¿Cuáles son las aplicaciones de la geometría algebraica en física?

La geometría algebraica tiene muchas aplicaciones en la teoría de cuerdas. Este es un tema enorme. Éstos son sólo algunos ejemplos. Los detalles serán cada vez menos, lo que está completamente desproporcionado con la aplicación real. El libro de texto clásico 1 tiene capítulos especiales para proporcionar conocimientos de geometría algebraica, pero eso no significa que estos sean los únicos que se han aplicado. La investigación de vanguardia en teoría de cuerdas está entrelazada con una gran cantidad de investigaciones en geometría algebraica, como se analiza al final del artículo. En términos generales, el punto de partida podría ser la compacidad de la teoría de cuerdas en las variedades de Calabi-Yau. En otras palabras, cada punto de nuestro espacio-tiempo de cuatro dimensiones está enrollado en un espacio de Calabi-Hill de seis dimensiones ("la casa donde vive la teoría de cuerdas"). La solución a la conjetura de Calabi de que la clase propia de Chern es cero nos da una caracterización de geometría algebraica simple de este tipo de variedad. De esta manera, importantes herramientas de geometría algebraica han entrado en el campo de visión de los físicos. Primero hablemos de una aplicación específica de la geometría algebraica en la teoría de cuerdas (incluido el significado físico práctico):

En la teoría de cuerdas híbrida, la existencia de un campo calibre como solución a la ecuación de Hermitian-Young-Mills corresponde hasta cierto punto La estabilidad de la pendiente de algunos haces de vectores holomorfos se denomina teorema de Donaldson-Ullenbeck-Yau (en condiciones apropiadas) o correlación de Kobayashi-Hitchin. El objeto involucrado en este paso sigue siendo una geometría compleja, pero las condiciones de estabilidad se pueden estudiar dentro del alcance de la geometría algebraica. Al mismo tiempo, se calcula el número de supercampos correspondientes a la homología de estos haces de vectores. Estos cálculos también se pueden convertir en problemas de geometría algebraica para su cálculo mediante equivalencia de categorías (GAGA, la correspondencia entre geometría algebraica y categorías analíticas). En esta línea de pensamiento, la Referencia 2 intenta regresar de la teoría de cuerdas al modelo estándar de la teoría de campos: a partir de cuerdas híbridas, se puede encontrar un modelo de teoría de cuerdas 1 que pueda reproducir el modelo estándar supersimétrico mínimo (MSSM) a baja energía. . Campo, ni más ni menos. Por supuesto, la fuerza de acoplamiento de los campos requiere cálculos más detallados. Esta parte del trabajo se llama fenomenología de cuerdas. Luego, las variedades Karabi-Hill dicen que la teoría de cuerdas en dos variedades Karabi-Hill diferentes puede establecer la dualidad a través de la simetría especular, la coherencia Kalabi-Yau/Landau-Ginzburg relacionada, medir modelos Sigma lineales, etc., todo usando álgebra y muchas herramientas para la geometría. Otro ejemplo son las superficies superriemannianas y los espacios supermodulares. Las cuerdas bosónicas solo se explican en espacios de módulos/geometría algebraica bien definidos de 26 dimensiones. En la teoría F, el modelo se construye enteramente sobre cuatro pliegues de fibras elípticas de calabi-yau, prestando especial atención a las fibras degeneradas. Desde una perspectiva física, las herramientas de la geometría algebraica no son más especiales que otras herramientas, entrelazadas con herramientas como la geometría diferencial y la geometría simpléctica. Los físicos también utilizan activamente muchas estructuras de "orden superior", como categorías derivadas, gerbs y pilas. Desde la perspectiva de la física matemática, la teoría de cuerdas proporciona muchos problemas matemáticos valiosos. Los campos relacionados con la geometría algebraica incluyen la simetría de espejo de homología, la geometría de conteo, el lenguaje geométrico, etc.