¿Qué significa triángulo en matemáticas?

Método trigonométrico

[Editar este párrafo] Definición del nombre

Disciplina matemática que estudia la relación entre los ángulos de triángulos planos y triángulos esféricos. La trigonometría es una disciplina basada en el estudio de la relación entre los lados y ángulos de un triángulo. Se aplica a las medidas y también estudia las propiedades y aplicaciones de las funciones trigonométricas.

[Editar este párrafo] El origen de la trigonometría

La trigonometría se originó en la antigua Grecia. Para predecir el curso de los cuerpos celestes, calcular calendarios, navegar y otras necesidades, los antiguos griegos estudiaron la relación entre los ángulos de un triángulo esférico y aprendieron que la suma de dos lados de un triángulo esférico es mayor que el tercer lado. , y que la suma de los ángulos interiores de un triángulo esférico es mayor que el tercer lado, la suma es mayor que dos ángulos rectos, los ángulos equiláteros son iguales, etc. La trigonometría también fue estudiada y popularizada por indios y árabes, pero se utilizó principalmente en astronomía. En los siglos XV y XVI, el estudio de la trigonometría pasó a los triángulos planos con el fin de aplicaciones de medición. Veda, un matemático francés del siglo XVI, estudió sistemáticamente los triángulos planos. Publicó un libro sobre leyes matemáticas aplicadas a triángulos. Desde entonces, los triángulos planos se separaron de la astronomía y se convirtieron en una rama independiente. Los contenidos de trigonometría plana incluyen principalmente funciones trigonométricas, resolución de triángulos y ecuaciones trigonométricas.

La triangulación también apareció en China desde muy temprano, y hay una explicación detallada en el clásico "Zhou Pingxing Suan" ya en el año 100 a.C. Por ejemplo, su primer capítulo registra "Zhou Gong dijo:" Eres un muy buen conversador, así que utiliza el método del momento. Shang Gao dijo que el momento horizontal es usar un cable recto, el momento es suprimir la altura, el momento compuesto es medir la profundidad y el momento horizontal es conocer la distancia. "(El momento al que se refiere Shang Gao es el cuadrado con dos lados perpendiculares que usan los trabajadores hoy en día, y la idea general de Shang Gao es que al colocar el cuadrado en diferentes posiciones, se puede medir la altura, la profundidad y el ancho del objetivo.) 1 Hay un capítulo en "Nueve capítulos de aritmética" dedicado a cuestiones de medición.

[Editar este párrafo] Historia de la trigonometría

La trigonometría temprana no era una disciplina independiente. astronomía y es un método para calcular los resultados de las observaciones astronómicas, por lo que se desarrolló por primera vez a partir de la esfericidad. Las matemáticas griegas, indias y árabes tienen contenido de trigonometría, pero la mayoría de ellas son subproductos de observaciones astronómicas. (100 d.C.) escribió "Esfera" y propuso la base de la trigonometría. Cincuenta años más tarde, otro erudito griego antiguo, Ptolomeo, escribió "Astronomía", que inicialmente desarrolló la trigonometría en el año 499 d.C., el matemático indio Aryabhata también expresó las ideas de la trigonometría antigua. Más tarde, la India, Varahamihira (alrededor de 505 ~ 587) propuso por primera vez el concepto de seno y lo dio. La tabla de senos más antigua fue discutida con más detalle por algunos eruditos árabes en el siglo X d.C. -deen (1201 ~ 1274) que la trigonometría comenzó a separarse de la astronomía. El primer matemático que separó la trigonometría y la astronomía fue Regiomontanus (1436 ~ 1476). El trabajo principal de Regiomontanus fue estudiar varios temas, completado en 1464. primer trabajo europeo sobre trigonometría independiente de la astronomía. Los dos primeros volúmenes analizan la trigonometría plana y los últimos tres volúmenes analizan la trigonometría esférica. Es la fuente de la difusión de la trigonometría en Europa. sentó una base sólida para la aplicación de la trigonometría en geometría plana y esférica. Posteriormente, su manuscrito circuló ampliamente entre los estudiosos y finalmente se publicó. Tuvo un impacto considerable en los matemáticos del siglo XVI y también tuvo un impacto directo o indirecto en un. número de astrónomos como Copérnico.

? La palabra inglesa trigonométrica se deriva del latín tuigonometuia. Fue utilizada por primera vez por el matemático alemán B. Pitiscus (1561 ~ 1613) durante el Renacimiento en su "Trigonometrica". Publicado en 1595. El término fue acuñado en "Un método conciso para resolver triángulos". Su método de composición se compone de las palabras "triángulo" y "medida". El cálculo de medidas es inseparable de la tabla de funciones trigonométricas y las fórmulas trigonométricas. , que se utilizan como trigonometría.

