¿Qué es infinito y qué es infinitesimal?

Infinito: En matemáticas, el infinito no hace referencia a un concepto específico, sino que está relacionado con los siguientes temas: límites, números Aleph, clases de teoría de conjuntos, números hiperreales, geometría proyectiva, eje de números reales extendido e infinito absoluto, etc. La cantidad infinita es una variable o función cuyo valor absoluto aumenta infinitamente durante un determinado proceso de cambio de la variable independiente.

Definición precisa

Supongamos que la función f ( x) se define en una determinada vecindad descentrada de x0 (o se define cuando |x| es mayor que un cierto número positivo si para cualquier número positivo dado M (sin importar cuán grande sea), siempre hay un número positivo δ). (o un número positivo Infinito e infinitesimal tienen una relación recíproca, es decir, cuando x→a, f(x) es infinito, entonces 1/f(x) es infinitesimal; por el contrario, f(x) es infinitesimal y f( x) está a una cierta distancia de a. 1/f(x) es infinito sólo cuando la vecindad del centro no siempre es 0.

El infinito se registra como ∞ y no debe confundirse con números muy grandes.

Clasificación

El infinito se divide en infinito positivo, infinito negativo e infinito (puede ser positivo o negativo), que se registran como +∞, -∞ y ∞ respectivamente, y son muy ampliamente utilizado en matemáticas.

Propiedades

La suma de dos cantidades infinitas no es necesariamente infinita;

El producto de una cantidad acotada y una cantidad infinita no es necesariamente infinita (por ejemplo, una constante 0 es una función acotada);

El producto de dos cantidades infinitas debe ser infinito.

Además, solo porque una secuencia no es infinita cantidad no significa que esté acotada (por ejemplo, la secuencia 1, 1/2, 3, 1/3,...).

Cantidad infinitamente pequeña:

Infinitamente Una cantidad pequeña es una variable con el número 0 como límite. Para ser precisos, cuando la variable independiente x está infinitamente cerca de x0 (o el valor absoluto de x (aumento infinito), el valor de la función f (x) está infinitamente cerca de. 0, es decir, f(x)→0 (o f(x)=0), entonces se llama a f(x) cuando x→x0 (o x→∞). Por ejemplo, f(x)=(x-). 1)^2 es una cantidad infinitesimal cuando x→1, f(n)=1/n es una cantidad infinitesimal cuando n→∞, f( x)=sin(x) es la cantidad infinitesimal cuando Una cantidad es una variable con un límite de 0 en lugar de una cantidad de 0. Significa que el límite de la variable independiente es una cantidad de 0 bajo un determinado método de cambio. Para llamar a una función una cantidad infinitesimal, se debe explicar la tendencia cambiante de la variable independiente.

No se puede decir en general que 0 sea una cantidad infinitesimal ni que sea 0

Las cantidades infinitamente pequeñas suelen representarse con letras griegas minúsculas, como α, β, ε, etc., y a veces α(x), ο(x )[1], etc., lo que indica que la cantidad infinitesimal es una función con x como variable independiente.

Nota:

1. La cantidad infinitesimal no es un número muy pequeño, es una variable

2. El cero se puede utilizar como única constante de una cantidad infinitesimal.

3. La cantidad infinitesimal está relacionada con la tendencia de la variable independiente.