¿Qué son los números mutuamente primos?

El concepto de número primo

El llamado número primo, o número primo, es un número entero positivo que no tiene otros factores excepto él mismo y 1. Por ejemplo, 2, 3, 5 y 7 son números primos, pero 4, 6, 8 y 9 no lo son. Estos últimos se llaman números compuestos. Desde este punto de vista, los números enteros se pueden dividir en dos tipos, uno se llama número primo y el otro se llama número compuesto. (Algunas personas piensan que el número 1 no debería llamarse número primo). El famoso "teorema de descomposición único" de Gauss dice que cualquier número entero. Puede escribirse como el producto de una serie de números primos multiplicados entre sí.

El secreto de los números primos

La distribución de los números primos es irregular y a menudo desconcertante. Por ejemplo: 101, 401, 601 y 701 son todos números primos, pero 301 (7*43) y 901 (17*53) de arriba y de abajo son números compuestos.

Alguien ha hecho este cálculo: 1^2 1 41=43, 2^2 2 41=47, 3^2 3 41=53... Entonces puede haber una fórmula así: Supongamos que positivo El número es n, entonces el valor de n^2 n 41 debe ser un número primo. Esta fórmula es válida hasta n=39. Pero cuando n=40, la fórmula no se cumple, porque 40^2 40 41=1681=41*41.

Las propiedades de los números primos

Fermat, conocido como "el mayor matemático francés del siglo XVII", también estudió las propiedades de los números primos. Encontró que suponiendo Fn=2^(2^n) 1, entonces cuando n es igual a 0, 1, 2, 3 y 4 respectivamente, Fn da 3, 5, 17, 257 y 65537 respectivamente, que son todos Dado que F5 era demasiado grande (F5 = 4294967297), adivinó directamente sin realizar más pruebas: para todos los números naturales, Fn es un número primo. Sin embargo, ¡algo salió mal en F5! 67 años después de la muerte de Fermat, el matemático suizo Euler, de 25 años, demostró que: F5=4294967297=641*6700417 no es un número primo, sino un número compuesto.

Lo que es aún más interesante es que para los valores Fn futuros, los matemáticos nunca han encontrado ningún valor Fn que sea un número primo, y todos son números compuestos. En la actualidad, como la raíz cuadrada es grande, se puede demostrar muy poco. Ahora los matemáticos han obtenido el valor máximo de Fn: n=1495. Este es un número súper astronómico, con hasta 10^10584 dígitos. Por supuesto, aunque es muy grande, no es un número primo. ¡Los números primos y Fermat hicieron una gran broma!

La hipótesis de los números primos

En el siglo XVII, un matemático francés llamado Mason hizo una vez una conjetura: fórmula algebraica 2^p-1, cuando p es un. número primo, 2^ p-1 es un número primo. Comprobó y calculó: cuando p = 2, 3, 5, 7, 17, 19, los valores de las expresiones algebraicas obtenidas son todos números primos. Más tarde, Euler demostró que cuando p = 31, 2 ^ p-1 es. un número primo. Cuando p=2, 3, 5, 7, Mp son todos números primos, pero M11=2047=23×89 no es un número primo.

Quedan tres números de Mersenne: p=67, 127 y 257. Como son demasiado grandes, nadie los ha verificado durante mucho tiempo. 250 años después de la muerte de Mason, el matemático estadounidense Kohler demostró que 2^67-1=193707721*761838257287 es un número compuesto. Este es el noveno número de Mersenne. En el siglo XX, se demostró sucesivamente que el décimo número de Mersenne es un número primo y el undécimo número de Mersenne es un número compuesto. Los números primos están ordenados de una manera tan desordenada que también dificulta que las personas encuentren las reglas de los números primos.

Números primos en la tabla de números primos

Ahora, el número de Mersenne más grande encontrado por los matemáticos es un número con 9808357 dígitos: 2^32582657-1. Aunque las matemáticas pueden encontrar números primos muy grandes, todavía no se pueden seguir las reglas de los números primos.