¿Qué es el teorema del coseno?

Teorema del coseno

Propósitos didácticos

1. Permitir que los estudiantes dominen el teorema del coseno y su método de demostración.

2. permitir a los estudiantes dominar inicialmente la aplicación del teorema del coseno.

Enfoque y dificultad de la enseñanza

El enfoque de la enseñanza es el teorema del coseno y su aplicación;

La enseñanza La dificultad es utilizar métodos analíticos para demostrar el teorema del coseno.

Diseño del proceso de enseñanza

1 Repaso

Profesor: El ángulo recto △ABC tiene el siguiente lado. -relación de ángulo) (asumiendo ∠C=90°):

(1) La relación entre ángulos A B C=180°

A B=90°

(2) La relación entre los lados c2=a2 b2.

(3) Relación de esquina sinA= =cosB.

cosA==sinB.

tanA = =cotB.

cotA= =tanB.

2 Introducción

Maestro: En △ABC, cuando ∠C=90°, hay c2=. a2 b2 Si las longitudes de los lados a y b permanecen sin cambios, transforme ∠C ¿Cuál es la relación entre c2 y a2 b2? Piénselo.

Como se muestra en la Figura 1, si ∠C<90. °, dado que las longitudes de AC y BC permanecen sin cambios, la longitud de short, es decir, c2＜a2 b2.

Como se muestra en la Figura 2, si ∠C＞90°, dado que las longitudes de AC y BC permanecen sin cambios, la longitud de AB se hace más larga, es decir, c2＞a2 b2.

Después de la discusión, los estudiantes obtuvieron que cuando ∠C>90°, c2≠a2 b2, entonces ¿cuál es la longitud de AB? diferencia entre c2 y a2 b2 Por favor continúa pensando.

Figura 3, cuando ∠C es un ángulo agudo, dibuja BD⊥AC en D, y BD divide △ABC en dos triángulos rectángulos:

En Rt△ABD,

AB2=AD2 BD2

En Rt△BDC,

BD=BD·sinC=asinC,

DC=BD·cosC=acosC.

Entonces, AB2=AD2 BD2 se convierte

c2=(b-acos C)2 (asin C)2,

c2=b2-2abcos C a2cos2C a2sin2C

c2=a2 b2-2abcosC.

Podemos ver que cuando ∠C es un ángulo agudo, los tres lados a , byc de △ABC tienen la relación c2=a2 b2-2abcosC.

Del proceso de análisis anterior, entendemos que ∠C es un ángulo agudo c2=a2 b2-2abcosC, y también Necesito entender cómo transformar un triángulo oblicuo en dos triángulos rectángulos. Esta transformación de lo desconocido a lo conocido se encuentra a menudo en matemáticas.

Deje que los estudiantes deduzcan la conclusión por sí mismos.

Como se muestra en la Figura 4, cuando ∠C es un ángulo obtuso, dibuja BD⊥AC y cruza la línea de extensión de AC en D.

△ACB es la diferencia entre dos triángulos rectángulos .

En Rt△ABD, AB2=AD2 BD2

En Rt△BCD, ∠BCD=π -C.

BD=BC·sin(π -C), CD=BC·cos(π-C)

Entonces AB2=AD2 BD2 se convierte

c2=(AC CD)2 BD2

=〔b acos(π-C)〕2 〔asin(π-C)〕2

=b2 2abcos(π-C) a2cos2((π-C) a2sin2(π-C)

=b2 2abcos(π-C) a2

Porque cos(π-C)=-cosC Entonces c2=b2 a2-2abcosC.

Aquí ∠C. es un ángulo obtuso, cosC es un valor negativo y -2abcosC es un valor positivo, entonces b2 a2-2abcosC>a2 b2, es decir, a2>a2 b2.

De lo anterior podemos ver que No importa que ∠C sea un ángulo agudo o obtuso, los tres lados de △ABC satisfacen

c2=a2 b2-2abcos C.

