Esquema del contenido del examen de ingreso a la universidad de Shanghai de Matemáticas y Ciencias 2011
El nuevo estándar curricular actual para los libros de texto de matemáticas de secundaria (versión A de Educación Popular)
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Matemáticas curso obligatorio 1
1. Set
(alrededor de 4 lecciones)
(1) El significado y expresión de set
① A través de ejemplos, comprenda el significado de conjuntos y comprenda la relación de "pertenencia" entre elementos y conjuntos.
② Ser capaz de elegir lenguaje natural, lenguaje gráfico y lenguaje establecido (método de enumeración o método de descripción) para describir diferentes problemas específicos y sentir el significado y el papel del lenguaje establecido.
(2) Relaciones básicas entre conjuntos
①Comprender el significado de inclusión e igualdad entre conjuntos, y ser capaz de identificar subconjuntos de un conjunto determinado.
②En situaciones específicas, comprender el significado del conjunto completo y del conjunto vacío.
(3) Operaciones básicas de conjuntos
①Comprender el significado de la unión e intersección de dos conjuntos, y ser capaz de encontrar la unión e intersección de dos conjuntos simples.
②Comprender el significado del complemento de un subconjunto en un conjunto determinado y ser capaz de encontrar el complemento de un subconjunto determinado.
③Ser capaz de utilizar diagramas de Venn para expresar las relaciones y operaciones de conjuntos, y apreciar el papel de los diagramas intuitivos en la comprensión de conceptos abstractos.
2. Conceptos de funciones y funciones elementales básicas I
(alrededor de 32 lecciones)
(1) Función
① Comprenda mejor que la función es un modelo matemático importante que describe la dependencia entre variables. Sobre esta base, aprenda a usar el lenguaje de conjuntos y correspondencias para describir funciones y comprenda el papel de la correspondencia en la descripción del concepto de funciones; comprender los componentes de funciones Elementos, puede encontrar el dominio y el rango de valores de algunas funciones simples; comprender el concepto de mapeo.
②En situaciones reales, se seleccionarán métodos apropiados (como el método de imagen, el método de lista y el método analítico) para representar funciones de acuerdo con las diferentes necesidades.
③ Comprender funciones simples por partes y poder aplicarlas de manera sencilla.
④ Comprenda la monotonicidad, el valor máximo (mínimo) y el significado geométrico de la función a través de las funciones que ha aprendido, especialmente la función cuadrática combinada con funciones específicas, comprenda el significado de paridad y uniformidad;
⑤Aprenda a utilizar gráficos de funciones para comprender y estudiar las propiedades de las funciones (consulte el Ejemplo 1).
(2) Función exponencial
① (división celular, atenuación del C utilizado en arqueología, cambios en los residuos de medicamentos en el cuerpo humano, etc.), comprenda la implementación real de la Antecedentes del modelo de función exponencial.
②Comprenda el significado de la potencia del exponente racional, comprenda el significado de la potencia del exponente real a través de ejemplos específicos y domine la operación del poder.
③Comprender el concepto y el significado de las funciones exponenciales, ser capaz de dibujar imágenes de funciones exponenciales específicas con la ayuda de una calculadora o computadora, y explorar y comprender la monotonicidad y los puntos especiales de las funciones exponenciales.
④En el proceso de resolución de problemas prácticos simples, comprenda que las funciones exponenciales son un tipo importante de modelo de función (consulte el Ejemplo 2).
(3) Función logaritmo
① Comprenda el concepto de logaritmo y sus propiedades operativas, y sepa que los logaritmos generales se pueden convertir en logaritmos naturales o logaritmos comunes utilizando fórmulas de cambio de base; A través de materiales de lectura, comprenda la historia de los logaritmos y su papel en la simplificación de operaciones.
② A través de ejemplos específicos, comprenda intuitivamente las relaciones cuantitativas representadas por el modelo de función logarítmica, comprenda inicialmente el concepto de función logarítmica y comprenda que la función logarítmica es un tipo importante de modelo de función; use una calculadora o computadora Dibuje la gráfica de una función logarítmica específica, explore y comprenda la monotonicidad y los puntos especiales de la función logarítmica.
③Sepa que la función exponencial y la función logarítmica son funciones inversas entre sí (a>0, a≠1).
(4) Función de potencia
Comprender el concepto de función de potencia a través de ejemplos; combinar las imágenes de funciones para comprender sus cambios.
(5) Funciones y ecuaciones
① Combinado con la imagen de la función cuadrática, juzga la existencia y el número de raíces de la ecuación cuadrática, para comprender los puntos cero y el número de raíces de la función Conexiones entre raíces de ecuaciones.
