Plan didáctico para la determinación de la congruencia de triángulos
1. Objetivos de aprendizaje
1. Dominar el axioma "lado-ángulo-lado", el método para determinar la congruencia de triángulos, y ser capaz de aplicar inicialmente el axioma "lado-ángulo-lado" para determinar la congruencia de dos triángulos entender que dos triángulos cuyos dos lados; y los ángulos diagonales de uno de ellos son iguales no necesariamente son congruentes.
2. Experimente el proceso de explorar las condiciones para la congruencia de triángulos y experimente el proceso de obtener conclusiones matemáticas a través de la práctica y la inducción.
3. Ser capaz de utilizar el axioma "lado-ángulo-lado" para demostrar que dos triángulos son congruentes y dominar el formato de la demostración del método integral.
4. A través de las actividades de exploración de las condiciones de congruencia de los triángulos, cultive la buena calidad de pensamiento de las conjeturas audaces y la capacidad de descubrir problemas.
2. Orientación para el autoestudio
Preguntas: 1. ¿Qué dos triángulos se llaman triángulos congruentes?
Respuesta: Dos triángulos que pueden superponerse completamente se llaman triángulos congruentes.
2. Si △ABC y △A’B’C’ satisfacen que tres lados son iguales y tres ángulos son iguales, entonces ¿son congruentes △ABC y △A’B’C’? ¿Por qué?
Respuesta: △ABC y △A’B’C’ son congruentes.
Porque dos triángulos que se pueden superponer completamente son congruentes.
3. Si △ABC y △A′B′C′ satisfacen algunas de las seis condiciones anteriores, ¿son congruentes △ABC y △A′B′C′?
Respuesta: △ABC y △A′B′C′ satisfacen una o dos de las seis condiciones anteriores. △ABC y △A′B′C′ no son necesariamente congruentes.
△ABC y △A′B′C′ satisfacen que los tres lados son iguales, y △ABC y △A′B′C′ deben ser congruentes.
3. Si △ABC y △A′B′C′ satisfacen algunas de las seis condiciones anteriores, ¿son congruentes △ABC y △A′B′C′?
Respuesta: △ABC y △A′B′C′ satisfacen una o dos de las seis condiciones anteriores. △ABC y △A′B′C′ no son necesariamente congruentes.
△ABC y △A′B′C′ satisfacen que los tres lados son iguales, y △ABC y △A′B′C′ deben ser congruentes.
4. ¿Cuántas otras situaciones existen cuando △ABC y △A′B′C′ satisfacen tres de las seis condiciones anteriores?
Respuesta: Además de "los tres lados son iguales", hay cinco situaciones:
(2) Los dos lados y sus ángulos son iguales;
( 3) Los dos lados y los ángulos opuestos de uno de ellos son iguales
(4) Los dos ángulos y sus lados incluidos son iguales
(5) Los dos; los ángulos y los lados opuestos de uno de los ángulos son iguales Igual;
(6) Los tres ángulos son iguales.
(1) Explora las condiciones y obtén conclusiones
Exploración 5: ¿Son △ABC y △A′B′C′ congruentes si ambos lados y sus ángulos son iguales?
(1) Primero dibuja un △ABC arbitrariamente y luego dibuja un △A′B′C′, de modo que AB=A′B′, ∠A=∠A′, AC=A′C ′ ．
(2) Recorta los △A′B′C′ dibujados y colócalos en △ABC. ¿Son congruentes?
Método de dibujo: 1. Dibuja ∠DA′E=∠A;
2. Intercepta A′B′=AB y A′C′=AC en los rayos A′D y A′E respectivamente;
3. Conecte el segmento de línea B′C′.
△A′B′C′ es el triángulo deseado.
(2) Recorta el △A’B’C’ dibujado y colócalo en △ABC. Son congruentes.
3. Explicación del profesor (1) Condiciones de la investigación y conclusiones obtenidas
¿Qué reglas reflejan los resultados de la Investigación 5?