Este es el teorema del coseno. las posiciones de ∠A, ∠B y ∠C para obtener

a2=b2 c2-2bccos A.

b2=c2 a2-2accos B.

3. Demuestre el teorema del coseno

Profesor: Durante el proceso de introducción, no solo encontramos la relación de los ángulos laterales del triángulo oblicuo, sino que también brindamos una demostración basada en el método de discusión de clasificación. Se demuestra clasificar la triangulación oblicua como la suma y la diferencia de dos triángulos rectángulos y luego usar el teorema de Pitágoras y las funciones trigonométricas de ángulos agudos. Esta es una buena manera de probar el teorema del coseno, pero es más problemático ahora que hemos aprendido. funciones trigonométricas, ya sea ∠a un ángulo agudo, un ángulo recto o un ángulo obtuso, tenemos una definición unificada, tomando prestada la función trigonométrica y la distancia entre dos puntos fijos para demostrar el teorema del coseno, podemos evitar discusiones de clasificación.

Todavía usamos principalmente ∠C para probar.

Como se muestra en la Figura 5, colocamos el vértice C en el origen y CA cae en el semieje positivo del eje x. Dado que AC=b, CB=a y AB=c de △ABC, las coordenadas de los puntos A, B y C son respectivamente A(b, 0) , B(acos C, asin C), C(0, . 0).

Por favor analice cómo se obtienen las coordenadas del punto B.

Estudiante: ∠ACB=∠ C, CB es el lado terminal de ∠ACB, B es un punto en CB, suponiendo que las coordenadas de B son (x, y), entonces sinC= =, cos C== entonces las coordenadas del punto B son x=acosC, y=asinC.

Profesor: La respuesta es muy preciso ¿Cómo encontrar la distancia entre dos puntos A y B?

Estudiante: ｜AB｜2=(acosC-b)2 (asinC-0)2

. =a2cos2C-2abcosC b2-a2sin2C

=a2 b2-2abcos C,

Es decir, c2=a2 b2-2abcos C.

División : Todos, Por favor, vea, aquí también hemos derivado el teorema del coseno. Este método de prueba es el método analítico. Este método se estudiará en detalle más adelante.

El teorema del coseno se puede describir en un lenguaje como este: el cuadrado de. un lado de un triángulo es igual al otro A la suma de los cuadrados de ambos lados se le resta el doble del producto de los dos lados por el coseno del ángulo, es decir:

a2=b2 c2- 2bccos A.

c2=a2 b2-2abcos C .

b2=a2 c2-2accos B.

Si se usan tres lados para representar el ángulo, el teorema del coseno se puede escribir como

cos A=

cos B=

cos C=

4. teorema

(1) Si se conocen las longitudes de los tres lados del triángulo, se pueden encontrar los tres ángulos interiores;

(2) Si se conocen los dos lados y los ángulos del triángulo, los se puede encontrar el tercer lado.

Por ejemplo: se sabe que la razón de los tres lados de △ABC es: 2:1, encuentra el ángulo interior más grande.

Supongamos que tres lados del triángulo son a, b, c y a:b: c=: 2: 1.

Del lado mayor al ángulo mayor del triángulo, podemos saber: ∠A es el ángulo más grande Según el teorema del coseno

cos A==-

Entonces ∠A=120°.

Como en △ABC, AB=2, AC=3, ∠A=π3, encuentra la longitud de BC.

La solución es por coseno. Se puede ver en el teorema

BC2=AB2 AC2-2AB×AC· cos A

=4 9-2×2×3×=7,

Entonces BC= 7.

Los dos pequeños ejemplos anteriores simplemente ilustran el papel del teorema del coseno.

5. La relación entre el teorema del coseno y el teorema de Pitágoras, y la relación entre el teorema del coseno y las funciones trigonométricas de ángulos agudos

p>

En △ABC, c2=a2 b2-2abcos C Si ∠C=90°, entonces cos C=0, entonces

c2=a2 b2-2ab·0=a2 b2

Explica que el teorema de Pitágoras es un caso especial del teorema del coseno, y el teorema del coseno es una generalización del teorema de Pitágoras.