②De acuerdo con la gráfica de una función específica, puedes usar una calculadora para encontrar la solución aproximada de la ecuación correspondiente usando el método de bisección. Comprenda que este método es un método común para encontrar soluciones aproximadas a ecuaciones.
(6) Modelo de función y su aplicación
①Utilice herramientas de cálculo para comparar las diferencias de crecimiento de funciones exponenciales, funciones logarítmicas y funciones de potencia; utilice ejemplos para experimentar un aumento directo, una explosión exponencial, y El significado del crecimiento de diferentes tipos de funciones, como el crecimiento numérico.
②Recopile algunos ejemplos de modelos de funciones (función exponencial, función logarítmica, función de potencia, función por partes, etc.) comúnmente utilizados en la vida social para comprender la amplia aplicación de los modelos de funciones.
(7) Tarea de pasantía
Según un tema determinado, recopilar algunos eventos y figuras históricas que ocurrieron alrededor del siglo XVII y jugaron un papel importante en el desarrollo de las matemáticas (Kepler, Galileo, Flute Karl, Newton, Leibniz, Euler, etc.) o ejemplos de funciones en la vida real, utilice la cooperación grupal para escribir un artículo sobre la formación, desarrollo o aplicación del concepto de funciones y comuníquese en clase. Para requisitos específicos, consulte Requisitos de cultura matemática.
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Matemáticas Obligatorias 2
1 Geometría sólida preliminar
(aprox. 18 horas de clase)
(1) Geometría espacial
①Utilice modelos físicos y software de computadora para observar una gran cantidad de gráficos espaciales y comprender las características estructurales de columnas, conos y tablas. , esferas y sus combinaciones simples, y puede usar estas características para describir la estructura de objetos simples en la vida real.
② Ser capaz de dibujar vistas tridimensionales de figuras espaciales simples (combinaciones simples de cuboides, esferas, cilindros, conos, prismas, etc.), ser capaz de identificar los modelos tridimensionales representados por los las tres vistas anteriores y poder utilizar materiales (como (cartón) para hacer modelos y utilizar el método diagonal para dibujar sus dibujos intuitivos.
③ Comprender las diferentes representaciones de gráficos espaciales observando las vistas y diagramas intuitivos dibujados mediante dos métodos (proyección paralela y proyección central).
④Completar tareas de prácticas, como dibujar vistas y diagramas visuales de determinados edificios (sobre la base de que las características gráficas no se ven afectadas, el tamaño, las líneas, etc. no son estrictamente necesarios).
⑤ Comprender las fórmulas de cálculo de superficie y volumen de esferas, prismas, pirámides y tablas (no es necesario memorizar fórmulas).
(2) Relaciones posicionales entre puntos, líneas y superficies
① Con la ayuda del modelo cuboide, basado en el conocimiento intuitivo y la comprensión de las relaciones posicionales entre puntos, líneas, y superficies en el espacio, abstraer la definición de relaciones de posición de línea y plano espacial y comprender los siguientes axiomas y teoremas que pueden usarse como base para el razonamiento.
◆Axioma 1: Si dos puntos de una recta están en un plano, entonces la recta está en este plano.
◆Axioma 2: Sólo hay un plano que pasa por tres puntos que no están en línea recta.
◆Axioma 3: Si dos planos que no se superponen tienen un punto común, entonces tienen y solo una recta común que pasa por el punto.
◆Axioma 4: Dos rectas paralelas a una misma recta son paralelas.
◆Teorema: Si los dos lados de dos ángulos en el espacio son paralelos, entonces los dos ángulos son iguales o complementarios.
② Tomando las definiciones, axiomas y teoremas de geometría sólida anteriores como punto de partida, a través de la percepción intuitiva, la confirmación operativa y la argumentación especulativa, reconozca y comprenda las propiedades y juicios relevantes de las líneas y planos paralelos y perpendiculares. en el espacio.
Confirma la operación y resume el siguiente teorema de juicio.
◆Una recta fuera de un plano es paralela a una recta de este plano, entonces la recta es paralela a este plano.
◆Si dos rectas que se cortan en un plano son paralelas a otro plano, entonces los dos planos son paralelos.
◆Una recta es perpendicular a dos rectas que se cruzan en un plano, entonces la recta es perpendicular a este plano.
◆Si un plano pasa por la perpendicular de otro plano, entonces los dos planos son perpendiculares.
Confirma la operación, resume el siguiente teorema de propiedad y pruébalo.
◆Si una recta es paralela a un plano, entonces la intersección de cualquier plano que pase por la recta y el plano es paralela a la recta.
◆Si dos planos son paralelos, entonces las líneas de intersección entre cualquier plano y los dos planos son paralelas entre sí.
◆Dos rectas perpendiculares a un mismo plano son paralelas.
