El centro, centro de gravedad, centroide, incentro y circuncentro de un triángulo. ¿Cuál es la definición y esencia de los Cinco Corazones?
Lo que hay que añadir es que los triángulos también tienen centros laterales. El centro de gravedad, circuncentro, centro de gravedad, centro y centro lateral de un triángulo suelen denominarse los cinco centros del triángulo.
1. Teorema del centro de gravedad del triángulo
Las líneas medias de los tres lados de un triángulo se cortan en un punto. Este punto se llama centro de gravedad del triángulo.
Es muy sencillo demostrar que tres líneas medias se cortan en un punto utilizando el teorema de la cola de golondrina.
(El centro de gravedad es originalmente un concepto físico. Para una placa delgada triangular con igual espesor y masa uniforme, el centro de gravedad es exactamente la intersección de las tres líneas medias del triángulo, de ahí el nombre. )
Propiedades del centro de gravedad:
1. La relación entre la distancia del centro de gravedad al vértice y la distancia del centro de gravedad al punto medio del El lado opuesto es 2 1.
2. El centro de gravedad es igual a las áreas de los tres triángulos formados por dos vértices cualesquiera del triángulo. Es decir, la distancia desde el centro de gravedad a los tres lados es inversamente proporcional al crecimiento de los tres lados.
3. La suma de los cuadrados de las distancias desde el centro de gravedad a los tres vértices del triángulo es la más pequeña.
4. En el sistema de coordenadas cartesiano plano, las coordenadas del centro de gravedad son la media aritmética de las coordenadas del vértice.
Es decir, las coordenadas de su centro de gravedad son ((X1+X2+X3)/3, (Y1+Y2+Y3)/3. 3. El teorema del centro vertical de un triángulo
Tres de las alturas se cruzan en un punto, que se llama centro vertical del triángulo.
La esencia del corazón:
1. vértices y tres catetos verticales de un triángulo, y estos siete. Puntos se pueden utilizar para obtener seis círculos de cuatro puntos
2. La línea del triángulo de tres puntos * con circuncentro O, centro de gravedad. , y centro vertical H, OG: GH = 1: 2. (Esta línea se llama línea de Euler del triángulo).
3 La distancia desde el centro vertical al vértice del triángulo es el doble. la distancia desde el centro exterior del triángulo hasta el lado opuesto al vértice
4. El producto de las dos partes de cada línea alta es igual
Demostración del teorema
Se sabe que en δABC, AD y BE son dos alturas, que se cortan en el punto o y conectan CO. Y se extiende la intersección de AB en el punto f para verificar: CF⊥AB.
Prueba:
Conecta de≈ADB = ∠aeb = 90 grados ∴A, b, d y E * * *Círculo∴∠ADE=∠ABE.
∠∠eao =∠ DAC∠AEO =∠ADC ∴δaeo∽δadc
∴ae/ao=ad/ac ∴δead∽δoac ∴∠acf=∠ade=∠abe
∠∠Abe+∠BAC = 90 grados ∴∠ACF+∠BAC=90 grados ∴∴ CF ⊥ AB
Entonces, teorema del centro vertical ¡Establecido! La circunferencia inscrita de un triángulo se llama centro del triángulo.
1. Las tres bisectrices del triángulo se cortan en un punto. Este punto es el centro del triángulo. 2. La distancia del centro al lado del triángulo rectángulo es igual a la mitad de la suma de los dos lados derechos menos la hipotenusa
3.p es cualquier punto del plano δABC, y el punto 0. es el incentro de δABC si y sólo si:
Vector P0=(a×vector PA+b×vector PB+c×vector PC)/ (a+b+c
<). p>4.o es el centro del triángulo, y A, B y C son los tres vértices del triángulo. Si el lado BC de la intersección AO se extiende hasta N, habráAO:ON. =AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC
5. El punto O es cualquier punto del plano ABC, y el punto I es la condición necesaria y suficiente para △ABC Es:
a (vector OA) + b (vector OB) + c (vector OC) = vector 0.
6 (teorema de Euler) ⊿ABC, donde r y r son el radio del círculo circunscrito y del círculo inscrito respectivamente, o e I son el centro exterior y el centro interior respectivamente, entonces oi ^ 2 = r ^ 2-2rr.
7. (La bisectriz del ángulo interior se divide en tres lados)
En △ABC, 0 es el centro y las bisectrices del ángulo interior de ∠A, ∠B y ∠. C están conectados a BC y AC respectivamente, AB cruza a Q, P, R.
