¿Qué es el caos determinista?
1.
En un sistema caótico, el determinismo de las ecuaciones dinámicas que describen la evolución del sistema significa que las ecuaciones (ecuaciones diferenciales ordinarias, ecuaciones en diferencias y ecuaciones diferenciales retardadas) son no estocástico, no contiene elementos aleatorios. El estado futuro (o pasado) del sistema sólo está relacionado con las condiciones iniciales y reglas de evolución determinadas, es decir, la evolución del sistema está completamente determinada por factores internos y no tiene nada que ver con factores externos. Esta es una limitación crucial, por lo que el caos del que estamos hablando ahora también se llama "caos determinista". Es debido al complejo comportamiento de los sistemas deterministas, también conocido como aleatoriedad interna, que la gente se emociona y estudia el caos con todo su corazón. Por supuesto, a largo plazo seguramente se estudiará el movimiento no periódico de sistemas más complejos con términos estocásticos. Sin embargo, debido a la actual incomprensión del caos por parte del público, es muy importante para nosotros distinguir estrictamente si es cierto o no, y generalmente no podemos llamar caos a muchas cosas engañosas desde el nivel de los fenómenos. En resumen, una definición estrecha del concepto de caos es mejor que una general. El caos que estamos considerando ahora es principalmente un comportamiento de evolución temporal y no implica directamente cambios en la distribución espacial, por lo que no se consideran ecuaciones diferenciales parciales por el momento.
2. No lineal
Los sistemas que producen caos deben contener factores no lineales. Sin no linealidad, el caos no necesariamente ocurre, pero sin no linealidad, el caos no puede ocurrir. En otras palabras, la no linealidad es una condición necesaria para el caos. Lo que hay que señalar aquí es que "lineal por partes" no es igual a lineal. De hecho, es una descripción aproximada de una curva suave, que equivale a la no linealidad en su conjunto. El movimiento caótico ocurre en sistemas lineales por partes. Formalmente, la no linealidad en una ecuación significa que la variable de interés contiene términos cuadráticos o más. Funcionalmente, la no linealidad se define por la linealidad. Sean G1 y G2 dos funciones (vectoriales) cualesquiera, y A y B dos constantes cualesquiera. Si el operador B satisface el siguiente principio de superposición: L(ag1 bG2) = aL(g 1) bL(G2),
entonces l se llama operador lineal; de lo contrario, l es un operador no lineal. Los sistemas que contienen operadores no lineales se denominan sistemas no lineales. Cabe señalar que la linealidad y la no linealidad no están absolutamente claras. Para algunos fenómenos complejos, bajo ciertas condiciones, pueden considerarse fenómenos no lineales o fenómenos lineales. Esto está relacionado con las diferentes perspectivas de las personas y la escala espaciotemporal de las variables de interés. Ahora parece que la no linealidad es omnipresente y la mayoría de los problemas no pueden resolverse con métodos lineales o lineales. Por lo tanto,
Enfrentar la no linealidad es inevitable.
3. Dependencia sensible de las condiciones iniciales
En 1963, Lorenz publicó un estudio pionero sobre la teoría del caos y propuso el "efecto mariposa" de las imágenes.
Después de ser ignorados durante 12 años, los matemáticos Luhr y Tuckers propusieron en 1975 un mecanismo generador de turbulencias. Creen que la transición a la turbulencia está determinada por varios grados de libertad y, después de dos o tres mutaciones, el movimiento alcanza un "atractor extraño" de baja dimensión. El llamado "atractor" aquí se refiere a la forma final que toma la trayectoria después de un largo tiempo: puede ser un punto de equilibrio estable, o puede ser una órbita periódica pero también pueden ser muchas curvas de rotación que cambian constantemente; , sin regularidad o secuencia obvia. A esto se le llama "atractor extraño". Las órbitas de movimiento en un atractor extraño son extremadamente sensibles a pequeños cambios en la posición inicial de la órbita, pero los grandes contornos del atractor son bastante estables.
La dependencia sensible de las condiciones iniciales es la característica principal de la trayectoria del atractor extraño. En diversas ecuaciones macroscópicas decisivas, debido a la disipación de energía, los grados efectivos de libertad de movimiento se reducen y, en última instancia, se limitan a atractores extraños de baja dimensión. Este es un movimiento caótico a nivel macro. Lorenz llamó a esta sensible dependencia de las condiciones iniciales el "efecto mariposa". Weiner también citó una canción popular para describir esta sensible dependencia de las condiciones iniciales: Un clavo roto rompe un zapato; un zapato roto rompe un caballo de guerra; un caballo de guerra hirió a un caballero, se perdió una batalla; ; una batalla perdida, se perdió un imperio.