◆Si dos planos son perpendiculares, entonces la recta perpendicular a la línea de intersección en un plano es perpendicular al otro plano.
③Ser capaz de utilizar las conclusiones obtenidas para demostrar algunas proposiciones simples sobre relaciones de posición espacial.
2. Geometría analítica plana preliminar
(unas 18 horas lectivas)
(1) Rectas y ecuaciones
① En el sistema de coordenadas del plano rectangular, combinado con gráficos específicos, explore los elementos geométricos que determinan la posición de la línea recta.
②Comprende los conceptos de ángulo de inclinación y pendiente de una línea recta, experimenta el proceso de describir la pendiente de una línea recta usando métodos algebraicos y domina la fórmula de cálculo para la pendiente de una línea recta que pasa por dos agujas.
③Puede determinar si dos líneas rectas son paralelas o perpendiculares según la pendiente.
④ Con base en los elementos geométricos que determinan la posición de una línea recta, explore y domine varias formas de ecuaciones de líneas rectas (forma punto-pendiente, forma de dos puntos y forma general) y comprenda la relación. entre la forma pendiente-intersección y funciones lineales.
⑤Ser capaz de encontrar las coordenadas de intersección de dos rectas resolviendo un sistema de ecuaciones.
⑥ Explora y domina la fórmula de la distancia entre dos puntos y la fórmula de la distancia de un punto a una recta, y sé capaz de encontrar la distancia entre dos rectas paralelas.
(2) Círculos y Ecuaciones
① Revisa los elementos geométricos que determinan un círculo y explora y domina las ecuaciones estándar y ecuaciones generales de un círculo en el sistema de coordenadas cartesiano plano.
②Ser capaz de juzgar la relación posicional entre una línea recta y un círculo, y entre un círculo y un círculo basándose en las ecuaciones dadas de una línea recta y un círculo.
③Ser capaz de resolver algunos problemas sencillos utilizando ecuaciones de rectas y circunferencias.
(3) Durante el proceso de aprendizaje preliminar de la geometría analítica plana, experimente la idea de utilizar métodos algebraicos para resolver problemas geométricos.
(4) Sistema de coordenadas cartesianas espaciales
① A través de situaciones específicas, sienta la necesidad de establecer un sistema de coordenadas cartesianas espaciales, comprenda el sistema de coordenadas cartesianas espaciales y sea capaz de utilizar el Sistema de coordenadas cartesianas espaciales para describir la ubicación de puntos.
② Al expresar las coordenadas de los vértices de un cuboide especial (todos los bordes son paralelos al eje de coordenadas), explore y obtenga la fórmula de la distancia entre dos puntos en el espacio.
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Matemáticas Obligatorias 3
Algoritmo preliminar
(alrededor de 12). Horas de clase)
(1) El significado y el diagrama de bloques del programa del algoritmo
① Comprender el algoritmo a través del análisis del proceso y los pasos para resolver problemas específicos (como resolver problemas de ecuaciones lineales en dos variables, etc.) ideas y comprender el significado de algoritmos.
② A través de la imitación, operación y exploración, experimente el proceso de resolución de problemas expresados a través del diseño de diagramas de bloques. En el proceso de resolver problemas específicos (como resolver ecuaciones lineales tridimensionales, etc.), comprenda las tres estructuras lógicas básicas del diagrama de bloques del programa: secuencia, rama condicional y bucle.
(2) Declaraciones de algoritmos básicos: experimente el proceso de convertir diagramas de bloques de programas de problemas específicos en declaraciones de programas y comprenda varias declaraciones de algoritmos básicos: declaraciones de entrada, declaraciones de salida, declaraciones de asignación, declaraciones condicionales y bucles. declaraciones, para comprender mejor las ideas básicas del algoritmo.
(3) Al leer casos de algoritmos en las matemáticas chinas antiguas, se puede comprender la contribución de las matemáticas chinas antiguas al desarrollo de las matemáticas mundiales.
2. Estadísticas
(alrededor de 16 horas de clase)
(1) Muestreo aleatorio
①Puede Plantear cuestiones estadísticas de algún valor de la vida real u otras disciplinas.
②Comprender la necesidad e importancia del muestreo aleatorio basado en situaciones problemáticas prácticas específicas.
③En el proceso de participar en la resolución de problemas estadísticos, aprenda a utilizar el método de muestreo aleatorio simple para extraer muestras de la población mediante el análisis de ejemplos, comprenda el muestreo estratificado y los métodos de muestreo sistemático.
④ Capaz de recopilar datos a través de experimentos, revisión de información y diseño de cuestionarios.
