¿Qué son los números reales?
Libro de historia
(1) Términos matemáticos. Números complejos, números racionales y números irracionales con parte imaginaria cero.
(2)Números reales. ¿Cuánto dinero tiene la empresa? ¡Por favor dime los números reales!
[Editar este párrafo]Conceptos básicos
Los números reales incluyen números racionales y números irracionales. Entre ellos, los números irracionales son infinitos decimales acíclicos y los números racionales incluyen números enteros, 0 y fracciones.
Matemáticamente, los números reales se definen intuitivamente como números correspondientes a puntos en el eje numérico. Originalmente los números reales se llamaban simplemente números, pero luego se introdujo el concepto de números imaginarios. Los números originales se llamaban "números reales", que significa "números reales".
Los números reales se pueden dividir en números racionales y números irracionales, o números algebraicos y números trascendentales, o números positivos, números negativos y cero. Un conjunto de números reales suele estar representado por las letras r o r n, donde r n representa un espacio de números reales de n dimensiones. Los números reales son incontables. Los números reales son el objeto principal de investigación del análisis real.
Los números reales se pueden utilizar para medir cantidades continuas. Teóricamente, cualquier número real se puede expresar como un decimal infinito y el lado derecho de la coma decimal es una serie infinita (cíclica o no cíclica). En la práctica, los números reales suelen aproximarse como un decimal finito (se conservan n dígitos después del punto decimal, n es un entero positivo). En el campo de la informática, dado que las computadoras sólo pueden almacenar un número limitado de decimales, los números reales suelen representarse mediante números de punto flotante.
(1) Números inversos (solo dos números de distinto signo, diremos que uno de ellos es el inverso del otro) El inverso del número real A es -A.
②Valor absoluto (la distancia entre el punto correspondiente a un número en el eje numérico y el origen 0) El valor absoluto del número real A es: │ A │ = ①Cuando A es un número positivo, | Un |
②Cuando a es 0, |a|=0.
③Cuando a es negativo, |a |a| = -a a.
③Recíproco (el producto de dos números reales es 1, entonces estos dos números son recíprocos) El recíproco del número real A es: 1/a (a≠0).
[Editar este párrafo] Fuentes históricas
Los egipcios comenzaron a utilizar fracciones ya alrededor del año 1000 a.C. Alrededor del año 500 a. C., los matemáticos griegos liderados por Pitágoras se dieron cuenta de la necesidad de los números irracionales. Los indios inventaron los números negativos alrededor del año 600 d.C. Se dice que China también inventó los números negativos, pero un poco más tarde que India.
No fue hasta el siglo XVII que los números reales se aceptaron ampliamente en Europa. En el siglo XVIII se desarrolló el cálculo a partir de números reales. No fue hasta 1871 que el matemático alemán Cantor propuso por primera vez una definición estricta de los números reales.
[Editar este párrafo] Definiciones relacionadas
Construir números reales a partir de números racionales
Los números reales se pueden construir como números racionales convergiendo a una expansión decimal o binaria de un número real único El complemento de , como {3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415,…}. Los números reales se pueden construir a partir de números racionales de diferentes maneras. Uno de ellos se da aquí. Para otros métodos, consulte la construcción de números reales.
Método axiomático
Supongamos que r es el conjunto de todos los números reales, entonces:
El conjunto R es un campo: puede sumar, restar, multiplicar y dividir, Tiene algunas propiedades comunes como la ley conmutativa y la ley asociativa.
El campo r es un campo ordenado, es decir, para todos los números reales x, y y z, existe una relación de orden total ≥:
Si x ≥ y, entonces x+ z≥y+z ;;
Si x ≥ 0, y ≥ 0, xy ≥ 0.
El conjunto R satisface la completitud de Dedekind, es decir, el conjunto no vacío S (S∈R, S ≠ φ) de cualquier R. Si S tiene un límite superior en R, entonces S tiene un límite superior encuadernado en R.
Este último es la clave para distinguir los números reales de los números racionales. Por ejemplo, el conjunto de todos los números racionales cuyo cuadrado es menor que 2 tiene un límite superior para los números racionales, como 1,5, pero no existe un límite superior para los números racionales (porque √2 no es un número racional);
Los números reales están determinados únicamente por las propiedades anteriores. Más precisamente, dados dos campos ordenados completos de Dedekind R1 y R2, existe un isomorfismo de campo único de R1 a R2, es decir, pueden considerarse algebraicamente idénticos.
