[Teoría elemental de números] Exponentes, raíces primitivas y ecuaciones indefinidas
Ahora comenzamos a establecer "coordenadas" para el sistema residual. El sistema residual completo es continuo y la clase residual en sí es una buena coordenada, por lo que aquí solo necesitamos discutir el sistema residual reducido. Como ya hemos sabido, siempre existe d tal que el más pequeño que satisface la condición se llama orden o exponente de un módulo m, que también se puede abreviar como, podemos ver que cuando se determina el módulo m, d es únicamente determinada por a es función de a. Para obtener más conclusiones, primero clasificamos algunas propiedades simples del índice de la siguiente manera:
(1) Si, entonces. Por lo tanto, si , entonces ;
(2) ;
Continuemos estudiando las propiedades de los exponentes. En primer lugar, sabemos que podemos tener fácilmente la fórmula (1). Simplemente puedes detenerte y pensar en ello. Después de tener la fórmula (1), podemos. resolverlo. En segundo lugar, resulta obvio de la definición: si , entonces . Por lo tanto, para la descomposición coprime (módulo de descomposición), siempre existe y luego, de acuerdo con las propiedades del módulo, existe la fórmula (2). Además, para cualquier a1, a2,?,an, considere la solución única a del sistema de ecuaciones (teorema del resto), obviamente existe , y luego de acuerdo con la fórmula (2), podemos obtener que a satisface la fórmula (3) .
Estudiemos de nuevo (base de descomposición), digamos, entonces obviamente existe (pista: puedes pensar en ello en combinación con la ecuación (1)). Primero veamos la situación privilegiada mutua de cada persona. En este momento, hagámoslo. Porque y porque son primos entre sí. Por tanto, existe la fórmula (4). Si no son primos entre sí, generalmente no hay . Pero a la inversa, para cualquier , sigue siendo muy fácil utilizar las fórmulas (1) y (4) para construir una que satisfaga la fórmula (5).
Los exponentes tienen una conclusión interesante al estudiar los decimales recurrentes. Para la fracción reducida, si la hay, entonces la condición necesaria y suficiente para ser un decimal periódico es. Si, entonces el período mínimo del ciclo es c, y la longitud del número acíclico después del punto decimal es. En particular, si , entonces es un decimal recurrente puro. El proceso de demostración no es difícil y puede usarse como ejercicio. Consejo: Usa la relación
A partir de la propiedad del exponente (2), podemos saber que es un número diferente, especialmente cuando los atraviesan. el sistema de resto reducido de m. Esta relación hace que el sistema residual reducido sea particularmente simple y también encontramos las coordenadas apropiadas. Por esta razón, g fue llamada la raíz primitiva del módulo m en ese momento. Era el elemento identidad del sistema residual reducido y era responsable de encadenar el sistema residual en un espacio lineal. Consideremos primero las siguientes preguntas:
? Si, entonces al atravesar el sistema de resto reducido de m, también atravesaremos el sistema de resto reducido
Los factores primos de ? tienen la forma o.
Naturalmente tenemos preguntas: ¿Qué tipo de módulo tiene raíces primitivas? ¿Cuántas raíces primitivas hay? ¿Cómo juzgar? Ya sabemos que, excepto estos cinco casos (p es un número primo impar), es fácil demostrar que hay otros casos. No deben tener raíces primitivas, porque cuando el módulo m no pertenece a los cinco casos anteriores. , debe haber m que sea o , y aquí está dado por. Aquí viene dado por la siguiente fórmula:
Y como tenemos la fórmula, podemos obtener , que podemos verificar por nosotros mismos.
A continuación, necesitamos demostrar si esas 5 situaciones tienen raíces primitivas. La verificación directa muestra que 1, 2 y 4 tienen raíces primitivas. Para el caso módulo p, sabemos por la fórmula (5) que existe g tal que, en primer lugar, por supuesto que existe. Además, dado que existe una solución completa, entonces. Por lo tanto, p tiene una raíz primitiva g.