4. Aperiódico
En matemáticas y física, la definición de periodicidad es muy clara. Para la función f(x), si se puede encontrar un número positivo mínimo y satisface la relación f(x t)=f(x), entonces f(x) se llama función periódica y t es su período; de lo contrario, f(x) es sexual aperiódico. La aperiodicidad, también llamada aperiodicidad, significa que la curva integral que constituye el atractor extraño es cerrada y no repite la curva original. De esta manera, un sistema que evoluciona hacia un atractor extraño nunca vuelve a experimentarse en el mismo estado. La aperiodicidad sugiere que cada momento de movimiento caótico es un generador de “innovación impredecible”. Cabe señalar que el concepto de "aperiódico" es mucho más amplio que el de "caos". Por ejemplo, el movimiento cuasiperiódico es aperiódico pero no caótico; el movimiento ergódico es aperiódico, pero el movimiento ergódico simple no es caótico. El movimiento caótico requiere una propiedad "híbrida", es decir, una "dependencia sensible de las condiciones iniciales". Pero esto no significa que el movimiento caótico sea caótico e inútil. Al contrario, el caos no es desorden y desorden. Cuando la gente piensa en orden, a menudo piensa en disposiciones periódicas o formas simétricas. El caos, sin embargo, se parece más a un orden sin periodicidad. En un modelo ideal, podría contener un número infinito de niveles internos, con "auto-similitud" o "menos similitud" entre niveles. Cuando la resolución del método de observación no es alta, solo se puede ver un cierto nivel de estructura; después de aumentar la resolución, aparecerán estructuras de menor escala en lugares que originalmente eran irreconocibles.
5. Bifurcación y fractal
La bifurcación es el concepto básico de la teoría de la evolución ordenada y precursora del caos. En ciertos puntos conjuntos de la evolución de un sistema dinámico, el comportamiento en estado estable (comportamiento estable) del sistema puede sufrir repentinamente un cambio cualitativo, es decir, el estado estable original se convierte en un estado estable inestable y un nuevo estado estable aparece al mismo tiempo. Este fenómeno se llama bifurcación. El cruce donde se produce la bifurcación se denomina punto de bifurcación, donde la evolución del sistema sufre un cambio cualitativo. El fenómeno de bifurcación en la evolución de los sistemas dinámicos ilustra plenamente la ley de que los cambios cuantitativos conducen a cambios cualitativos. La bifurcación también es un comportamiento de umbral. Mientras el efecto no lineal del sistema sea lo suficientemente fuerte, puede ocurrir una bifurcación. Por tanto, en cualquier sistema que genere caos, siempre se pueden observar secuencias bifurcadas.
Fractal significa que la estructura del atractor extraño es autosimilar y no diferenciable. No es la diferenciabilidad de formas geométricas plásticas como líneas rectas y planos descritas en la geometría euclidiana tradicional, sino un fractal con autosemejanza estructural y no diferenciabilidad (discontinuidad). Los atractores extraños descubiertos hasta ahora, como el atractor de herradura, el atractor de Lorentz, el atractor de Michel Hennon, el atractor de Otto Roesler, etc., son todos fractales. Por lo tanto, los fractales no son producto de pura abstracción matemática, sino un resumen científico de formas geométricas complejas y ubicuas. Los fractales están en todas partes de la naturaleza, como montañas onduladas, terrenos irregulares, costas sinuosas, etc. Esencialmente relacionado con la aleatoriedad inherente al caos y su sensible dependencia de las condiciones iniciales.
La gente conoce desde hace mucho tiempo este fenómeno de autosemejanza. Como dice el refrán: "Hay Qian y Kun en las mangas, y el sol y la luna en las conchas". Un largo poema de J. Swift describe una imagen vívida de autosemejanza. : La observación científica sólo requiere Atención, las pulgas pequeñas viven de las pulgas grandes. Incluso había pequeñas pulgas que se picaban unas a otras sin cesar. Por eso decimos: "El caos es esencialmente un estado de comportamiento no periódico de un sistema dinámico no lineal que es extremadamente sensible a las condiciones iniciales dentro de un cierto rango de parámetros de control".