[Editar este párrafo] Atributos relacionados
Operaciones elementales
Las operaciones básicas que se pueden implementar con números reales incluyen suma, resta, multiplicación, división, cuadrado , etc. Para números no negativos, también se puede realizar la operación de raíz cuadrada. Los resultados de la suma, resta, multiplicación, división (el divisor no es cero) y elevación al cuadrado de números reales siguen siendo números reales.
Cualquier número real se puede elevar a una potencia impar y el resultado seguirá siendo un número real. Sólo los números reales no negativos pueden elevarse a potencias pares y el resultado sigue siendo un número real.
Categórico
Como espacio métrico o espacio consistente, el conjunto de los números reales es un espacio completo, que tiene las siguientes propiedades:
Todos los Cauchy Las sucesiones de números reales tienen un límite real.
Un conjunto de números racionales no es un espacio completo. Por ejemplo, (1, 1.4, 1.41.414, 1.4142, 1.41438. De hecho, tiene un límite real √2. Los números reales son la compleción de los números racionales; esta también es una forma de construir el conjunto de números reales.
La Existencia Limitada es la base del cálculo. La completitud de los números reales es equivalente al hecho de que no hay "huecos" en las líneas rectas en la geometría euclidiana.
El conjunto de los números reales. a menudo se denomina "campos ordenados completos". Descrito como un "campo completamente ordenado", esto se puede interpretar de varias maneras.
Primero, un campo ordenado puede ser una red completa. Es fácil encontrar que ningún campo ordenado es una red completa. Esto se debe a que no hay un elemento máximo en el dominio ordenado (para cualquier elemento z, z+1 será mayor), por lo que "completo" aquí no significa. celosía completa
Además, existe el campo de orden que satisface la integridad de Dedekind, que se ha definido en los axiomas anteriores. La unicidad anterior también muestra que la "integridad" aquí es la integridad de Dedekind. esta integridad está muy cerca del método de construir números reales usando la división de Dedekind, es decir, a partir del campo ordenado (número racional), se utiliza el método estándar para establecer la integridad de Dedekind. Ignore la estructura del campo y el grupo de orden (el campo es un grupo especial) puede definir el espacio consistente. El espacio consistente tiene el concepto de espacio completo. La descripción de integridad anterior es solo un caso especial (el concepto de integridad). Aquí se utiliza el espacio consistente, en lugar de la conocida integridad del espacio métrico, porque la definición del espacio métrico depende de las propiedades de los números reales. Por supuesto, R no es el único campo ordenado consistente y completo, pero es el. sólo un campo de Arquímedes consistente y completo. De hecho, el "campo de Arquímedes completo" es más común que el "campo completamente ordenado". Se puede demostrar que cualquier campo de Arquímedes consistente y completo debe ser completo de Dedekind (y viceversa, por supuesto). ). El significado de esta completitud es muy cercano al método de construir números reales a partir de la secuencia de Cauchy, es decir, a partir del campo de Arquímedes de los números racionales y establecer la coherencia utilizando métodos estándar. El "campo de Arquímedes completo" fue propuesto por primera vez por Hilbert. También quería expresar algo diferente de lo anterior. Creía que los números reales constituyen el campo de Arquímedes más grande, es decir, todos los demás campos de Arquímedes son subcampos de R. está "completo" significa que agregarle cualquier elemento dejará de ser un campo de Arquímedes. Está muy cerca del método de construir números reales a partir de números hiperreales, es decir, a partir de una clase pura que contiene todos los (números hiperrealistas) ordenados. campos, y encontrar el campo de Arquímedes más grande a partir de sus subcampos
Avanzado
El conjunto de números reales es incontable, es decir, el número de números reales es estrictamente mayor que el número. de números naturales (aunque ambos son infinitos). Esto se puede demostrar mediante el método diagonal de Cantor. El potencial de es 2ω (ver el potencial del continuo), que es el potencial del conjunto de potencias del conjunto de números naturales. Los elementos contables en el conjunto de números reales pueden ser números algebraicos, la mayoría de los números reales son números trascendentales en el subconjunto del conjunto de números reales, no existe ningún conjunto cuyo potencial sea estrictamente mayor que el conjunto de los números naturales y estrictamente menor que el conjunto de. números reales. Esta es la hipótesis del continuo. No se puede demostrar que esta hipótesis sea correcta porque no tiene nada que ver con los axiomas de la teoría de conjuntos.