Además, en cos A=, cuando ∠C=90°, c2=a2 b2, entonces

cos A== Esto es consistente con la función trigonométrica aguda de ∠C=90° en Rt△ABC, que es un caso especial del teorema del coseno de la función trigonométrica aguda en un rectángulo triángulo.

6. Ejemplos de aplicación

Ejemplo 1 En △ABC, demuestre que c=bcos A acos B.

Profesor: Por favor, hágalo por unos pocos. minutos primero.

Gen A: Como se muestra en la Figura 6, calcule CD⊥AB en D.

En Rt△ACD, AD=b·cos A; , DB=a·cos B. Y c=AD DB, entonces

c=bcos A acos B.

Profesor: Por favor, analice si la demostración de este estudiante está completa.

Estudiante B: Hay un problema con su demostración, porque al hacer CD⊥AB, el pie vertical D no necesariamente cae sobre AB Si cae sobre la línea de extensión de AB, c

≠AD DB y C =AD-DB.

Profesor: La pregunta del estudiante B está bien planteada. ¿Estaría completa si complementamos lo que dijo el estudiante B?

Estudiante C: Aún así. No es suficiente, porque al hacer CD⊥AB, el pie vertical D también puede aterrizar en B.

Maestro: De hecho, hay cinco formas de aterrizar el pie vertical D, como aterrizar en AB; en la línea de extensión de AB; en el punto A o B, sería demasiado problemático para nosotros demostrarlo en tantas situaciones.

Utilice el teorema del coseno para demostrarlo.

Estudiante: Porque acos B bcos A

=a·b·

=

==c

Entonces c=acosB bcosA.

División: este método de prueba es obviamente simple y evita la discusión sobre clasificación. ¿Sabes por qué este método de prueba no requiere discusión sobre clasificación?

Sheng: Porque se aplica el teorema del coseno en sí. a todo tipo de triángulos.

Ejemplo 2 En el triángulo ABC, AB=2, AC=3, BC=4, encuentra el área de △ABC.

Profesor: Nosotros Generalmente se requiere el área de un triángulo para usar una fórmula

S△=a·h

a

O S△=ab·sin C.

¿Cómo deberíamos empezar con esta pregunta?

Estudiante: Podemos usar la regla del coseno para encontrar el tres lados Encuentra el valor del coseno de un ángulo interior, luego usa la misma fórmula del ángulo para derivar el seno de este ángulo y finalmente sustitúyelo en la fórmula del área del triángulo.

La solución es porque a=4, b=3, c=2, entonces

cosA= =.

De sin2A cos2A=1, y A es el ángulo interior de △ABC, obtenemos sinA=

Por lo tanto S△ABC=bc·sin A=×3 ×2·

Ejemplo 3 En el triángulo ABC, si CB=7, AC=8, AB=9, encuentre la longitud del línea media del lado AB.

Primero diseñe la solución Plan de preguntas.

Estudiante A: Creo que en △ABC, dadas las longitudes de los tres lados, se puede encontrar el cos B. En △BCD, de BC=7, BD=4.5 y el valor de cosB, usa el teorema del coseno nuevamente para encontrar CD.

Profesor: Esta solución es muy buena, calcula el resultado rápidamente

.

La solución D es el punto medio de AB, conectado a CD.

En △ACB, de AC=8, BC=7, AB=9, obtenemos

cos B=

En △BCD, BC=7, BD=4.5, cosB=, obtenemos

CD2=72 (4.5)2-2 ×7×4.5×=49 -33=.

Entonces CD=

Estudiante B: Cuando nos encontramos con la línea media en la escuela secundaria, a menudo extendemos la línea media, así que quiero extender la línea media CD a E para que DE=CD, y quiero resolverlo en △BCE.