Con base en la equivalencia de y , y , se puede ver que y tienen las mismas raíces primitivas, por lo que solo necesitamos discutir si el módulo tiene raíces primitivas. Cuando g es una raíz primitiva, porque también lo es o. Si g también es una raíz primitiva de , debe serlo , es decir, satisface la ecuación (6).
Y si se cumple esta condición se puede comprobar por inducción que satisface todo, es decir, g es la raíz primitiva de todo.
Ahora, siempre que se pueda demostrar que las condiciones anteriores son ciertas (es decir, ), hemos encontrado las raíces originales de todos los módulos y la investigación ha demostrado la existencia del original. raíces. Para la raíz primitiva g del módulo p, examine la deformación en la ecuación (7). Uno y solo uno de ellos es múltiplo de p. Si toma cualquier otro valor, puede obtener la raíz original que satisface la condición y la condición queda demostrada.
Hasta ahora hemos demostrado que la condición necesaria y suficiente para la existencia de la raíz original es que el módulo sea uno. Sin embargo, si se quiere encontrar la raíz original, actualmente no existe un método sencillo. Generalmente, solo puedes probar cada número uno por uno. Sin embargo, el cálculo se puede acelerar usando el método de construcción de la fórmula (5). Por ejemplo, si la suma ya se conoce, los factores primos 2 y 3 deben ser. también sean los factores primos de la raíz primitiva módulo 41. Después de intentarlo, obtuve la raíz original de 41.
Si existen raíces primitivas, después de seleccionar una raíz primitiva g, su potencia atraviesa todo el sistema de restos reducidos. Si , k se llama índice de a , se denota como , o se abrevia como y . El índice convierte el sistema residual reducido en un sistema residual completo, cambiando su estructura de dispersa a lineal, para que sus propiedades puedan estudiarse mejor. Las siguientes son algunas propiedades de las raíces primitivas. Entre ellas, la propiedad (3) contiene números φ(d) con exponente, y son. En particular, *** tiene tres raíces primitivas, que son.
(1)
(2) , en particular
(3)
Siempre queremos tratar el exponente como un instante. resto Las "coordenadas" del sistema, comencemos a hacer esto ahora. Generalmente, cuando el módulo m se descompone en números primos, cada número a en el sistema de resto reducido tiene un valor en cada dimensión. Para g_k \gamma_k=\gamma_{p_k^{e_k},g_k}(a_k)$ puede considerarse como la coordenada de a en la k-ésima dimensión.
Pero para, a excepción de, no existe una raíz original. ¿Cómo establecer coordenadas cuando? Por inducción se puede demostrar y es fácil saber que es un sistema de restos reducidos del mismo. De esta forma, cualquier divisor tiene una expresión única (8), que puede considerarse como sus coordenadas. Completamente, podemos obtener las expresiones índice (9) y (10) de cualquier divisor (el de (10) se obtiene tomando 1 en (9) y los demás tomando 0. Utilice (10) para demostrar el teorema de Wilson. Mucho más sencillo.
Finalmente, veamos la ecuación de congruencia (11), que generalmente se denomina ecuación de congruencia binomial. Si la ecuación tiene solución, a se llama residual de enésimo grado de m; de lo contrario, se llama no residual de enésimo grado. Después de factorizar m en factores primos, la ecuación se puede reducir a un sistema de ecuaciones, y solo necesitamos discutir estas ecuaciones por separado.
El módulo (p es un número primo impar) tiene una raíz primitiva g, y será muy sencillo usarlo para analizar la ecuación binomial (la siguiente discusión es válida para el módulo m con raíces primitivas ). Al incorporar las raíces originales a la ecuación original, obtenemos el lado izquierdo de la ecuación (12), que obviamente corresponde a la ecuación de congruencia lineal unidimensional en el lado derecho. Primero puede revisar las características de la ecuación lineal, let, entonces, y el período de la solución de la ecuación es, primero imagine su diseño en su mente. Volviendo a la ecuación original, sean , entonces las condiciones necesarias y suficientes para la solución de la ecuación son , y *** hay n residuos de grados. Hay d soluciones para la ecuación y sus períodos son .
