequeña de Leibniz no puede justificarse; Estos defectos fundamentales condujeron en última instancia a la segunda crisis matemática.

No fue hasta principios del siglo XIX que los científicos de la Academia de Ciencias de Francia, liderados por Cauchy, llevaron a cabo investigaciones serias sobre la teoría del cálculo y establecieron la teoría del límite, que posteriormente se desarrolló aún más. por el matemático alemán Weierstrass El rigor de la teoría hizo de la teoría de límites una base firme para el cálculo. Sólo entonces se desarrolló aún más el cálculo.

Cualquier logro científico emergente con promesas ilimitadas atrae a un gran número de trabajadores científicos. También hay algunas estrellas que brillan en la historia del cálculo: Jacob Bernoulli de Suiza y su hermano John Bernoulli, Euler, Lagrange de Francia, Corsi...

Ya sea geometría euclidiana o álgebra antigua y medieval, todas son Las matemáticas constantes. El cálculo es la verdadera matemática variable y una gran revolución en las matemáticas. El cálculo es la rama principal de las matemáticas avanzadas. No se limita solo a resolver problemas de cambio de velocidad en mecánica, sino que galopa en el campo de la ciencia y la tecnología modernas y ha logrado innumerables grandes logros.

El contenido básico del cálculo

Estudiar funciones y estudiar los cambios de movimiento de las cosas desde el aspecto cuantitativo son los métodos básicos del cálculo. Este método se llama análisis matemático.

Originalmente, en un sentido amplio, el análisis matemático incluye muchas subdisciplinas como el cálculo y la teoría de funciones, pero ahora es generalmente habitual equiparar el análisis matemático con el cálculo, y el análisis matemático se ha convertido en sinónimo de cálculo. Cuando mencionas análisis matemático, sabes que te refieres al cálculo. Los conceptos básicos y el contenido del cálculo incluyen el cálculo diferencial y el cálculo integral.

Los principales contenidos del cálculo diferencial incluyen: teoría de límites, derivadas, cálculo diferencial, etc.

Los principales contenidos del cálculo integral incluyen: integrales definidas, integrales indefinidas, etc.

El cálculo se desarrolló en relación con su aplicación. Inicialmente, Newton aplicó el cálculo y las ecuaciones diferenciales para derivar las tres leyes del movimiento planetario de Kepler a partir de la ley de la gravitación universal. Desde entonces, el cálculo ha impulsado enormemente el desarrollo de las matemáticas, así como de diversas ramas de las ciencias naturales, las ciencias sociales y las ciencias aplicadas como la astronomía, la mecánica, la física, la química, la biología, la ingeniería y la economía. Y tiene aplicaciones cada vez más amplias en estas disciplinas, especialmente la aparición de las computadoras, lo que favorece más el desarrollo continuo de estas aplicaciones.