Se sabe que BC=7, BE=AC=8. , podemos resolverlo, pero no sé cómo encontrar cos∠CBE. Entonces podemos resolverlo, pero no sé cómo encontrar cos∠CBE.

Profesor: Esta pregunta es. muy valioso. Por favor ayude al Estudiante B a resolver esta dificultad.

Estudiante C: Conecte AE Dado que AD=DB y CD=DE, el cuadrilátero ACBE es un paralelogramo, podemos obtener AC‖BE, ∠CBE y. ∠ACB son complementarios. Puedo usar el teorema del coseno para encontrar cos∠BCA y luego usar la relación complementaria para resolver cos∠CBE.

Profesor: Todos, veamos si habla bien. solución para resolver el problema.

La solución extiende CD a E para que DE=CD.

Porque CD=DE, AD= DB, entonces el cuadrilátero ACBE es un paralelogramo Entonces<. /p>

BE=AC=8, ∠ACB ∠CBE=180°

En △ACR, CB=7, AC=8, AB=9, que se puede obtener del teorema del coseno

cos∠ACB=

Entonces cos∠EBC=-

En △CBE,

CE2=72 82-2×7 ×8(-)=49 64 32=145,

Entonces CE=, por lo tanto, la longitud de la línea media en el lado AB es

Estas dos soluciones usan el teorema del coseno dos veces. , lo que demuestra que es muy necesario dominar el teorema del coseno.

7. Resumen

En esta lección estudiamos la relación de los ángulos laterales de un triángulo, es decir, el coseno. teorema, podemos usar el método analítico para demostrarlo. Hay dos formas, una es usar el coseno de los dos lados y el ángulo para representar el tercer lado, y la otra es usar los tres lados para representar el. ángulo.

El teorema del coseno es aplicable a todo tipo de triángulos. Cuando un ángulo interior de un triángulo es de 90°, el teorema del coseno se transforma naturalmente en el teorema de Pitágoras o función trigonométrica de ángulo agudo.

El teorema del coseno funciona como sus dos. Hay dos formas, una es resolver el problema del tercer lado con dos lados conocidos y la otra es resolver el problema del tercer lado con dos lados conocidos;

Tres lados resuelven el problema de tres ángulos interiores. Preste atención a la correspondencia uno a uno entre los valores del coseno y los ángulos en el rango de (0, π). Si cos A>0, entonces A es un ángulo agudo; si cos A=0, entonces A es un ángulo recto; si cosA <0, entonces A es un ángulo obtuso.

Además, el contenido que cubrimos en esta lección utiliza el método de pensamiento de discusión de clasificación en Si puede evitar la discusión de clasificación, considérelo de manera integral al resolver problemas, debe evitarlo tanto como sea posible, como usar métodos analíticos para probar el teorema del coseno, usar el teorema del coseno para probar el Ejemplo 1, etc. /p>

8. Tarea

1. Se sabe que a=3 en △ABC, b=4, c=, encuentra el tamaño de ∠C.

2. Dado que a=3, b=4, c= en △ABC, encuentra el tamaño de ∠C.

3. Se sabe que en △ABC, a=3, b=5, sin C=, encuentra el tamaño del lado c.

4 Se sabe que en △ABC, a=3, b=, ∠B =150°, encuentra la longitud del lado c.

5 Dado que en △ABC, acos B=bcos A, determina la forma del triángulo.

La solución del teorema del coseno es La base importante de los triángulos debe ser. se le presta suficiente atención. Es apropiado organizar este contenido en dos lecciones. La primera sección cubre la introducción, la demostración y la aplicación simple del teorema del coseno. La segunda sección revisa el contenido del teorema y fortalece la aplicación del teorema. p>

2. Cuando es necesario encontrar dos lados y el ángulo opuesto de un lado y es necesario encontrar un tercer lado, la idea de ecuación se puede utilizar para derivar una ecuación con el tercer lado como cantidad desconocida y el teorema del coseno se utiliza indirectamente para resolver el problema. En este momento, cabe señalar que la solución no es única.