Dé a los niños un montón de manzanas, 4 de cada una, 3 de cada una, 6 de cada una, 5 de cada una, 8 de cada una y 7 de cada una. ¿Cuántas manzanas hay?

Si el resto obtenido al dividir el entero A por el entero B es 1, entonces dividir el entero A por 2 veces, 3 veces, 4 veces,..., (b-1) veces es respectivamente

1×2=2,

1×3=3,

1×4=4,

…………

1×(b-1)=b-1.

Por ejemplo, 15 ÷ 7 = 2...el resto es 1, es decir,

2× 15 ÷ 7 = 4...el resto es 2,

3 × 15 ÷ 7 = 6...restante 3,

4× 15 ÷ 7 = 8...restante 4,

5× 15 ÷ 7 = 10...5,

6× 15 ÷ 7 = 12...en 6.

Presta atención también a una experiencia.

Después de restar continuamente varias B a un determinado número A, la diferencia requerida es menor que el número B. En realidad, es el resto que se obtiene al dividir el número A por el número B.

Por ejemplo, después de restar un número 105 de 758, la diferencia requerida es menor que 105, que en realidad es el resto obtenido al dividir 758 entre 105.

758 ÷ 105 = 7... en 23.

Examinemos el problema de Sun Tzu.

Hay una pregunta en los cálculos de Sun Tzu en la antigua China: “Hay cosas desconocidas hoy en día. Al contar tres o tres, quedan dos; al contar cinco o cinco, quedan tres; al contar siete o siete, quedan dos. ¿Cuál es la geometría de las cosas?" ¿Qué significa? Sí, "Un número dividido por 3 es mayor que 2, dividido por 5 es mayor que 3 y dividido por 7 es mayor. mayor que 2. Encuentre el número más pequeño que se ajuste a esta condición". Este problema se llama "problema de Sun Tzu". La solución general al problema de Sun Tzu se conoce internacionalmente como el "Teorema chino del resto".

De hecho, podemos ver el problema anterior de esta manera:

Escribe dos múltiplos comunes de los divisores 3, 5 y 7 respectivamente. La siguiente tabla:

Grupo N°1, Grupo N°2, Grupo N°3

Mínimo común múltiplos 3 y 5, múltiplos comunes 3 y 7, múltiplos comunes 5 y 7 .

Otros múltiplos comunes 15 21 35

30 42 70

45 63 105

60 84 140

75 105 175

......

En el primer conjunto de números, elegimos el número más pequeño: 30, que se ajusta a "dividir entre 7 y 2";

En el segundo grupo de números, elija el número más pequeño: 63, que es consistente con "dividir entre 5, dejando 3";

En el tercer grupo de números, elija el más pequeño número - 35.

Según la divisibilidad de la suma, podemos saber que 363+35=128 debe ser un número que simultáneamente se ajuste a "dividir entre 3, dividir entre 5 y dividir entre 7" (¿por qué? ), pero no es necesariamente el caso más bajo. Para obtener un número mínimo calificado, simplemente resta varias veces del mínimo común múltiplo de 3, 5 y 7 para que la diferencia sea menor que el mínimo común múltiplo.

El mínimo común múltiplo de 3, 5 y 7 es 3×5×7=105. Por tanto, debido a la experiencia anterior 2, podemos ver que 128 ÷ 105 = 1... en 23.

Este resto 23 es el número mínimo calificado requerido.

Lo significativo es que, aunque la solución del Sr. Sun también se obtuvo pensando en la tabla anterior, su solución es más general. Estimados lectores, ¿pueden adivinar la solución general de Sun Tzu?

Ley

Un número dividido entre 3 es mayor que 2, dividido entre 5 es mayor que 3, dividido entre 7 es mayor que 2, encuentra el número más pequeño que cumpla esta condición. La solución de Sun Tzu es:

Primero encuentra los números más pequeños 15, 21 y 70 que son divisibles por 7, 5 y 3 respectivamente de los múltiplos comunes de 3 y 5, 3 y 7, 5 y 7.

15 ÷ 7 = 2...restante 1,

21 ÷ 5 = 4...restante 1,

70 ÷ 3 = 23.. .1 restante.

Luego multiplica los tres números más pequeños encontrados por el resto dividido por el producto de 7, 5 y 3,

15×2+21×3+70×2= 233.

Finalmente, la suma 233 se divide por el mínimo común múltiplo de los divisores 3, 5 y 7.

233 ÷ 105 = 2...resto 23,

Este resto 23 es el número mínimo calificado.

Los tres pasos anteriores se aplican para resolver todos los problemas similares al problema de Sun Tzu.

Ejercicio

1. Han Xin ordenó a los soldados: Hay un grupo de soldados. Si se organizan en cinco filas, habrá una al final, seis al final, cinco al final, siete al final, cuatro al final y diez al final. Pregunta por el número de soldados.

2.Hay un montón de piezas de ajedrez, quedan dos de las tres fichas, quedan cuatro de las cinco fichas y quedan seis de las siete fichas. ¿Cuál es el número mínimo de piezas en esta pila? (Resuelto de dos maneras)

3. Divide un número entre 7, 3, 8, 4 y 9. 5. Encuentra diez números de menor a mayor que se adapten a las condiciones.

4. Divide un número entre 5+2, 7+4 u 11+8. Encuentra el número más pequeño que se ajuste a la condición.

5. Un mono cuenta un montón de melocotones. Guarde 1 por dos terrenos, 1 por tres terrenos, tres por cinco terrenos y tres por siete terrenos. ¿Cuál es la cantidad mínima de duraznos en esta pila?