Rhaticus (G.J. Rhetucus, 1514 ~ 1574) fue el primer matemático austriaco en hacer tablas trigonométricas en el siglo XVI. Se graduó en la Universidad de Tenberg en 1536. La escuela enseñó aritmética y. Geometría En 1539 viajó a Polonia para estudiar astronomía con el famoso astrónomo Copérnico. En 1542 fue nombrado profesor de matemáticas en la Universidad de Leipzig. Rhaticus compiló por primera vez tablas de tiempo para las seis funciones trigonométricas, incluida la primera tabla tangente detallada y la primera tabla secante impresa.

Tras la invención de los logaritmos en el siglo XVII, el cálculo de funciones trigonométricas se simplificó enormemente. Ya no era difícil hacer tablas de funciones trigonométricas y la atención de la gente se centró en el estudio teórico de la trigonometría. Sin embargo, la aplicación de tablas de funciones trigonométricas siempre ha ocupado una posición importante y ha desempeñado un papel insustituible en la investigación científica y la vida productiva.

? Las fórmulas trigonométricas son las relaciones entre lados y ángulos, o entre los lados y ángulos de un triángulo. La definición de funciones trigonométricas ha reflejado ciertas relaciones, y los antiguos griegos y más tarde los árabes han estudiado algunas relaciones simples.

? A finales del Renacimiento, el matemático francés F. Vietta se convirtió en un maestro de las fórmulas trigonométricas. Sus "Leyes matemáticas aplicadas a los triángulos" (1579) es una de las primeras monografías que analiza sistemáticamente planos y esferas. La primera sección enumera seis tablas de funciones trigonométricas, algunas separadas por fracciones y grados. Se proporcionan valores de funciones trigonométricas con una precisión de 5 y 10 dígitos, y también se adjuntan tablas de multiplicar y tablas de cocientes relacionadas con valores trigonométricos. La segunda parte da el método para hacer la tabla y explica la fórmula de cálculo de la relación entre el número de líneas de río en el triángulo. Además de resumir los logros de sus predecesores, también añadió nuevas fórmulas descubiertas por él mismo, como la ley de la tangente, la fórmula del producto suma-diferencia, etc. Enumeró estas fórmulas en una tabla general, de modo que dadas las cantidades conocidas, los valores de las cantidades desconocidas se pudieran encontrar en la tabla. El libro está basado en triángulos rectángulos. Para el triángulo oblicuo, David imitó los métodos antiguos y lo convirtió en un triángulo rectángulo. Para triángulos rectángulos esféricos, se dan fórmulas de cálculo completas y reglas de memoria, como el teorema del coseno. En 1591, David obtuvo la relación entre múltiples ángulos. En 1593, derivó el teorema del coseno utilizando el método del triángulo.

En 1722, el matemático británico de Moiver obtuvo el teorema de trigonometría que lleva su nombre.

? (cosθ isinθ)n=cosnθ+isinnθ,

? Se demostró que cuando n es un número racional positivo, la fórmula se cumple, en 1748, Euler demostró que cuando n es cualquier número real, la fórmula también se cumple, y también dio otra fórmula famosa.

? eiθ= cosθ+isθ,

? Desempeñó un papel importante en la promoción del desarrollo de la trigonometría.

La trigonometría moderna comenzó con la introducción de Euler al análisis infinito. Definió el círculo unitario y las funciones trigonométricas usando la relación entre la línea funcional y el radio. También creó las letras latinas minúsculas A, B y C para representar los tres lados de un triángulo, y las letras latinas mayúsculas A, B y C para representar los tres ángulos de un triángulo, simplificando así las fórmulas trigonométricas y transformando aún más La trigonometría pasó del estudio de los triángulos a la solución del estudio de las funciones trigonométricas y sus aplicaciones, convirtiéndose en una rama relativamente completa de las matemáticas.