Las raíces cuadradas de todos los números reales no negativos pertenecen a r, pero esto no es válido para los números negativos. Esto muestra que el orden en R está determinado por su estructura algebraica. Además, todos los polinomios impares tienen al menos una raíz que pertenece a R. Estas dos propiedades hacen de R el ejemplo más importante de un campo cerrado real. Demostrar esto es la primera mitad de la demostración del teorema fundamental del álgebra.
El conjunto de los números reales tiene una medida canónica, la medida de Lebesgue.
El axioma del límite supremo del conjunto de números reales se aplica a subconjuntos del conjunto de números reales y es un enunciado de lógica de segundo orden. El conjunto de los números reales no se puede describir utilizando únicamente lógica de primer orden: 1. ¿yo? El teorema de Wenhai-Schollum muestra que existe un subconjunto contablemente denso del conjunto de números reales, que satisface exactamente la misma proposición que el conjunto de números reales en lógica de primer orden 2. El conjunto de números hiperreal es mucho mayor que R, pero; también satisface la misma proposición lógica de primer orden que R. Un dominio ordenado que satisface la misma proposición lógica de primer orden que R se denomina modelo no estándar de R, que es el contenido de investigación del análisis no estándar.
Utilice modelos no estándar (tal vez más simples que en R) para probar proposiciones lógicas de primer orden, asegurando así que estas proposiciones también sean verdaderas en R.
Propiedades topológicas
El conjunto de números reales constituye un espacio métrico: la distancia entre xey se establece en el valor absoluto |x-y|. Como conjunto totalmente ordenado, también tiene una topología ordenada. Aquí, la topología obtenida de relaciones métricas y ordinales es la misma. El conjunto de números reales también es un espacio contraíble (por lo que también es un espacio conexo), un espacio localmente compacto, un espacio separable y un espacio de Bailey unidimensional. Pero el conjunto de los números reales no es un espacio compacto. Estos pueden estar determinados por propiedades específicas, por ejemplo, una topología separable infinitamente continua debe ser homeomorfa al conjunto de números reales. La siguiente es una descripción general de las propiedades topológicas de los números reales:
Sea a un número real. La vecindad de es el subconjunto del conjunto de números reales que contiene un segmento de recta que contiene a.
r es un espacio divisible.
q es densa en todas partes de r.
El conjunto abierto de R es la unión de intervalos abiertos.
El subconjunto compacto de r es un conjunto cerrado acotado. En particular, todos los segmentos de línea finitos con puntos finales son subconjuntos compactos.
Toda secuencia acotada en R tiene una subsecuencia convergente.
r está conectado y simplemente conectado.
Los subconjuntos conexos en R son los segmentos de recta, los rayos y el propio R. A partir de esta propiedad, se puede derivar rápidamente el teorema del valor intermedio.
[Editar este párrafo]Extensiones y generalizaciones
El conjunto de los números reales se puede ampliar y generalizar de varias formas diferentes:
Quizás la extensión más natural sea a los números complejos. El conjunto de los números complejos contiene las raíces de todos los polinomios. Sin embargo, los conjuntos complejos no son dominios ordenados.
El campo ordenado del conjunto extendido de números reales es un conjunto de números superreales, incluidos los infinitesimales y los infinitesimales. Este no es el dominio de Arquímedes.
A veces, los elementos formales +∞ y -∞ se suman al conjunto de números reales para formar un eje de números reales extendido. Es un espacio compacto, no un dominio, pero conserva muchas propiedades de los números reales.
Los operadores autoadjuntos en espacios de Hilbert generalizan los conjuntos de números reales de muchas maneras: pueden ordenarse (aunque no necesariamente ordenarse completamente) y completar todas sus características. Los valores son todos números reales; Forman un álgebra asociativa real.