El rompecabezas de triángulos congruentes en el segundo volumen de matemáticas de séptimo grado, ¡cuanto más difícil, mejor! ! ! La pregunta número 100 puntos de recompensa se agregará rápidamente.

1. Triángulo ABC, ángulo A=60°, bisectrices BE y CD de ∠B y ∠C se cortan con el punto O y encuentra: OE=OD.

En BC Toma. punto G tal que BD=BG

Porque ∠A=60°

Entonces ∠BOC=120°

Porque ∠DOB=∠EOC (para el ángulo superior )

Entonces ∠DOB=∠EOC=60°(360-120)/2

Especialmente SAS obtuvo △DBO≌△BOG

Entonces DO= G0 ∠DOB=∠GOB=60°

Entonces ∠GOC=∠BOG=60°

Entonces de ASA obtenemos △OGC≌△OEC

Entonces OG =OE

Porque OD=OG

Entonces OE=OD

2. Se sabe que en △ABC, ∠A=90°, AB=AC. , AE⊥BD está en E, ∠ADB=∠CDF, extiende AE ​​e intersecta a BC en F, prueba: D es el punto medio de AC

Construye el punto de simetría G de D con respecto a BC para conectar FG y CG

Dado que el ángulo ADB=ángulo BAF, el ángulo FDC=ángulo BAF

Y el ángulo B=ángulo C=45°

Entonces el ángulo AFB=180°- ángulo B-ángulo BAF =180°-ángulo C-ángulo CDF=ángulo DFG

Entonces ángulo AFD ángulo DFG=ángulo AFD ángulo DFC ángulo AFB=180°

So A, F , G*** Línea

Y porque ángulo CAG=ángulo ABD

Ángulo ACG=2*45°=90°=ángulo BAD

Entonces triángulo BAD es igual al triángulo ACG

Entonces CG=AD

Y CG=DC

Entonces AD=DC

3. triángulo ABC, AD es BC La línea media del lado, E es un punto en AC, BE y AD se cruzan en F, si AE=EF, demuestra: AC=BF

Extiende AD a M para que DM =AD, conecta BM, CM

∵AD=DM, BD=CD

∴ABMC es un paralelogramo (las diagonales se bisecan)

∴AC ‖BM, AC=BM (igual al último usado nuevamente)

∴∠DAC=∠DMB (∠DAC es ∠EAF, ∠DMB es ∠BMF usado a continuación) (los ángulos internos son iguales). ①

En En el triángulo AEF,

∵AE=EF

∴∠EAF=∠EFA (triángulo isósceles)...②

Y ∵∠EFA=∠BFM (Los ángulos opuestos de los vértices son iguales)...③

De ①②③, obtenemos ∠EAF=∠EFA=∠BFM=∠BMF

En el triángulo BFM,

∵∠BFM=∠BMF

∴El triángulo BFM es un triángulo isósceles, y el lado BF=BM

Del AC=BM demostrado anteriormente, obtenemos AC=BF

4 Dado el triángulo ABC, AD es la línea media en el lado BC, E es un punto en AC, AD y BE se cruzan en el punto F, y AE=. EF. ¿BF=AC?

Extiende AD y dibuja una línea paralela de AC que pasa por el punto B, intersecándose en el punto G

Entonces AC//BG, AE=EF,

Podemos obtener BF =BG

En el triángulo BDG y el triángulo CDA

BD=CD,lt;ADC=lt;GDB,lt;DBG=lt;ACD,

Los dos triángulos son congruentes

Entonces AC=BG=BF

5 En △ABC, ∠ACB es un ángulo recto, ∠B= 60°, AD y CE son ∠. BAC, respectivamente. ∠La bisectriz de BCA, donde AD y CE se cruzan.

En el punto F. Demuestre que FE=FD.

Demostración: Sea FM⊥BC en M, FN⊥AB en N

∵∠B=60°

∴∠MFN=120°

∵AD, CE es la bisectriz del ángulo

∴FM=FN

∠FAC ∠FCA=15° 45°=60°

∴ ∠AFC=120°

∴∠EFD=120°

∴∠EFN=∠DFM

∵FE=FM, ∠FNE=∠FMD

∴△FEN≌△FMD

∴FD=FE

6. El punto C está en BD, AC es perpendicular a BD en el punto C y BE es perpendicular. a AD en el punto E, CF=CD, entonces ¿AD y BF son iguales? Como AC es perpendicular a BD y BE es perpendicular a AD, el triángulo ACD y el triángulo BCF son triángulos rectángulos. Y como CF=CD, el triángulo ACD y el triángulo BCF son congruentes (los dos ángulos y un lado son iguales). Por lo tanto, AD y BF son iguales

7 En el triángulo ABC, AB=AC, AD es la altura, demuestra: ángulo BAD=ángulo CAD.

AB=AC, AD=AD, ángulo ADB=ángulo ADC=90 grados, entonces el triángulo ABD es igual al triángulo ACD, entonces el ángulo BAD=ángulo CAD