(2) Utilice muestras para estimar la población
① Comprenda el significado y el papel de la distribución a través de ejemplos. En el proceso de representar datos de muestra, aprenda a hacer tablas de distribución de frecuencia y a dibujar. histogramas de distribución de frecuencia, gráfico de líneas de frecuencia y gráfico de tallo y hojas (ver Ejemplo 1) para comprender sus respectivas características.
② Comprenda el significado y la función de la desviación estándar de los datos de muestra a través de ejemplos y aprenda a calcular la desviación estándar de los datos.
③Ser capaz de seleccionar muestras razonablemente de acuerdo con las necesidades de los problemas reales, extraer características numéricas básicas (como la media, la desviación estándar) de los datos de la muestra y dar explicaciones razonables.
④ En el proceso de resolución de problemas estadísticos, comprender mejor la idea de usar muestras para estimar la población, poder usar la distribución de frecuencia de la muestra para estimar la distribución de la población y usar la distribución básica. características numéricas de la muestra para estimar las características numéricas básicas de la población de forma preliminar. Comprender la aleatoriedad de la distribución de frecuencia de la muestra y las características numéricas.
⑤ Ser capaz de utilizar el método básico de muestreo aleatorio y la idea de estimación de muestras para resolver algunos problemas prácticos simples; ser capaz de proporcionar alguna base para la toma de decisiones razonable a través del análisis de datos y comprender el papel de las estadísticas y comprender las estadísticas. La diferencia entre pensamiento y pensamiento determinista.
⑥ Formar la conciencia de la evaluación preliminar del proceso de procesamiento de datos.
(3) Correlación de variables
① Haga un diagrama de dispersión recopilando datos sobre dos variables relacionadas en problemas reales y utilice el diagrama de dispersión para comprender intuitivamente la correlación entre las variables.
②Experimente el proceso de utilizar diferentes métodos de estimación para describir la correlación lineal entre dos variables. Conociendo la idea del método de mínimos cuadrados, puede establecer una ecuación de regresión lineal basada en la fórmula de coeficiente dada de la ecuación de regresión lineal (ver Ejemplo 2).
3. Probabilidad
(alrededor de 8 lecciones)
(1) En situaciones específicas, comprender cómo ocurren los eventos aleatorios. y la estabilidad de la frecuencia, aprenda más sobre el significado de probabilidad y la diferencia entre frecuencia y probabilidad.
(2) A través de ejemplos, comprenda la fórmula de suma de probabilidades de dos eventos mutuamente excluyentes.
(3) A través de ejemplos, comprender los conceptos clásicos y sus fórmulas de cálculo de probabilidad, y ser capaz de utilizar métodos de enumeración para calcular el número de eventos básicos contenidos en algunos eventos aleatorios y la probabilidad de ocurrencia del evento.
(4) Comprender el significado de los números aleatorios, ser capaz de utilizar métodos de simulación (incluidas calculadoras para generar números aleatorios para la simulación) para estimar probabilidades e inicialmente comprender el significado de los conceptos geométricos (ver Ejemplo 3). .
(5) A través de materiales de lectura, comprender el proceso de comprensión humana de los fenómenos aleatorios.
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Matemáticas Obligatorias 4
1 Funciones trigonométricas
(unas 16). Horas de clase)
(1) Ángulos arbitrarios y radianes
Comprender el concepto de ángulos arbitrarios y el sistema de radianes, y ser capaz de convertir radianes y ángulos entre sí.
(2) Funciones trigonométricas
①Utiliza el círculo unitario para comprender la definición de funciones trigonométricas (seno, coseno, tangente) en cualquier ángulo.
② Usar las líneas de funciones trigonométricas en el círculo unitario para derivar las fórmulas de inducción (seno, coseno, tangente de), ser capaz de dibujar la imagen de y comprender la periodicidad de las funciones trigonométricas.
③Utilice imágenes para comprender las propiedades de la función seno, la función coseno y la función tangente (como monotonicidad, valores máximos y mínimos, intersección de la imagen y el eje x, etc.).
④ Comprender las expresiones relacionales básicas de funciones trigonométricas congruentes:
⑤ Combinadas con ejemplos específicos, comprender el significado práctico de observar el parámetro A con la ayuda de una calculadora o; imágenes dibujadas por una computadora, ω, influencia en el cambio de función gráfica.
⑥Ser capaz de utilizar funciones trigonométricas para resolver algunos problemas prácticos simples y comprender que las funciones trigonométricas son un modelo de función importante para describir fenómenos de cambio periódico.
2. Vectores planos
(alrededor de 12 lecciones)
(1) Antecedentes reales y conceptos básicos de los vectores planos
p>
A través del análisis de fuerza y fuerza y otros ejemplos, puede comprender el trasfondo real de los vectores, comprender el significado de los vectores planos y la igualdad de vectores, y comprender la representación geométrica de los vectores.