Obtén un método para determinar la congruencia de dos triángulos:
Dos triángulos cuyos dos lados y sus ángulos incluidos son iguales son congruentes
(se puede abreviar como "Superficie" o "SAS").
Representación simbólica: En △ABC y △A’B’C’,
∴ △ABC≌△A’B’C’ (SAS).
Ejemplo 2 Como se muestra en la imagen, hay un estanque. Para medir la distancia entre A y B en los dos extremos del estanque, primero puede elegir un punto C en el terreno plano que pueda llegar directamente. llegue a A y B, conecte AC y extienda hasta D. Deje que CD = CA． Conecte BC y extienda hasta E para que CE=CB. Conecte DE, entonces la longitud medida de DE es la distancia entre A y B
． ¿Por qué?
Prueba: Entre △ABO y △DEO,
∴ △ABO≌△DEO (SAS).
∴ AB=DE (los lados correspondientes de triángulos congruentes son iguales).
Es decir, la longitud medida de DE es la distancia entre A y B.
Exploración 6: Sabemos que dos triángulos con lados iguales y sus ángulos incluidos son congruentes. ¿Podemos determinar que △ABC y △A′B′C′ son congruentes basándonos en la condición de que “los dos lados y los ángulos opuestos de uno de ellos sean iguales”? ¿Por qué?
Podemos responder haciendo dibujos:
(1) Primero dibuja un △ABC arbitrariamente y luego dibuja un △A′B′C′, de modo que AB=A′B ′, ∠B=∠B′, AC=A′C′, donde AB>AC.
(2) Recorta los △A′B′C′ dibujados y colócalos en △ABC. ¿Son congruentes?
Podemos responder haciendo dibujos:
(1) Primero dibuja un △ABC arbitrariamente y luego dibuja un △A′B′C′, de modo que AB=A′B ′, ∠B=∠B′, AC=A′C′, donde AB>AC.
(2) Recorta los △A′B′C′ dibujados y colócalos en △ABC. ¿Son congruentes?
Método de dibujo: 1. Dibuja ∠DB′E=∠B;
2. Intercepta A'B'=AB en el rayo B'D.
3. Dado que el segmento de línea A′C′ no está en el rayo B′E, y A′C′=AC, puede haber dos puntos C′ en el rayo B′E, los cuales hacen que A′C′=AC.
Por lo tanto, △A′B′C′ que cumple las condiciones puede no ser único.
(2) Recorta los △A′B′C′ dibujados y colócalos en △ABC. No son necesariamente congruentes.
También podemos responder mediante experimentos:
Enganche un extremo A de dos palos finos de madera, uno largo y otro corto, junto con tornillos, de modo que el otro extremo del palo largo de madera palo está en contacto con el rayo El punto final B de BC coincide. Después de ajustar adecuadamente el ángulo entre el palo largo de madera y el rayo BE, fije el palo largo de madera y mueva el palo corto de madera hacia arriba de modo que los otros extremos del palo corto de madera caigan en dos posiciones diferentes C y D del rayo BE.
Como se muestra en la figura, △ABC y △ABD satisfacen la condición de que ambos lados y los ángulos diagonales de uno de ellos sean iguales, pero △ABC y △ABD no son congruentes.
Pensamiento: ¿Qué patrones reflejan los resultados de la Investigación 6?
Respuesta: Dos triángulos con dos lados y ángulos opuestos iguales de uno de ellos no son necesariamente congruentes.
1. Como se muestra en la figura, dos vehículos parten de un extremo A del tramo AB de la carretera de norte a sur, recorren la misma distancia hacia el este y el oeste respectivamente y llegan a los lugares C y D. En este momento, ¿son iguales las distancias de C, D a B? ¿Por qué?
Solución: En este momento, las distancias de C y D a B son iguales.
∵ BA⊥DC
∴ ∠DAB=∠CAB=90°
En △DAB y △CAB,
∴ △ DAB≌△CAB (SAS)
∴ DB=CB (los lados correspondientes de triángulos congruentes son iguales).
Es decir, las distancias de C y D a B son iguales en este momento.