Ahora transformemos la condición en algo directamente relacionado con a. Porque, usar la fórmula (1) conduce directamente a la fórmula (13). Combinado con la condición d|γ(a), es obvio que , que es equivalente a la fórmula (14). Esta es la condición necesaria y suficiente para que la ecuación tenga solución, y la condición de juicio para el resto cuadrático obvio es solo un caso especial.
El escenario del módulo debe considerarse por separado. La discusión anterior muestra que su sistema residual reducido tiene dos dimensiones independientes, por lo que solo necesitamos discutir las dos dimensiones por separado. Vamos, podemos ver que las condiciones necesarias y suficientes para que la ecuación tenga solución son y, el número de soluciones de la ecuación es. La expansión significa que hay y hay sólo una solución en ese momento, es decir, cada valor del sistema residual reducido es n-tiempo residual. Cuando , las condiciones necesarias y suficientes para tener una solución son y , y hay soluciones 2d, y hay *** números que son n veces residuales.
A continuación, las condiciones necesarias y suficientes para tener una solución se transforman en aquellas relacionadas con a. En primer lugar, es fácil saber que debe existir una forma. Porque nuestra condición es en realidad equivalente a , lo que conduce a la condición necesaria y suficiente como fórmula (15). Por supuesto, también puede obtener una fórmula similar a, pero como no es tan concisa como la fórmula anterior, no entraré en detalles aquí.
Después del estudio previo y la comprensión de los conocimientos básicos de la teoría elemental de números, aquí podemos comenzar una discusión sencilla sobre ecuaciones indefinidas. Las ecuaciones indefinidas son una de las fuerzas impulsoras directas del desarrollo de la teoría de números elemental. Las ecuaciones indefinidas también se denominan ecuaciones de diagrama de Dipant. Utilizan números enteros (o números racionales) como variables y parámetros, y tienen más de dos incógnitas, a menudo en forma de polinomios. Las ecuaciones indefinidas no son solo una aplicación de la teoría de números, sino también la fuente de la formación de la teoría de números. Pensar en ecuaciones indefinidas puede conectar el conocimiento y el contenido aprendido anteriormente.
La ecuación indefinida más simple es la ecuación lineal (1), que se expresa como una ecuación lineal multivariante. Si aún recuerdas la definición anterior de combinación lineal del máximo común divisor, es fácil entender que la condición necesaria y suficiente para que la ecuación tenga solución entera es . El primer paso en las ecuaciones multivariadas suele ser reducir los elementos. Sea , entonces la ecuación es equivalente al sistema de ecuaciones lineales (2) (¿piense por qué? ¿Y por qué necesitamos extraer primero el máximo común divisor?). Si continuamos haciendo un procesamiento similar a la ecuación (2), obtendremos múltiples ecuaciones lineales de dos variables, lo que concentra el problema en un escenario simple.
En cuanto a la ecuación lineal de dos variables, tiene un significado geométrico obvio. La solución de la ecuación es el punto entero en la ecuación de la línea recta, y todas las discusiones al respecto se pueden encontrar en el gráfico. Es fácil ver que si se conoce una solución, todas las soluciones de la ecuación son la fórmula (3). En cuanto a cómo encontrar una solución especial, generalmente se utiliza el método de división euclidiana. En algunos casos simples, también se pueden probar directamente varios valores.
Todo el mundo conoce el Teorema de Pitágoras, y una pregunta natural es: ¿Cómo encontrar todas sus soluciones? Este problema generalmente se llama ecuación del cociente o ecuación de Pitágoras. Es fácil demostrar que las soluciones de la ecuación en ese momento son mutuamente primas. Si la solución se restringe aún más a ser un número positivo, dicha solución se llama solución primitiva. Las soluciones de la ecuación son triviales (0,0,0) o múltiplos de las soluciones primitivas, por lo que simplemente nos concentramos en encontrar todas las soluciones primitivas.