(2) Operaciones lineales de vectores
① Domina las operaciones de suma y resta de vectores y comprende su significado geométrico.
② Domina la operación de multiplicación de vectores y comprende su significado geométrico, así como el significado de la intersección de dos vectores.
③Comprender las propiedades de operación lineal de los vectores y su significado geométrico.
(3) Teorema básico y representación de coordenadas del vector plano
① Comprender el teorema básico y el significado del vector plano.
② Dominar la descomposición ortogonal de vectores planos y su representación coordinada.
③Ser capaz de utilizar coordenadas para representar la suma, resta y multiplicación de vectores planos.
④ Comprender las condiciones de la línea vectorial plana *** representada por coordenadas.
(4) El producto cuantitativo de vectores planos
① A través de ejemplos como "trabajo" en física, comprenda el significado del producto cuantitativo de vectores planos y su significado físico.
② Comprender la relación entre el producto cuantitativo de vectores planos y la proyección vectorial.
③ Dominar la expresión de coordenadas del producto cuantitativo y ser capaz de realizar cálculos del producto cuantitativo vectorial plano.
④Ser capaz de utilizar el producto de cantidades para expresar el ángulo entre dos vectores, y poder utilizar el producto de cantidades para determinar la relación vertical entre dos vectores planos.
(5) Aplicación de vectores
Experimentar el proceso de utilizar métodos vectoriales para resolver algunos problemas simples de geometría plana, problemas mecánicos y otros problemas prácticos, y darse cuenta de que los vectores son una forma de abordar problemas de geometría, problemas de física, etc., para desarrollar habilidades informáticas y la capacidad de resolución de problemas prácticos.
3. Transformación trigonométrica de la identidad
(alrededor de 8 lecciones)
(1) Derivado de la experiencia de utilizar el producto de cantidad. de vectores El proceso de la fórmula del coseno de la diferencia entre dos ángulos y comprender mejor el papel del método vectorial.
(2) Ser capaz de derivar las fórmulas del seno, coseno y tangente de la suma y diferencia de dos ángulos a partir de la fórmula del coseno de la diferencia entre dos ángulos, y las fórmulas del seno, coseno y tangente del doble del ángulo y comprender sus conexiones internas.
(3) Ser capaz de utilizar las fórmulas anteriores para realizar transformaciones de identidad simples (incluida la derivación guiada de productos y diferencias, productos de sumas y diferencias y fórmulas de medio ángulo, pero no se requiere memoria).
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Matemáticas Obligatorias 5
Resolver triángulos
(unos 8. Horas de clase)
(1) Al explorar la relación entre las longitudes de los lados y los ángulos de cualquier triángulo, dominar el teorema del seno y el teorema del coseno y ser capaz de resolver algunos problemas simples de medición de triángulos.
(2) Ser capaz de utilizar conocimientos y métodos como el teorema del seno y el teorema del coseno para resolver algunos problemas prácticos relacionados con la medición y los cálculos geométricos.
2. Secuencia
(alrededor de 12 lecciones)
(1) Concepto y representación simple de secuencia
Comprender el concepto de secuencia y varios métodos de representación simples (listas, imágenes, fórmulas generales) y comprender que una secuencia es una función especial.
(2) Secuencia aritmética y secuencia geométrica
① Comprender los conceptos de secuencia aritmética y secuencia geométrica.
② Explora y domina la fórmula general de la secuencia aritmética y la secuencia geométrica y la fórmula de la suma de los primeros n términos.
③Ser capaz de descubrir las relaciones aritméticas o geométricas de secuencias numéricas en situaciones problemáticas específicas y ser capaz de utilizar conocimientos relevantes para resolver los problemas correspondientes (ver Ejemplo 1).
④ Comprender la relación entre secuencia aritmética, secuencia geométrica y función lineal y función exponencial.
3. Desigualdad
(alrededor de 16 lecciones)
(1) Relación de desigualdad
Sentirse ahí Hay una gran cantidad de desigualdades en el mundo real y en la vida diaria. Comprender los antecedentes prácticos de las desigualdades (conjuntos).
(2) Desigualdad cuadrática de una variable
①Experimente el proceso de abstraer el modelo de desigualdad cuadrática de una variable de situaciones reales.
② Comprender la conexión entre desigualdades cuadráticas de una variable y las funciones y ecuaciones correspondientes a través de gráficas de funciones.
③Ser capaz de resolver desigualdades cuadráticas de una variable e intentar diseñar un diagrama de bloques de programa para resolver las desigualdades cuadráticas dadas de una variable.
(3) Desigualdades lineales binarias y problemas de programación lineal simples
①Desigualdades lineales binarias abstractas de situaciones reales.