Las matemáticas son muy abstractas y aburridas. ¿Cómo hacer que las matemáticas sean fáciles de entender y populares entre la gente? En este sentido, los antiguos matemáticos chinos han hecho muchos intentos, y las baladas y las fórmulas son uno de ellos. Comenzando con Yang Hui en la dinastía Song del Sur, Zhu Shijie, Ding Ju y Jia Heng en la dinastía Yuan, y Liu Shilong y Cheng Dawei en la dinastía Ming, todos propusieron varios algoritmos en forma de rima o varios problemas matemáticos en la forma de poesía. Hay doce problemas matemáticos en "Siyuan Encounter" y "Or Wen Ge" de Zhu Shijie, ambos planteados en forma de poesía. Por ejemplo, la primera pregunta:

Hoy hay una piscina cuadrada con agua por todos lados.

Los lados del arrecife gradualmente se hicieron más grandes, emergiendo 30 pulgadas de agua.

En la costa este hay una especie de espadaña y en el agua no hay ceros.

El pilar del puente está ligeramente al ras del agua, entonces, ¿cómo determinar los tres tipos (profundidad del agua, longitud del pilar, longitud del pilar)?

La cuarta pregunta:

Tengo una jarra de vino y quiero llevarme a Youchun conmigo.

Cuando te encuentres con una tienda, duplica la cantidad y bebe un cubo para cada amigo.

El comerciante pasó por tres lugares y perdió el vino en la olla.

¿Puedo preguntar cuánto vino hay en esta jarra?

El "Algoritmo clásico de la dinastía Ming" de Cheng Dawei es una obra matemática popular y práctica y una obra representativa de la poesía digital. Los diecisiete volúmenes del "Algoritmo Tongzong", que circuló ampliamente a finales de las dinastías Ming y principios de la dinastía Qing, hicieron contribuciones destacadas a la popularización del conocimiento matemático popular. Cheng Dawei tardó casi 20 años en completar este libro. Inicialmente fue un hombre de negocios. Cuando hacía negocios, coleccionaba libros sobre aritmética y escritura de todo el país, los compilaba en canciones y convertía aburridos problemas matemáticos en hermosos poemas, que eran pegadizos y aumentaban la popularidad de las matemáticas.

El famoso "Sun Tzu Suan Jing" tiene el problema de "no saber el número de cosas". El texto original de este cálculo es: "Hoy en día se desconocen los números de algunas cosas. El número de tres o tres es dos, el número de cinco o cinco es tres y el número de siete o siete es dos. ¿Cuál es el número? ¿Geometría de las cosas? Respuesta veintitrés. "Este tema se ha transmitido a generaciones posteriores y han aparecido muchos nombres interesantes, como "Guiguzi" y "Han Xin ordenó a sus tropas". Cheng Dawei escribió una solución matemática en forma de poesía en "La unidad de la aritmética":

Tres personas caminando juntas a setenta, cinco árboles y veintiún palos,

Los siete Los hijos se reunieron a mediados de mes, no lo supimos hasta hace 105 años.

Este poema contiene el famoso "Teorema del resto". Es decir, el resto dividido por 3 por 70, el resto dividido por 5 por 21 y el resto dividido por 7 por 15. Si el resultado es mayor que 105, redúcelo en un múltiplo de 105. El resultado del problema anterior es: (2×70)+(3×21)+(2×15)-(2×105)=23.

Esta pregunta también tiene una respuesta poética en un cuaderno de la dinastía Song:

Un niño de tres años es setenta raro, y de cinco a veinte cosas son particularmente extrañas.

Nos vemos siete veces, Hanshi Ming.

En la antigüedad, el decimoquinto día del primer mes lunar se llamaba Shangyuan, por lo que Shangyuan se refiere al día 15, que también se llama Qingming en el día 16 del solsticio. Cold Food es el día anterior al Festival Qingming, por lo que Qingming en Cold Food se refiere al 105. Los dos poemas tienen la misma solución y la respuesta es 23.

Cheng Dawei también tiene un poema matemático sobre la bebida que es similar a un sistema de ecuaciones lineales binarias:

Hay muchos clientes en el restaurante y el nombre del vino fino es fuerte. y suave.

Una botella de buen vino emborrachará a tres personas, tres botellas de vino flojo emborrachará a una persona.

* * *Bebió 19 veces y los 33 invitados estaban borrachos.

¿Cuánto alcohol tiene Gao Ming?

La idea general de este poema es: una botella de buen vino puede emborrachar a tres invitados; tres botellas de vino fino pueden emborrachar a los invitados. 33 invitados estaban borrachos y bebieron un total de 19 botellas de vino. ¿Cuántas botellas de buen vino y de vino fino hay?

Hay un libro de aritmética "Algoritmo detallado" de la dinastía Yuan que habla sobre el método de medir acres:

En la antigüedad, los campos eran largos y húmedos, y todos estaban medido con reglas de cuerda.

Aunque existe una forma de ley universal, sólo la ley de Tian Fang es fácil de especificar.

Si ves una bañera de hidromasaje diagonalmente cóncava, no dejes de arreglarla.

Sin embargo, el mijo es en realidad un producto de campo y el método de dos o cuatro acres es muy fuerte.

Un poema matemático llamado "El pájaro regresa al nido" de Su Dongpo;

Nacieron uno tras otro, tres, cuatro, cinco, seis, siete y ocho.

¡Hay menos pájaros Fénix pero más pájaros picoteando el valle de las mil piedras en el mundo!

Después del cálculo, "uno da a luz a uno" es 1+1 = 2. "Tres, cuatro, cinco, seis, siete y ocho, pero 3×4 = 12, 5×6 = 30, 7×8 = 56. La suma de los cuatro grupos de números es exactamente 100. Este poema es como un poema intelectual. juego, iluminando a las personas con sabiduría.

De esta manera, se puede dominar este tipo de problemas.