Además, debido a que el cuadrado de un número primo solo puede tener la forma de , se puede deducir que x e y deben ser un número impar y un par. y la ecuación original se organiza en la ecuación (4). Es fácil de probar (esta propiedad se usará con frecuencia en el futuro), por lo que podemos suponer y , donde . Expresando con
Hagamos una generalización simple ¿Cómo se puede resolver así una ecuación en la forma (6)? Este es el famoso último teorema de Fermat y, por supuesto, se llamó conjetura de Fermat antes de que fuera completamente demostrado en 1994. Fermat descubrió que no tenían soluciones no triviales y afirmó haber encontrado una prueba brillante, pero el margen del libro era demasiado pequeño para caber. Posteriormente, se necesitaron más de trescientos años de arduo trabajo para descifrarlo utilizando métodos matemáticos modernos. La mayoría de la gente tiende a creer que la prueba de Fermat no existe o no es válida.
Usando métodos similares y el método del descenso infinito, se puede demostrar que no hay soluciones no triviales, y luego que no hay soluciones no triviales, que es el caso del último teorema de Fermat cuando. Puedes pensar en las siguientes preguntas:
? Resolver para la suma;
? Resolver para ella; (Pista: No hay solución coprime)
todos tienen infinitas soluciones múltiples. (Pista: Construcción)
Veamos la situación del último teorema de Fermat en Euler demostró que no tiene una solución no trivial y utilizó el método de descenso infinito. Supongamos que es un conjunto de soluciones distintas de cero que minimiza, y nuestro objetivo es construir un conjunto de soluciones con valores más pequeños. En primer lugar, por supuesto, solo hay un número par entre ellos. Después del ajuste, se puede convertir en un número par. En este momento, podemos dejar , entonces tenemos (resumido como la ecuación (7)). La importancia importante de esta transformación radica en la reducción de .
Ahora estudiemos , que contiene la conocida expresión cuadrática.
Examinando cada factor primo p de , porque , siempre existe (consulte el último párrafo de la descomposición de números cuadrados que se presentará a continuación). Usando la fórmula (8) (es más fácil probar este tipo de ecuación usando números complejos y encarna la idea de normas), podemos ver que siempre existe. Lo siguiente demuestra que siempre se puede encontrar lo apropiado para que la relación (9) se mantenga.
Utilice el método de inducción para demostrar que cuando , la fórmula (9) está obviamente establecida. Si la conclusión es válida para , entonces considere , y nuestro objetivo es encontrar la expresión (9). De la conclusión anterior, podemos tener, tenemos y satisfacemos una relación similar a (9). Multiplica la ecuación anterior y divide por para obtener (10), y luego demuestra que los dos términos del lado derecho de (10) pueden ser números enteros. Si , se supone que existe y satisface una relación similar a (9). Con base en las conclusiones anteriores, se pueden obtener las conclusiones relevantes (11), que satisfacen la fórmula (9), y se demuestra el teorema.
Ahora mira de nuevo la ecuación (7). Cuando , dado que debe ser un número impar, uno par y primo relativo (piensa por qué) y es un número par, es fácil tener , podemos asumir el lado izquierdo de la ecuación (12). De la conclusión anterior, podemos ver que el lado derecho de (12) se cumple, y los tres términos del lado derecho son primos relativos, por lo que existe la fórmula (13). y . La misma conclusión se puede obtener cuando , de la cual obtenemos un conjunto de soluciones cuyo producto es monótonamente decreciente, lo cual es imposible, por lo que la ecuación original no tiene solución no trivial.
Amplía la ecuación cociente-altura sobre los coeficientes para obtener un factor general (y no cuadrado). Por supuesto, sólo necesitamos estudiar su solución original. En primer lugar, es fácil tener , luego existe , y transformar para obtener la ecuación (14), de modo que sea el resto cuadrático de . De esta forma, obtenemos una condición necesaria para que la ecuación tenga solución: son los restos cuadráticos de respectivamente.
Veamos si son condiciones suficientes para que la ecuación tenga solución, utilizando el método de reducción y el método de construcción. Además, también es un método común utilizar ecuaciones de congruencia para estudiar ecuaciones indefinidas. Aquí podemos considerar primero la ecuación de congruencia (15). Primero veamos el orden descendente, es fácil de juzgar, luego podemos tener la fórmula (16). También puede haber expresiones similares para el módulo. Expresan la expresión original como el producto de dos expresiones lineales y el problema se puede transformar fácilmente en una ecuación lineal. Usa el teorema del resto