②Comprender el significado geométrico de desigualdades lineales de dos variables y ser capaz de expresar el grupo de desigualdades lineales de dos variables en un área plana (ver Ejemplo 2).
③Resumir algunos problemas simples de programación lineal binaria de situaciones reales y poder resolverlos (ver Ejemplo 3).
(4) Desigualdad básica: .
① Explorar y comprender el proceso de prueba de desigualdades básicas.
②Ser capaz de utilizar desigualdades básicas para resolver problemas simples de valor máximo (mínimo) (ver Ejemplo 4).
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Electiva de Matemáticas
Electiva 2-1
1. Terminología lógica (alrededor de 8 horas)
(1) Proposiciones y sus relaciones
① Comprender las proposiciones inversas, negativas y inversas de proposiciones.
②Comprender el significado de condiciones necesarias, condiciones suficientes y condiciones necesarias y suficientes, y ser capaz de analizar las interrelaciones de las cuatro proposiciones.
(2) Conectivas lógicas simples
Comprender el significado de las conectivas lógicas "o", "y" y "no".
(3) Cuantificadores universales y cuantificadores existenciales
① Comprender el significado de cuantificadores universales y cuantificadores existenciales.
②Sabe negar correctamente una proposición que contiene un cuantificador.
2. Secciones cónicas y ecuaciones (alrededor de 16 lecciones)
(1) Secciones cónicas
① Comprenda el contexto real de las secciones cónicas y sienta cómo funcionan las secciones cónicas. describir el papel en el mundo real y resolver problemas prácticos.
② Experimente el proceso de abstraer modelos de elipses y parábolas de situaciones específicas y domine sus definiciones, ecuaciones estándar, figuras geométricas y propiedades simples.
③ Comprender la definición, figuras geométricas y ecuaciones estándar de la hipérbola, y conocer las propiedades relevantes de la hipérbola.
④Ser capaz de utilizar el método de coordenadas para resolver algunos problemas geométricos simples relacionados con secciones cónicas (la relación posicional entre líneas rectas y secciones cónicas) y problemas prácticos.
⑤A través del estudio de las secciones cónicas, puedes comprender mejor la idea de combinar números y formas.
(2) Curvas y ecuaciones
Comprenda la relación correspondiente entre curvas y ecuaciones y experimente más la idea básica de combinar números y formas.
3. Vectores espaciales y geometría sólida (alrededor de 12 lecciones)
(1) Vectores espaciales y sus operaciones
① Experimente los vectores y sus operaciones de plano a plano El proceso de promoción espacial.
② Comprenda el concepto de vector espacial, comprenda el teorema básico y su significado del vector espacial, y domine la descomposición ortogonal y la representación de coordenadas del vector espacial.
③ Dominar el funcionamiento lineal de vectores espaciales y su representación coordinada.
④ Dominar el producto cuantitativo de vectores espaciales y su representación coordinada, y ser capaz de utilizar el producto cuantitativo de vectores para determinar la línea vertical y la perpendicularidad del vector.
(2) Aplicación de los vectores espaciales
① Entender el vector dirección de una recta y el vector normal de un plano.
② Puede utilizar lenguaje vectorial para expresar las relaciones verticales y paralelas de líneas, rectas y superficies.
③Ser capaz de utilizar el método vectorial para demostrar algunos teoremas sobre la relación posicional entre líneas y superficies (incluido el teorema de las tres perpendiculares) (ver Ejemplo 1, Ejemplo 2 y Ejemplo 3).
④ Ser capaz de utilizar métodos vectoriales para resolver problemas de cálculo de ángulos entre rectas, rectas y superficies, y apreciar el papel de los métodos vectoriales en el estudio de problemas geométricos.
Caso de referencia
Ejemplo 1. En el prisma triangular rectángulo conocido, ∠ACB=90°, ∠BAC=30°, , M es el punto medio de la arista. probar: .
Ejemplo 2. Se sabe que el rectángulo ABCD y el rectángulo ADEF son perpendiculares, teniendo como lado común AD, pero no están en el mismo plano. Los puntos M y N están en las diagonales BD y AE respectivamente, y .
Prueba: MN∥Plano CDE.
Ejemplo 3. El cubo unitario se conoce, E y F son los puntos medios de las aristas y respectivamente. Intenta encontrar:
(1) El ángulo formado por EF (2) El ángulo formado por AF y el plano (3) El tamaño del ángulo diédrico;
Optativa 2-2
1. Los derivados y sus aplicaciones (unas 24 horas)
(1) El concepto de derivados y sus aplicaciones Significado geométrico
① A través del análisis de una gran cantidad de ejemplos, experimente el proceso de transición de la tasa de cambio promedio a la tasa de cambio instantánea, comprenda los antecedentes reales del concepto de derivados , saber que la tasa de cambio instantánea es la derivada y comprender la idea de derivadas y su connotación (ver Ejemplos 2 y 3 en el caso electivo 1-1).