Entonces bq/QC = c/b, CP/pa = a/c, br/ra = a/B 2. Teorema de la excentricidad del triángulo.
El centro de la circunferencia circunstante de un triángulo se llama centro exterior del triángulo.
La naturaleza del mundo exterior:
1. Las bisectrices perpendiculares de los tres lados de un triángulo se cortan en un punto, que es el centro exterior del triángulo.
2. Si O es el centro exterior de △ABC, ∠BOC=2∠A (∠A es un ángulo agudo o recto) o ∠BOC = 360-2 ∠A (∠A es un ángulo obtuso) ángulo).
3. Cuando el triángulo es un triángulo acutángulo, el centro exterior del círculo está dentro del triángulo;
Cuando el triángulo es un triángulo obtuso, el centro exterior del círculo el círculo está fuera del triángulo;
Cuando el triángulo es rectángulo, el centro exterior está en la hipotenusa y coincide con el punto medio de la hipotenusa.
4. Para calcular las coordenadas del epicentro, primero calcula las siguientes variables temporales: d1, d2, d3 son los productos escalares de los vectores que conectan los tres vértices del triángulo con los otros dos vértices.
c1=d2d3, c2=d1d3, C3 = d 1 D2; c=c1+c2+c3.
Coordenadas excéntricas: ((c2+c3)/2c, (c1 +c3)/2c, (c1+c2)/2c).
5. Las distancias desde el centro exterior a los tres vértices son iguales. 5. Teorema del porcentaje del triángulo
El centro del círculo tangente de un triángulo (el círculo tangente a un lado del triángulo y la extensión de los otros dos lados) se llama centro del triángulo.
Propiedades del centro del lado:
1. La bisectriz de un ángulo interior de un triángulo y la bisectriz de un ángulo exterior de los otros dos vértices se cortan en un punto. el centro lateral del triángulo.
2. Todo triángulo tiene tres lados.
3. La distancia desde el centro lateral a los tres lados es igual.
La intersección de las bisectrices exteriores de dos ángulos cualesquiera de un triángulo y la bisectriz interior del tercer ángulo.
Un triángulo tiene tres centros de lados, y deben estar fuera del triángulo.
Adjunto: El centro de un triángulo: Sólo un triángulo equilátero tiene centro. En este momento, el centro de gravedad, el corazón interior, el centro exterior, el centro colgante y los cuatro centros se integran en uno. Un poema sobre los cinco corazones de un triángulo: Una canción de los cinco corazones de un triángulo (centrándose en el exterior y el interior)
Un triángulo tiene cinco corazones, uno que cuelga hacia afuera y otro que cuelga hacia adentro.
La naturaleza de los cinco corazones es muy importante, por eso es importante dominar cuidadosamente la confusión y centrarse en el corazón.
Las tres líneas medias deben cruzarse, y la ubicación de la intersección es realmente extraña.
El punto de intersección se denomina "centro de gravedad" y la naturaleza del centro de gravedad debe quedar clara.
En la segmentación del centro de gravedad, se puede escuchar la proporción de un segmento de línea a varios segmentos.
La proporción de longitud es de dos a uno, por lo que debe usarse con flexibilidad y dominarse; .
Corazón Externo
El triángulo tiene seis elementos y tres ángulos interiores de tres lados.
Haz que los tres lados sean verticales en el medio y las tres líneas se crucen en un punto.
Este punto se define como el epicentro y se puede utilizar como un círculo circunscrito.
No olvides el corazón interior y exterior, la clave está en entrar y salir.
Centro suspendido
Si el triángulo tiene tres puntos altos, entonces los tres puntos altos deben cruzarse.
La línea alta se divide en triángulos con tres pares de ángulos rectos.
Hay doce triángulos rectángulos, formando seis pares de formas semejantes.
* * *Hay cuatro puntos en la imagen, que se pueden encontrar muy claramente después de un análisis cuidadoso.
Corazón interior
A un triángulo le corresponden tres vértices, y cada ángulo tiene una bisectriz.
La intersección de las tres rectas tiene un * * * punto, que se llama "incentro" y tiene una raíz.
Los puntos a los tres lados son todos equidistantes y pueden; ser utilizado como la parte inscrita de la ronda del triángulo.
Este corazón redondo se llama "corazón interior", por lo que naturalmente necesita una definición.
No olvides la naturaleza de las cinco mentes, es muy bueno empezar a hacer las preguntas.