[Editar este párrafo] Características y aplicaciones de la trigonometría

La trigonometría temprana no era una materia independiente, sino que estaba adscrita a la astronomía y era un método para calcular los resultados de las observaciones astronómicas. Por lo tanto, se desarrolló por primera vez en esferología. La trigonometría se encuentra en las matemáticas griegas, indias y árabes, pero la mayor parte es un subproducto de las observaciones astronómicas. No fue hasta el siglo XIII que el matemático de Asia Central Nasuradin escribió el libro "Cuadrilátero perfecto" basado en un resumen de los resultados de sus predecesores. No fue hasta el siglo XV d.C. que la trigonometría se separó de la astronomía. La publicación de "Sobre los triángulos" del alemán J. Regio montanus (1436-1476) marcó el surgimiento formal de la trigonometría antigua como disciplina independiente. Este libro no sólo contiene tablas muy precisas de senos y cosenos, sino que también proporciona trigonometría moderna.

En el siglo XVI, el matemático francés F. Viete (1540-1603) sistematizó aún más la trigonometría. En su primer libro sobre trigonometría, "Reglas matemáticas aplicadas a los triángulos", hay soluciones detalladas para triángulos rectángulos y triángulos oblicuos (el matemático suizo L. Euler (25438+siglo VIII). 1707-1783), estudió por primera vez la trigonometría, lo que liberó La trigonometría se apartó del método de solución estática original de la investigación de triángulos y se convirtió en una materia con características matemáticas modernas, que refleja algunos movimientos y cambios en el mundo real. Euler no sólo definió la trigonometría utilizando coordenadas rectangulares, resolvió completamente el problema de los símbolos de la trigonometría de cuatro cuadrantes, sino que también introdujo las coordenadas rectangulares. Se tiende un puente entre el álgebra y la geometría, y la combinación de números y formas proporciona una forma importante de pensar para el aprendizaje y la investigación de las matemáticas. La famosa fórmula de Euler conecta funciones trigonométricas y funciones exponenciales que la gente pensaba que no estaban relacionadas entre sí, añadiendo nueva vitalidad a la trigonometría.

Así que la trigonometría se originó a partir de la práctica de la medición, después de un largo período de deliberación y con los esfuerzos continuos de muchos matemáticos chinos y extranjeros, gradualmente se enriqueció y evolucionó hasta convertirse en la trigonometría actual.

[Editar este párrafo] Métodos de cálculo de funciones trigonométricas

Hay seis funciones trigonométricas en trigonometría, que se definen mediante métodos geométricos. En el sistema de coordenadas rectangular, suponga que el ángulo con el rayo Ox como lado inicial, OP como lado final es θ y la coordenada del punto P es (x, | op | = r. En este momento, las seis razones son determinadas por el tamaño de θ, ambas funciones de θ, llamadas funciones trigonométricas del ángulo θ, se denotan como seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cotangente del ángulo θ. también denotado como tan, cot y cosec.

Hay tres conjuntos de relaciones operativas entre funciones trigonométricas en el mismo ángulo, a saber

Las funciones trigonométricas son todas funciones periódicas con un período de 2π.

La identidad básica de las funciones trigonométricas es y. Fórmula del ángulo;

sin(a+β)=sinαcosβ+cosαsinβ

cos(a+β)=. cosαcosβ-sinαsinβ

A partir de estas dos fórmulas, podemos derivar la fórmula de ángulo diferencia, la fórmula de ángulo doble, la fórmula de medio ángulo, el producto de suma y diferencia y la fórmula de suma y diferencia

Cuando. Se conocen algunos elementos del triángulo (lados y ángulos), resuelve el triángulo y descubre el elemento desconocido restante.

Supongamos que los tres ángulos del triángulo son A, B y C, y sus lados opuestos son A, B y C respectivamente, entonces existe el teorema del seno: a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R (2R es una constante en el mismo triángulo, que es el doble del radio de la circunferencia circunstante del triángulo).

Teorema del coseno: A2 = B2+C2-2bccosa es la base principal para resolver triángulos.

Las ecuaciones trigonométricas generalmente se refieren a ecuaciones que contienen algunas funciones trigonométricas, y las variables independientes de las funciones trigonométricas contienen números desconocidos. Dado que toda función trigonométrica es una función periódica, cualquier ecuación trigonométrica que tenga solución tiene infinitas soluciones.

Triangulación

La triangulación se refiere a la técnica de medir con precisión distancias y ángulos en navegación, topografía e ingeniería civil, utilizada principalmente para el posicionamiento de barcos o aviones. El principio es que si se conocen un lado y dos ángulos de un triángulo, los otros dos ángulos se pueden calcular mediante trigonometría plana. En Occidente, el famoso matemático griego Pitágoras demostró por primera vez el teorema de Pitágoras sobre un triángulo rectángulo, que también es el teorema de Pitágoras chino, e hizo grandes contribuciones a la investigación y aplicación de la geometría.