②Comprende intuitivamente el significado geométrico de las derivadas a través de gráficas de funciones.
(2) Operación de derivadas
① La derivada de una función se puede encontrar basándose en la definición de derivada.
② Puede utilizar la fórmula derivada dada de funciones elementales básicas y las cuatro reglas aritméticas de derivadas para encontrar la derivada de funciones simples, y puede encontrar la derivada de funciones compuestas simples (limitadas a la forma).
③Ser capaz de utilizar tablas de fórmulas derivadas.
(3) Aplicación de derivadas en el estudio de funciones
① Utilice la intuición geométrica para explorar y comprender la relación entre la monotonicidad de funciones y derivadas (ver Ejemplo 4 en la asignatura optativa 1-1 case ); puede usar derivadas para estudiar la monotonicidad de funciones y puede encontrar el intervalo monótono de una función polinómica que no exceda los tres grados.
② Combinado con la gráfica de la función, comprender las condiciones necesarias y suficientes para que la función obtenga un valor extremo en un punto determinado; ser capaz de utilizar derivadas para encontrar el valor máximo, el valor mínimo y cierre de una función polinómica que no exceda los tres grados. Los valores máximos y mínimos de funciones polinómicas en intervalos que no excedan el cúbico experimentan la generalidad y efectividad del método derivado al estudiar las propiedades de las funciones.
(4) Ejemplos de problemas de optimización en la vida.
Por ejemplo, a través de problemas de optimización como maximizar ganancias, ahorrar materiales y maximizar la eficiencia, puede experimentar el papel de los derivados en la resolución de problemas prácticos (consulte el Ejemplo 5 en el caso optativo 1-1).
(5) El teorema básico de la integral definida y el cálculo
①Comprenda los antecedentes reales de la integral definida a partir de la situación del problema al encontrar el área del trapezoide curvo, el trabajo realizado por fuerza variable, etc.; con la ayuda de la Geometría comprende intuitivamente las ideas básicas de integrales definidas y comprende inicialmente el concepto de integrales definidas.
② A través de la relación entre la velocidad y la distancia de un objeto en movimiento de velocidad variable dentro de un cierto período de tiempo, puede comprender intuitivamente el significado del teorema básico del cálculo (ver Ejemplo 1).
2. Razonamiento y demostración (alrededor de 8 horas)
(1) Razonamiento y razonamiento deductivo
① Comprender el significado del razonamiento y ser capaz de utilizar la conducta. razonamiento simple a través de inducción y analogía, y experimentar y comprender el papel del razonamiento lógico en los descubrimientos matemáticos (ver Ejemplos 2 y 3 en los casos optativos 1-2).
② Comprender la importancia del razonamiento deductivo, dominar los modelos básicos del razonamiento deductivo y ser capaz de utilizarlos para realizar algunos razonamientos sencillos.
③Comprender las conexiones y diferencias entre el razonamiento lógico y el razonamiento deductivo a través de ejemplos específicos.
(2) Prueba directa y prueba indirecta
① Comprender los dos métodos básicos de prueba directa: método analítico y método sintético comprender el proceso de pensamiento y las características del método analítico y el método sintético; .
② Comprender un método básico de prueba indirecta: prueba por contradicción; comprender el proceso de pensamiento y las características de la prueba por prueba.
(3) Inducción matemática
Comprender los principios de la inducción matemática y ser capaz de utilizar la inducción matemática para demostrar algunas proposiciones matemáticas sencillas.
(4) Cultura matemática
① Mediante la introducción de ejemplos (como los "Elementos de geometría" de Euclides, "El capital" de Marx, la "Declaración de independencia" de Jefferson, los Tres de Newton Leyes) y experimentar el pensamiento axiomático.
②Presentar el papel de los ordenadores en el campo del razonamiento automático y las demostraciones matemáticas.
3. Ampliación de los sistemas numéricos e introducción de números complejos (aproximadamente 4 horas de clase)
(1) Comprender el proceso de expansión de los sistemas numéricos en situaciones problemáticas y comprender las necesidades reales y matemáticas internas Explore el papel de las contradicciones (reglas de operación numérica, teoría de ecuaciones) en la expansión del sistema numérico y sienta el papel del pensamiento racional humano y la conexión entre los números y el mundo real.
(2)Comprender los conceptos básicos de los números complejos y las condiciones necesarias y suficientes para la igualdad de los números complejos.
(3) Comprender la representación algebraica de números complejos y su significado geométrico.
(4) Ser capaz de realizar cuatro operaciones aritméticas en forma algebraica compleja y comprender el significado geométrico de las operaciones de suma y resta en forma algebraica compleja. .
