¿Qué es el teorema de las tres perpendiculares?
Teorema de las tres perpendiculares: Si una recta en un plano es perpendicular a la proyección de una recta oblicua sobre el plano, entonces también es perpendicular a la recta oblicua.
El recíproco del teorema de las tres perpendiculares: si una línea recta en un plano es perpendicular a una línea oblicua en el plano, entonces también es perpendicular a la proyección de la línea oblicua en el plano.
El teorema de las tres perpendiculares es uno de los teoremas importantes de la geometría sólida. Si una línea recta en un plano es perpendicular a la proyección de una línea oblicua en el plano, entonces también será perpendicular a la oblicua. línea tres El teorema de la línea perpendicular determina que la línea oblicua es perpendicular a una línea recta en el plano a través de la relación perpendicular entre la proyección de la línea oblicua del plano y una línea recta en el plano, porque el teorema involucra tres líneas rectas que son. perpendicular a la recta conocida en el plano.
Demostración del teorema
Demostración de la perpendicularidad línea-plano
Se sabe que la proyección OA de PO sobre α es perpendicular a a. Verificar: OP⊥a.
Demostración: A través de P, PA es perpendicular a α
∵PA⊥α y a?α
∴a⊥PA
También a⊥OA
OA∩PA=A
∴a⊥Plane POA
∴a⊥OP
Demuestra con vectores< / p>
1. Se sabe que PO y PA son las rectas perpendicular y oblicua del plano α respectivamente, OA es la proyección de PO en α, el vector b está incluido en α y el vector b es perpendicular a OA. Verificar: vector b Perpendicular a PA
Demostrar: ∵PO es perpendicular a α, ∴PO es perpendicular a b, y ∵OA es perpendicular a b, vector PA = (vector PO vector OA)
∴Vector PA· Vector b = (vector PO vector OA) · vector b = (vector PO · vector b) (vector OA · vector b) = 0,
∴PA⊥ vector b .
2 Se sabe que tres planos OAB, OBC y OAC se cruzan en un punto O, ∠AOB=∠BOC=∠COA=60 grados, encuentre el ángulo entre la recta de intersección OA y el plano OBC. .
Solución: ∵vector OA=(vector OB vector AB), O es el centro interior,
y ∵AB=BC=CA,
∴OA y el plano El ángulo formado por OBC es de 30°.