Caso de referencia
Ejemplo 1. Un objeto se mueve en línea recta según la ley Ya sabemos que su velocidad de movimiento en un momento determinado (es decir, velocidad instantánea o velocidad instantánea). de cambio) es la derivada en el tiempo, es decir Consideremos ahora el cambio total de posición entre y . Dividimos el intervalo en n intervalos pequeños. También podríamos suponer que las longitudes de los intervalos pequeños son iguales y sus longitudes lo son.
Para cada intervalo pequeño, asumimos que la tasa de cambio es aproximadamente constante, por lo que podemos decir la tasa de cambio × tiempo de
.
En el primer intervalo pequeño, es decir, de a, la tasa de cambio supuesta es aproximadamente, por lo que hay
De manera similar, para el segundo intervalo pequeño, es decir, de a , se supone que la tasa de cambio de es aproximadamente , por lo que hay
y así sucesivamente. Sume todos los cambios de posición aproximados obtenidos en todos los intervalos pequeños para obtener el cambio total de
s
Podemos escribir el cambio total de posición entre a como . En cambio, cuando la división es infinitamente refinada y n tiende a infinito, el límite de la fórmula de la suma
es la integral definida o , es decir, el cambio total de posición entre a . Por tanto, podemos sacar la siguiente conclusión:
Es decir, la integral definida de la tasa de cambio da el cambio total.
Específicamente, cuando un objeto se mueve con una velocidad uniforme, es decir, inmediatamente,
Cuando un objeto se mueve con una aceleración uniforme, es decir, cuando (donde es una constante),
Generalmente, si es una función continua, y, entonces
Este es el teorema fundamental del cálculo. Lo que se da aquí no es una prueba muy estricta, pero refleja la idea básica del teorema fundamental del cálculo y la conexión entre diferencial (derivada) e integral.
Electiva 2-3
1. Principios de Conteo (unas 14 horas)
(1) Principios de clasificación, suma y conteo, puntos Principio de multiplicación y conteo paso a paso
Resumen del principio de suma y conteo categórico y el principio de multiplicación y conteo paso a paso según las características de problemas específicos, puede elegir; el principio de suma y conteo categórico o el principio de multiplicación y conteo paso a paso para resolver algunos problemas prácticos simples.
(2) Disposición y combinación
Comprender los conceptos de permutación y combinación. Ser capaz de utilizar principios de conteo para derivar fórmulas de números de permutación y fórmulas de números de combinación, y ser capaz de resolver fórmulas simples. problemas prácticos.
(3) Teorema del binomio
Poder utilizar el principio de conteo para demostrar el teorema del binomio (ver Ejemplo 1); expansiones Pregunta simple.
2. Estadística y Probabilidad (unas 22 horas de clase)
(1) Probabilidad
①En el análisis de problemas específicos, comprender la discreción de valores finitos. concepto de variables aleatorias tipo y sus series de distribución, y comprensión de la importancia de las series de distribución en la descripción de fenómenos aleatorios.
② A través de ejemplos (como sorteos de lotería), comprender la distribución hipergeométrica y su proceso de derivación, y ser capaz de realizar aplicaciones sencillas (ver Ejemplo 2).
③En situaciones específicas, comprender el concepto de probabilidad condicional y la independencia de dos eventos, comprender el modelo y la distribución binomial de n experimentos repetidos independientes y ser capaz de resolver algunos problemas prácticos simples (ver Ejemplo 3). .
④ Comprender el concepto de tomar la media y la varianza de variables aleatorias discretas de valores finitos, ser capaz de calcular la media y la varianza de variables aleatorias discretas simples y ser capaz de resolver algunos problemas prácticos (ver Ejemplo 4).
⑤ Comprender las características de la curva de distribución normal y el significado de la curva con la ayuda de la intuición (como los histogramas de problemas prácticos).
(2) Casos estadísticos
① Mediante la exploración de "¿Está el cáncer de pulmón relacionado con el tabaquismo?" Comprenda la idea básica de la prueba de independencia (solo la tabla de contingencia 2 × 2 es requerido), Métodos y aplicaciones preliminares.
② A través de la exploración del "control de calidad" y "si los nuevos medicamentos son efectivos", comprenda las ideas básicas, los métodos y las aplicaciones preliminares de los principios de inferencia práctica y las pruebas de hipótesis (consulte el Ejemplo 1 en la materia optativa 1- 2 caso).
③A través de la exploración de la "Clasificación de insectos", comprenda las ideas básicas, los métodos y las aplicaciones preliminares del análisis de conglomerados.
④ A través de la exploración de "la relación entre el peso y la altura humanos", comprenda las ideas básicas, los métodos y las aplicaciones preliminares de la regresión.